APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

Z Λ (ρ, β) A = Z Λ (ρ, β) = 1 N!
∫
A
dq 1 ...dq n exp −βU(q 1 ...q N )
Z Λ [A] si puo’ interpretare come una funzione di partizione parziale nel senso che non si
integra su tutte le possibili configurazioni del sistema ma solo su un sottinsieme A.
Anche la funzione di partizione parziale ha un andamento esponenziale in Λ per grandi
Λ, perche’ si applicano gli stessi argomenti usati per provare il limite termodinamico per
Z. Consideriamo come insieme A l’insieme delle configurazioni tali che l’energia per unita’
di volume U/Λ sia minore di ē − δ per ogni δ positivo, dove ē e’ l’energia termodinamica.
Possiamo quindi dire che
Z Λ [A] ∼ exp Λ sup(s(ρ, e) − βe)
e∈I
dove I = [−∞, ē − δ]. La probabilita’ che U/Λ sia minore di e − δ e’ allora data da
Z Λ [A]/Z Λ (ρ, β) ∼ expΛ[sup(s(ρ, e) − βe) − sup(s(ρ, e) − βe)]
e∈I
ε∈R
Poiche’ l’estremo superiore su un sottinsieme e’ in genere piu’ piccolo dell’estremo superiore
su tutto l’insieme tale probabilita’ va a zero per Λ che tende all’infinito. Per lo stesso motivo
va a zero la probabilita’ che U/Λ sia maggiore di ē + δ per ogni δ positivo. In conclusione
nel limite Λ che tende all’infinito l’energia per unita’ di volume assume lo stesso valore per
tutte le configurazioni e questo valore e’ il valore dell’energia che caratterizza lo stato nel
microcanonico.
2.4 Transizione di fase.
La concavita’ dell’energia libera non implica che la funzione abbia un unico punto di
massimo. Puo’ infatti accadere che f come funzione di ρ abbia dei tratti rettilinei. Cominciamo
ad esaminare l’entropia come funzione di e. Supponiamo che l’entropia abbia un
tratto rettilineo. Siano e − ed e + i valori estremi dell’intervallo in cui l’entropia e’ lineare.
Se si guarda al grafico di s(ρ, e) −βe, si ha che la funzione raggiunge il massimo non in un
punto, ma sull’intervallo [e − , e + ], in cui quindi risulta costante.
L’ energia libera puo’ ancora essere costruita come trasformata di Legendre, ma in tal
caso la funzione sara’ solo concava in β e non avra’ derivata seconda. Infatti l’energia
interna risulta una funzione discontinua di β con un salto pari a rispetto e + − e − . Per
vederlo si ragiona cosi’: se β ′ < β e’ tale che il massimo e’ raggiunto in un solo punto
e(ρ, β ′ ), allora per la concavita’ dell’entropia si avra’e(ρ, β ′ ) > e + . Analogamente se
β” > β e’ tale che il massimo e’ raggiunto in un solo punto e(ρ, β”) allora e(ρ, β”) < e − .
Poiche’ β ′ e β” possono essere scelti arbitrariamente vicini a β, l’energia ha un salto di
e + − e − , che rappresenta il calore latente per unita’ di volume. Di conseguenza, poiche’
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