APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

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Data un’osservabile f su M e misurabile rispetto a µ, la media temporale e’ definita da 1 ¯f(x) = lim T →∞ T ∫ T L’esistenza del limite (2.1) e’ data dal teorema di Birkhoff 0 f(S t x)dt (2.1) Teorema. Il limite (2.1) esiste quasi ovunque rispetto alla misura µ. Inoltre per costruzione ¯f e’ invariante rispetto a S t , cioe’ ¯f(St x) = ¯f(x) per ogni t, a parte insiemi di misura nulla. Infine < ¯f >=< f >, dove il simbolo < · > indica la media rispetto alla misura µ, < g >= ∫ M gdµ. 1.2 Criteri di ergodicita’. Un sistema dinamico si dice ergodico se lim T →∞ 1 T ∫ t 0 f(S t x)dt =< f > (2.2) Qundi per un sistema ergodico la media temporale non dipende dal dato iniziale. Ritornando al sistema di particelle, da qualunque punto nello spazio delle fasi il sistema inizi il suo moto la sua media temporale sara’ sempre la stessa. Questo significa che il sistema per essere ergodico non puo’ avere moti periodici, non ci possono essere orbite periodiche che descrivano il suo moto nello spazio delle fasi. Infatti in tal caso si ottengono valori diversi per la media temporale in dipendenza dall’orbita scelta ( e questa dipende dal dato iniziale). La presenza di orbite periodiche e’ legata all’esistenza di quantita’ conservate nel moto, cioe’ osservabili f tali che f(S t x) = f(x). Ogni osservabile di questo tipo individua una ipersuperficie nello spazio delle fasi. Queste considerazioni portano ad un criterio per l’ergodicita’, che e’ una definizione equivalente di ergodicita’ Teorema. Un sistema e’ ergodico se e solo se ogni funzione invariante e’ costante. La prova e’ semplice. Supponiamo che il sistema e’ ergodico; poiche’ f e’ invariante la sua media temporale coincide con il valore della funzione lungo il moto, ma poiche’ il sistema e’ ergodico questo valore non dipende da x e quindi la funzione e’ costante. Viceversa supponiamo che ogni f invariante e’ costante e proviamo che il sistema e’ ergodico. Ragionando per assurdo se non vale l’ergodicita’ esiste almeno una funzione tale che ¯f dipende da x. ma ¯f e’ invariante e quindi si contraddice l’ipotesi. E’ molto facile fare un esempio di sistema non ergodico: una catena di oscillatori armonici. Ci sono tante grandezze conservate quanti sono i modi normali. Invece e’ molto difficile fare un esempio di sistema ergodico (biliardo di Sinai). 6
Esempio: rotazione uniforme sul cerchio. Un esempio di sistema ergodico unidimensionale e’ il seguente: sia M il cerchio di raggio 1; M = {y : y = e 2πix , x ∈ R}. La misura µ e’ data da dx/2π. Il gruppo delle trasformazioni e’ il gruppo delle traslazioni discrete sul cerchio, di parametro α ∈ R: S α y = e 2πi(x+α) . Se α e’ irrazionale il sistema dinamico e’ ergodico. Infatti sia f una funzione sul cerchio invariante sotto S α . I coefficienti di Fourier ˆf k di f(y) e di f(S α y) devono coincidere da cui ∫ 2π 0 ∫ dx 2π dx 2π e−2πikx f(x) = 0 2π e−2πik(x−α) f(x) per ogni k. Questa condizione e’ verificata, per α irrazionale se e solo se ˆf k = 0 per ogni k ≠ 0. Quindi f e’ una costante. Un’altra criterio di ergodicita’ e’ basato sulla nozione di indecomponibilita’ metrica. Definizione di decomponibilita’ metrica.. Un sistema dinamico si dice metricamente decomponibile se esistono due sottiinsiemi di M, M 1 e M 2 , invarianti e di misura positiva tali che M 1 ∪ M 2 = M. Teorema. Un sistema dinamico e’ ergodico se e solo se e’ metricamente indecomponibile. Prova a) supponiamo che il sistema sia decomponibile e mostriamo che necessariamente non e’ ergodico. Per ipotesi esistono due insiemi M 1 e M 2 invarianti di misura positiva tali che M = M 1 UM 2 . Costruiamo la funzione { 1 x ∈ M1 f(x) = 0 x ∈ M 2 La media temporale di f cosi’ costruita e’ tale che ¯f(x) = { 1 x ∈ M1 0 x ∈ M 2 e quindi il sistema non puo’ essere ergodico, perche’ ¯f e’ invariante e non costante allo stesso tempo. b) supponiamo che il sistema non e’ ergodico e proviamo che necessariamente e’ decomponibile. Per ipotesi esiste una funzione invariante che non e’ costante, chiamiamola g. Costruiamo due sottoinsiemi di M M 1 = {x : g(x) < k}; M 2 {x : g(x) ≥ k} Poiche’ g e’ invariante i due insiemi sono invarianti per costruzione. Inoltre la loro unione e’ M ed e’ sempre possibile scegliere k in modo che i due insiemi sono di misura positiva. Quindi il sistema e’ decomponibile. 7
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Negli altri casi basta osservare ch
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Facciamo il limite n → ∞. La di
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complicato per cui la cosa piu’ s
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