UNIVERSITÉ PARIS-SUD FACULTÉ DES SCIENCES D'ORSAY

20 Chapitre 1. Pinceaux semi-stables Idont les lignes sont exactes. Ainsi suffit-il de prouver que pour tout M ∈ U, la flèche naturelleH 1 (K sh M , 2 E η ) → H1 (K sh M , E η ) est injective, autrement dit que E η (Ksh M )/2 = 0 ; ceci découle de laproposition A.12, compte tenu que E η a bonne réduction en M.□Comme les fibres de π sont réduites, on a X M (K sh M ) ≠ ∅ pour tout M ∈ C. La suiteexacte (1.1) permet d’en déduire que la classe de H 1 (K, E η ) définie par le torseur X η appartientau sous-groupe H 1 (C, E ). Cette classe correspond à un faisceau représentable d’après [47,Theorem 4.3], d’où l’existence d’un torseur X → C sous E dont la fibre générique est égaleà X η . Sa classe dans H 1 (C, E ) sera notée [X ].Pour M ∈ M , notons δ M : H 1 (C, E ) → H 1 (L M , F M ) la composée de la flèche induite par lemorphisme de faisceaux E → i M⋆ F M , où i M : Spec(κ(M)) → C désigne l’inclusion canonique, etde la flèche de restriction H 1 (κ(M), F M ) → H 1 (L M , F M ). Soient T D/C le noyau de l’applicationcomposéeQ δM∏∏2 H1 (C, E ) H 1 H 1 (L(L M , F M )M , F M )〈δ M ([X ])〉M∈Met S D/C ⊂ S 2 (C, E ) l’image réciproque de T D/C par la flèche de droite de la suite exacte (1.3).On dira que la condition (D/C) est satisfaite si T D/C est engendré par [X ].Supposons maintenant que k soit un corps de nombres. On note Ω l’ensemble de ses places,Ω f ⊂ Ω l’ensemble de ses places finies et A k l’anneau des adèles de k. SoitR A = {x ∈ U(k) ; X x (A k ) ≠ ∅}et soit R D/C l’ensemble des x ∈ R A tels que tout élément du groupe de 2-Selmer de E xappartienne à l’image de la composéeM∈MS D/C ⊂ S 2 (C, E ) ⊂ H 1 (U, 2 E ) → H 1 (k, 2 E x )(dans laquelle l’avant-dernière flèche est donnée par le lemme 1.3 et la dernière flèche estl’évaluation en x) et tels que la restriction de cette composée à l’image réciproque de {0, [X ]}par la flèche de droite de (1.3) soit injective.Lorsque C = P 1 k , on prend pour U le plus grand ouvert de A1 k au-dessus duquel π estlisse et l’on note d’une part R D , T D , S D et (D) les ensembles R D/P 1k, T D/P 1k, S D/P 1ket lacondition (D/P 1 k ), et d’autre part R D 0, T D0, S D0et (D 0 ) les ensembles R D/A 1k, T D/A 1k, S D/A 1ket la condition (D/A 1 k ), étant entendu que R D/A 1 k , T D/A 1 k , S D/A 1 k et la condition (D/A1 k )désignent les ensembles et la condition obtenus en appliquant les définitions ci-dessus avecC = A 1 k après avoir restreint π au-dessus de A1 k ⊂ P1 k .Le théorème dont la démonstration occupera les paragraphes 1.4 et 1.5 est le suivant.Théorème 1.4 — Admettons l’hypothèse de Schinzel. Supposons que C = P 1 k et que la fibrede π au-dessus du point ∞ ∈ P 1 (k) soit lisse. Il existe alors un ensemble fini S 0 ⊂ Ω et un