crisi globale, oggi come nel 1929? - Liceo Scientifico Antonelli

impedirci di avvicinarci anche solo
per ipotesi al concetto di un infinito
positivo, concreto e realmente
esistente?
In verità l’infinito attuale ha
vissuto, alle spalle del potenziale, una
sorta di “millenaria clandestinità
matematica”. Nel nono secolo
l’astronomo e matematico arabo
Thābit Ibn Qurra giunse a importanti
considerazioni circa la natura
concreta dell’infinito: noi poniamo
che i numeri naturali siano infiniti, ma
anche che i numeri pari lo siano, così
come i dispari. Poiché però i numeri
naturali sono la somma dei numeri
pari e dei numeri dispari, ovvero di un
infinito + un altro infinito, dobbiamo
necessariamente ammettere che
l’infinito dei numeri naturali è più
grande di quello dei numeri pari o
dispari. Ecco che l’horror infiniti
viene colpito nel proprio nucleo più
interno: se ammettiamo che possano
esserci infiniti maggiori o minori,
dobbiamo attribuire una quantità
fisica all’infinito, dunque ammettere
che esso esista concretamente. Ma
allora, nel caso, dov’è? E che cos’è?
Un ragionamento simile fa
Galileo Galilei nel suo “Dialogo sopra
i due massimi sistemi del mondo”
(1632): egli dichiara però che noi non
abbiamo il diritto di parlare di
uguaglianza, maggioranza o
minoranza tra gli infiniti, ma solo tra
le cose infinite. L’esempio che egli
apporta è sempre matematico: i
quadrati perfetti sembrano
numericamente inferiori rispetto ai
numeri naturali, poiché, preso un
determinato intervallo numerico (per
es. le nove cifre decimali) solo un
intervallo più piccolo appartiene
all’insieme dei quadrati perfetti (l’1, il
4 e il 9). Eppure, ogni numero ha il
proprio quadrato, per cui la quantità
dei numeri naturali e dei quadrati
dovrebbe essere la stessa: dove si
trovano allora quei quadrati “in più”?
Comincia a sembrarci evidente
la profondità del mondo che le porte
dell’infinito attuale, che abbiamo a
mala pena accostato, ci consentono di
vedere. Un mondo che sembra tanto
al di fuori della nostra portata da farci
pensare, come diceva Leibniz, che la
natura ostenti l’infinito attuale per
mostrare la perfezione del suo autore.
Forse perché, di fronte all’infinito,
dobbiamo cambiare il nostro modo di
ragionare: non a caso Bernard
Bolzano, nell’opera “I paradossi
dell’infinito” (1851), dichiara che ciò
che vale per le cose finite non vale
necessariamente per quelle infinite.
Dall’accettazione dell’esistenza
dell’infinito si è giunti così
all’esistenza di diversi gradi di
infinito; il maggior contributo dato
alla teoria degli insieme infiniti è
sicuramente quello del matematico
tedesco Georg Cantor, il quale,
assieme agli studi di Richard
Dedekind sul metodo delle sezioni, ha
portato finalmente a una definizione
matematica positiva di insieme
infinito: un sistema si dice infinito se
è equipotente a una sua parte propria.
L’insieme dei numeri naturali N
è un insieme infinito perché, per
esempio, il suo sottoinsieme
proprio dei numeri pari è equipotente
ad N stesso. Basta considerare la
funzione 1-1 su f : n à 2n
che lega biunivocamente ogni numero
naturale con un numero pari. Al
contrario, nessun insieme finito non
vuoto può essere equipotente a un suo
sottoinsieme proprio. In questo modo
il discrimen tra insiemi finiti e infiniti
è fissato con precisione matematica,
abbandonati i vaghi concetti empiriciintuitivi
(definizione di insieme
infinito come insieme che contiene un
numero infinito di elementi) che
hanno attraversato la storia della
matematica fino alla grande
rivoluzione fra ‘800 e ‘900.
Da questo trampolino di lancio,
però, il percorso dell’infinito attuale è
ancora lungo è complesso. Riuscirà
l’uomo a raggiungere l’infinito? E’
questo un concetto realmente
abbordabile per le nostre possibilità?
Abbiamo ancora paura dell’infinito, o
siamo finalmente pronti a conoscerlo?
Sono domande a cui, forse, solo
il tempo risponderà. Augurandoci
che, certo, non sia un tempo infinito.
Silvia Bernardi
Bibliografia
• M. Ferrari, L’infinito in
matematica, conferenza tenuta al
Liceo Scientifico Antonelli di Novara
Aprile 2011
• L’infinito matematico e
dintorni
http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pes
cetti/ricerca_infinito_2004_05/somm
_greci/infi_greci.htm
• L’infinito in matematica
http://www.vialattea.net/pagine/
infinito/
• Infinito, di Luca Granieri
http://www.dm.unipi.it/~granier
i/Infinito.html
• E-school di Errigo Amadori,
Analisi I, Insiemi finiti ed infiniti
http://www.arrigoamadori.com/lezion
i/InsiemiFinitiEdInfiniti/InsiemiFiniti
EdInfiniti.htm
Sotto, il dardo scagliato ma in realtà immobile perchè in ogni momento occupa uno spazio uguale a se’ stesso, paradosso
proposto da Zenone, filosofo di Elea, VI-V sec., per dimostare l’impossibilità del movimento e quindi l’impossibilità della
divisibilità, finita o infinita, dello spazio e quindi della molteplicità
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