APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

Teorema. Un sistema dinamico e’ indecomponibile se e solo se ogni sottinsieme invariante
ha misura 0 o 1.
1.3 Sistemi mixing e Bernoulli.
Una nozione piu’ forte di ergodicita’ (nel senso che la implica) e’ quella di mixing.
Proprietá di mescolamento.
Un sistema dinamico (M, S t , µ) si dice mescolante se per ogni coppia di sottinsiemi di
M, A e B si ha
lim µ(S tA ∩ B) = µ(A)µ(B) (2.3)
t→∞
Una nozione equivalente di sistema mescolante e’
Un sistema dinamico (M, S t , µ) si dice mescolante se per ogni coppia di funzioni misurabili
f e g si ha
∫
∫ ∫
lim f(S t x)g(x)dµ = f(x)dµ g(x)dµ
t→∞
M
M M
Per vedere che le due definizioni sono equivalenti basta osservare che se si scelgono come
f e g le funzioni caratteristiche degli insiemi A e B, χ A , χ B la seconda relazione si riduce
alla prima usando le identita’
∫
M
χ A (x)dµ = µ(A);
∫
M
χ A (x)χ B (x)dµ = µ(A ∩ B)
Viceversa ogni funzione misurabile si puo’ approssimare con una combinazione lineare di
funzioni caratteristiche di sottoinsiemi di M.
Una proprieta’ piu’ debole del mescolamento e’ quella di mescolamento in media:
lim
T →∞
o equivalentemente
1
T
∫ T
0
∫
∫ ∫
dt f(S t x)g(x)dµ = f(x)dµ g(x)dµ (2.4)
M
M M
∫ T
lim
T →∞ 0
dtµ(S t A ∩ B) = µ(A)µ(B) (2.5)
Teorema. Il mescolamento in media e’ equivalente all’ergodicita’.
Infatti, se un sistema e’ mescolante in media allora per A = B e A insieme invariante si
ha che µ(A) = µ 2 (A) che implica µ(A) = 0, 1 e quindi l’ergodicita’.
Viceversa se il sistema e’ ergodico, si ha
lim
T →∞
1
T
∫ T
0
χ A (S t x)χ B (x) = µ(A)χ B (x)
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