APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

dove X c e’ l’insieme complementare di X ed ha misura 1 − α. Osserviamo ora che µ(·|X)
e µ(·|X c ) definiscono due misure sullo spazio delle configurazioni, trasl-invarianti perche’
costruite attraverso condizionamenti ad insiemi trasl-invarianti. Abbiamo cosi’ scritto
la misura µ come combinazione convessa di due misure di equilibrio (perche’ ottenute
attraverso condizionamenti da una misura di equilibrio) diverse con coefficiente α ≠ 0, 1,
e questo contraddice l’ipotesi.
Uno stato estremale corrisponde ad uno stato puro ed uno stato non-estremale ad una
miscela. Costruiamo, data una osservabile f, una osservabile invariante per traslazione
in Λ prendendo la media sulle traslazioni di f: ˆfΛ (x) = 1 ∑
|Λ| a∈Λ f(τ ax). Questa e’
un’osservabile intensiva. La sua fluttuazione rispetto ad una misura µ estremale,
〈 ˆf Λ (x) 2 〉 µ − 〈 ˆf Λ (x)〉 2 µ
tende a zero per Λ che tende all’infinito. Infatti per la trasl-invarianza della misura µ si
ha
〈 ˆf Λ (x) 2 〉 µ = 1 ∫ ∑
f(τ a x)f(x)dµ + o( 1
|Λ|
|Λ| )
a∈Λ
Per l’ergodicita’ si ha
lim
Λ→∞
∫
1 ∑
∫
f(τ a x)f(x)dµ = [
|Λ|
a∈Λ
f(x)dµ] 2 = lim
Λ→∞ 〈 ˆf Λ (x)〉 2 µ
dove l’ultima eguaglianza e’ vera di nuovo per la trasl-invarianza di µ. In conclusione in
uno stato ergodico la fluttuazione di una generica osservabile intensiva va a zero nel limite
termodinamico, che e’ esattamente quello che deve succedere in una fase pura. In una
miscela, ad esempio di liquido e gas, invece la densita’ media dipende dalla regione su cui
si media: coesistono regioni a densita’ diversa (bolle di gas e bolle di liquido).
In realta’ si dimostra di piu’ sugli stati estremali: vale una proprieta’ cosiddetta di
clustering, che e’ una proprieta’ di decadimento delle funzioni di correlazioni. Usando per
semplicita’ le variabili di spin, siano A e B due insiemi di spin sul reticolo e σ A = ∏ i∈A σ i,
σ B = ∏ i∈B σ i. Si ha clustering se
lim 〈σ Aσ B 〉 = 〈σ A 〉〈σ B 〉
d(A,B)→∞
In altri termini si ha clustering se allontanando un insieme da un altro le correlazioni
decadono. Si puo’ riformulare questa proprieta’ in termini della nozione di mixing per
il sistema dinamico formato dalla misura (che e’ invariante per traslazione), dallo spazio
delle configurazioni , dal gruppo delle traslazioni T. Fissato l’insieme A si allontana B da
A usando il gruppo delle traslazioni.
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