crisi globale, oggi come nel 1929? - Liceo Scientifico Antonelli

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impedirci di avvicinarci anche solo per ipotesi al concetto di un infinito positivo, concreto e realmente esistente? In verità l’infinito attuale ha vissuto, alle spalle del potenziale, una sorta di “millenaria clandestinità matematica”. Nel nono secolo l’astronomo e matematico arabo Thābit Ibn Qurra giunse a importanti considerazioni circa la natura concreta dell’infinito: noi poniamo che i numeri naturali siano infiniti, ma anche che i numeri pari lo siano, così come i dispari. Poiché però i numeri naturali sono la somma dei numeri pari e dei numeri dispari, ovvero di un infinito + un altro infinito, dobbiamo necessariamente ammettere che l’infinito dei numeri naturali è più grande di quello dei numeri pari o dispari. Ecco che l’horror infiniti viene colpito nel proprio nucleo più interno: se ammettiamo che possano esserci infiniti maggiori o minori, dobbiamo attribuire una quantità fisica all’infinito, dunque ammettere che esso esista concretamente. Ma allora, nel caso, dov’è? E che cos’è? Un ragionamento simile fa Galileo Galilei nel suo “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo” (1632): egli dichiara però che noi non abbiamo il diritto di parlare di uguaglianza, maggioranza o minoranza tra gli infiniti, ma solo tra le cose infinite. L’esempio che egli apporta è sempre matematico: i quadrati perfetti sembrano numericamente inferiori rispetto ai numeri naturali, poiché, preso un determinato intervallo numerico (per es. le nove cifre decimali) solo un intervallo più piccolo appartiene all’insieme dei quadrati perfetti (l’1, il 4 e il 9). Eppure, ogni numero ha il proprio quadrato, per cui la quantità dei numeri naturali e dei quadrati dovrebbe essere la stessa: dove si trovano allora quei quadrati “in più”? Comincia a sembrarci evidente la profondità del mondo che le porte dell’infinito attuale, che abbiamo a mala pena accostato, ci consentono di vedere. Un mondo che sembra tanto al di fuori della nostra portata da farci pensare, come diceva Leibniz, che la natura ostenti l’infinito attuale per mostrare la perfezione del suo autore. Forse perché, di fronte all’infinito, dobbiamo cambiare il nostro modo di ragionare: non a caso Bernard Bolzano, nell’opera “I paradossi dell’infinito” (1851), dichiara che ciò che vale per le cose finite non vale necessariamente per quelle infinite. Dall’accettazione dell’esistenza dell’infinito si è giunti così all’esistenza di diversi gradi di infinito; il maggior contributo dato alla teoria degli insieme infiniti è sicuramente quello del matematico tedesco Georg Cantor, il quale, assieme agli studi di Richard Dedekind sul metodo delle sezioni, ha portato finalmente a una definizione matematica positiva di insieme infinito: un sistema si dice infinito se è equipotente a una sua parte propria. L’insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito perché, per esempio, il suo sottoinsieme proprio dei numeri pari è equipotente ad N stesso. Basta considerare la funzione 1-1 su f : n à 2n che lega biunivocamente ogni numero naturale con un numero pari. Al contrario, nessun insieme finito non vuoto può essere equipotente a un suo sottoinsieme proprio. In questo modo il discrimen tra insiemi finiti e infiniti è fissato con precisione matematica, abbandonati i vaghi concetti empiriciintuitivi (definizione di insieme infinito come insieme che contiene un numero infinito di elementi) che hanno attraversato la storia della matematica fino alla grande rivoluzione fra ‘800 e ‘900. Da questo trampolino di lancio, però, il percorso dell’infinito attuale è ancora lungo è complesso. Riuscirà l’uomo a raggiungere l’infinito? E’ questo un concetto realmente abbordabile per le nostre possibilità? Abbiamo ancora paura dell’infinito, o siamo finalmente pronti a conoscerlo? Sono domande a cui, forse, solo il tempo risponderà. Augurandoci che, certo, non sia un tempo infinito. Silvia Bernardi Bibliografia • M. Ferrari, L’infinito in matematica, conferenza tenuta al Liceo Scientifico Antonelli di Novara Aprile 2011 • L’infinito matematico e dintorni http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pes cetti/ricerca_infinito_2004_05/somm _greci/infi_greci.htm • L’infinito in matematica http://www.vialattea.net/pagine/ infinito/ • Infinito, di Luca Granieri http://www.dm.unipi.it/~granier i/Infinito.html • E-school di Errigo Amadori, Analisi I, Insiemi finiti ed infiniti http://www.arrigoamadori.com/lezion i/InsiemiFinitiEdInfiniti/InsiemiFiniti EdInfiniti.htm Sotto, il dardo scagliato ma in realtà immobile perchè in ogni momento occupa uno spazio uguale a se’ stesso, paradosso proposto da Zenone, filosofo di Elea, VI-V sec., per dimostare l’impossibilità del movimento e quindi l’impossibilità della divisibilità, finita o infinita, dello spazio e quindi della molteplicità 4
L’infinito compare in questa intervista in una delle sue più note rappresentazioni simboliche: quella matematica! In ogni caso, come si vede, anche l’infinito apprezza il caffè. Intervista all’infinito di Giuseppina Vastola Sabato 6 Maggio 2011 ore 16:00: l’Infinito ha accettato di incontrarci per questa data, nonostante i suoi numerosi impegni. L’intervista si svolge presso casa mia perché l’intervistato si mostra restio a mostrarci la propria abitazione e preferirebbe evitare i luoghi pubblici. Puntualissimo, inizialmente risulta un personaggio schivo. Nonostante il suo modo di esprimersi vago ed indefinito, siamo riusciti ad ottenere qualche dettaglio maggiore sulla personalità di questo personaggio di spicco dei nostri giorni. D. Grazie, innanzitutto, di essere venuto. Siamo onorati di avere l’occasione di poterLa intervistare. E’ risaputo che Lei può essere sia positivo sia negativo. Qual è la propria sensazione riguardo quest’intervista? Il suo stato d’animo oggi? Mi dica quando possiamo iniziare. Chi non vorrebbe conoscere di persona l’infinito? La nostra redattrice lo ha intervistato per i lettori di Focus. Ecco le domande che avreste sempre desiderato porgli! R. Mi sento a mio agio, grazie. Sono molto positivo a riguardo, penso che da questa intervista potrebbe derivare un’ottima pubblicità a mio favore. Inizi pure con le domande. D. Bene. Lei è impegnato in molte attività; la Sua competenza spazia in diversi ambiti e materie, come la Matematica, la Filosofia e la Letteratura. Inoltre, è ormai un dato di fatto che molti Limiti tendano a Infinito: Lei è consapevole di essere un creatore di tendenze? R. Si, mi era giunta voce di questa nuova moda sempre più dilagante. E’ stato X, il mio manager, il primo a comunicarmi la notizia e a consegnarmi le lettere dei miei primi fans. Ecco, colgo l’occasione per ringraziarli tutti, soprattutto le Funzioni, un gruppo di ragazze da Geometria Analitica, un paese in provincia di Matematica. Mi seguono sempre, ma non sono per nulla tangenti. Biunivoche! D. Ecco a proposito di popolarità, Lei è stato spesso citato da suoi colleghi del mondo Ansia da prestazione. dello spettacolo e della cultura. Ad esempio, l’amato Buzz Lightyear nel primo film della saga di Toy Story usa come proprio motto: . Non c’è forse una leggera nota di sarcasmo in questa sua frase? R. (Ride) Io e Buzz abbiamo già chiarito moltissimo tempo fa. In effetti, insinuare che oltre l’Infinito ci possa essere altro è stato un tiro mancino. Come Infinito non ci farei una bella figura se fossi finito. Comunque, è finito tutto con le sue scuse e una stretta di mano.D. Ne siamo felici, ma c’è anche un altro celeberrimo esempio, sicuramente più positivo, che vorremmo citare: “L’infinito” di Giacomo Leopardi. Che cosa ha da dire a riguardo? R. (Sorride commosso nel leggere il componimento stampato che gli abbiamo mostrato) L’amicizia che lega me e Giacomo dura da anni ormai e lui ben sa quanto io gli sia grato per questo regalo magnifico…non avrebbe potuto descrivermi meglio. D. A proposito di amicizia, vorremo parlare del suo peggior 5
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