UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

18 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables Icourbe elliptique de rang élevé sur k(t) est nécessairement isotriviale lorsque k = Q, en admettanttrois conjectures arithmétiques plus ou moins classiques, dont une conjecture de densitéconcernant les rangs des courbes elliptiques E x lorsque x varie. Nous déduisons du théorème 1.4un résultat similaire, également conditionnel, nécessitant de plus quelques hypothèses sur lescourbes elliptiques considérées, mais valable sur tout corps de nombres et ne dépendant d’aucuneconjecture qui concerne les courbes elliptiques (cf. théorème 1.55).Le plan du chapitre est le suivant. Nous fixons les notations au paragraphe 1.2, nous yénonçons le théorème 1.4, nous y décrivons les grandes étapes de sa démonstration et nous ysoulignons les difficultés qui n’existaient pas dans la situation de [20]. Pour les applications,il est important de disposer d’une forme explicite de la condition (D) ; nous en donnons uneau paragraphe 1.3. La preuve du théorème 1.4 occupe les paragraphes 1.4 et 1.5. Au paragraphe1.6, nous discutons les liens entre la condition (D), le groupe de Brauer et le groupe Dintroduit dans [20, §4]. Ce groupe, défini en toute généralité, permit aux auteurs de [20] deformuler une condition abstraite qui équivaut à la condition (D) sous les hypothèses de leurthéorème principal (voir [20, §4.7]). Nous verrons que cette équivalence n’est plus valable dansla situation générale de réduction semi-stable ; c’est précisément de cette difficulté que naîtl’hypothèse technique du théorème 1.52 sur la seconde descente. Nous consacrons ensuite leparagraphe 1.7 aux applications du théorème 1.4 à l’existence de points rationnels : d’une partnous établissons le théorème 1.1, qui généralise le théorème principal de [20], et d’autre partnous déduisons du théorème 1.1 les résultats de Swinnerton-Dyer sur les surfaces quartiquesdiagonales énoncés dans [71, §3]. Enfin, les paragraphes 1.8 et 1.9 contiennent respectivementl’application aux défauts d’approximation faible mis en évidence par une seconde descente, etl’application aux courbes elliptiques de rang élevé. Ils font tous deux usage des résultats duparagraphe 1.6.1.2 Hypothèses et notationsSoient k un corps de caractéristique 0 et C un schéma de Dedekind connexe sur k, de pointgénérique η. Supposons donnée une surface X lisse et géométriquement connexe sur k, munied’un morphisme propre et plat π: X → C dont la fibre générique X η est une courbe lisse degenre 1 sur K = κ(C) et dont toutes les fibres sont réduites. Supposons de plus que la périodede la courbe X η divise 2, c’est-à-dire que la classe de H 1 (K, E η ) définie par le torseur X η esttuée par 2, en notant E η la jacobienne de X η . Supposons enfin que la courbe elliptique E ηsoit à réduction semi-stable en tout point fermé de C et que ses points d’ordre 2 soient tousK-rationnels.Notons E le modèle de Néron de E η sur C, E 0 ⊂ E sa composante neutre, M ⊂ Cl’ensemble des points fermés de mauvaise réduction pour E η et U un ouvert dense de C audessusduquel π est lisse. Un tel ouvert est nécessairement disjoint de M . Pour M ∈ M ,notons F M le κ(M)-schéma en groupes fini étale E M /E 0 M .