APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

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sono due configurazioni possibili (spin positivi dentro o fuori). Questo numero si stima dicendo che se partendo da un punto si comincia a tracciare una linea si hanno 2d − 1 possibilita’ per disegnare il primo segmento. Quindi per tracciare una linea lunga K ci sono (2d − 1) K modi. Il punto di partenza a sua volta puo’ essere preso in circa K 2 modi (stima dell’area del circuito chiuso). In definitiva la differenza di entropia e’ stimata da K 2 (2d − 1) K e la differenza di energia libera e’ φ(B) − φ(A) = 2KJ − TK log(2d − 1). Di conseguenza, per temperature minori di log(2d − 1)/2J la variazione di energia libera e’ positiva e le configurazioni ordinate sono favorite, mentre per temperature maggiori il sistema preferisce uno stato disordinato. Dobbiamo percio’ aspettarci una transizione ordine-disordine guidata dalla temperatura. 34
3. MISURE <strong>DI</strong> PROBABILITA’ A VOLUME INFINITO. L’analisi del modello di Ising unidimensionale mostra che nel limite di volume infinito, a temperatura zero, la media della magnetizzazione ha valori diversi quando calcolata usando misure di Gibbs a volume finito che differiscono per le condizioni al contorno. Questo significa che le corrispondenti misure di probabilita’ a volume infinito sono diverse. Finora e’ stato esaminato solo il limite di volume infinito per i potenziali termodinamici, ma ora vogliamo informazioni anche sui valori medi delle osservabili in questo limite e in generale serve capire che cosa si intende per misure di probabilita’ a volume infinito. A questo fine occorre dare una nozione di convergenza per le misure. Cominciamo con l’introdurre nello spazio delle configurazioni Ω una topologia. Consideriamo solo gas reticolari con al piu’ una particella per sito, quindi una configurazione ω ∈ Ω e’ ω ≡ τ, τ = 0, 1 o ω ≡ σ, σ = ±1 nel linguaggio di spin. Una configurazione puo’ anche essere descritta da un sottinsieme del reticolo, considerato ad es. come l’insieme dei siti occupati. Sia X ∈ Z d una configurazione del sistema; diciamo che X n converge a X se e solo se per ogni Λ in Z d si ha che X n ∩ Λ = X ∩ Λ per n grande. Lo spazio topologico che cosi’ e’ costruito e’ compatto. Questa nozione di convergenza corrisponde alla topologia prodotto: poiche’ Ω e’ un insieme prodotto degli insiemi {0, 1} e’ dotato di una topologia naturale, la topologia prodotto delle topologie discrete su {0, 1} (0 e 1 sono insiemi aperti). La base di aperti nella topologia prodotta e’ data dagli insiemi: fissata una configurazione ¯ω X per i siti in X ⊂ Z d , A X e’ detto insieme cilindrico di base X A X = {ω ∈ Ω : ω| X = ¯ω X } dove ω| X e’ la configurazione ristretta ai siti in X. Tale topologia e’ metrizzabile in termini della metrica d definita da d(ω i , ω j ) = sup x∈Z d 1 2 | x| d x(ω i , ω j ) con d x (ω i , ω j ) = 1 se ω i (x) = ω j (x) ed e’ zero altrimenti. Quindi d(ω i , ω j ) = 1 se le due 2 | x| configurazioni coincidono in un cubo di centro l’origine e lato |x| e sono diverse (diverse significa che ci sono dei siti in cui non coincidono) al di fuori. Compattezza Per il teorema di Tychonoff lo spazio topologico Ω e’ compatto. Una funzione che dipende solo dal valore della configurazione in Λ e’ detta cilindrica di base Λ. Si vede facilmente che le funzioni cilindriche sono continue, cioe’f(X n ) → f(X) per X n → X. Le funzioni cilindriche formano un’algebra che contiene l’identita’ e separa 35
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6. METODI NON PERTURBATIVI. DISEGUA
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Negli altri casi basta osservare ch
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f(σ) ≤ f(σ ′ ) ∀σ ≺ σ
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Le g(A) sono g(∅) = 1 4 ∑ ∑ t
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¯B γ 1 (γ 2 . . .γ s ) = B(γ 2
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Si vede allora come la risoluzione
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Sviluppando i prodotti si ottiene:
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Z Λ = ∑ Π b cosh β ∑ σ τ b
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9. ELEMENTI DI TEORIA DELLA PERCOLA
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k(n) = χ 0 + ∑ j∈Z d −{0} ne
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10.1 Blocchi di spin e teorema del
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Facciamo il limite n → ∞. La di
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complicato per cui la cosa piu’ s
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