APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

Studiamo ora la derivata seconda del funzionale energia libera per stabilire quali sono i
valori d’ intersezione della magnetizzazione che producono misure d’ equilibrio. Risulta
d 2 φ
dm 2 = −2dJ +
T
1 − m = 1 (
−2βdJ +
2 β
)
1
1 − m 2
(4.24)
se β < β c
risulta
d 2 φ
dm 2 > 0 per m = 0
Dunque per temperature sufficientemente alte e campo magnetico nullo, si ha un’ unica
distribuzione di probabilità all’ equilibrio, corrispondente ad una magnetizzazione nulla.
se β = β c
risulta
d 2 φ
dm 2 = 0 per m = 0
In questo caso non è possibile dire se l’ energia libera abbia un minimo in corrispondenza
di una magnetizzazione nulla. Per poter affermare ciò si dovrebbero studiare le derivate
di ordine superiore. Questo confermerebbe che l’ energia libera ha un minimo in m = 0 e
β = β c , cioè l’ equilibrio esiste ed è unico.
se β > β c
risulta
d 2 φ
dm 2 < 0 per m = 0
Dunque a temperature basse l’ equilibrio del modello non è più caratterizzato da una
magnetizzazione nulla. Per studiare le soluzioni rimanenti, cioè β > β c e m = ±m s ,
scriviamo l’ equazione di consistenza nella forma
e consideriamone le soluzioni grafiche
2βdJm = arctanh m (4.25)
Fig. 4.2
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