APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

〈f〉 µ1 = ∑
Y ∈M e
µ(Y )〈f〉 µ1
Y
Le equazioni DLR possono avere anche piu’ di una soluzione. Esaminiamo le conseguenze
della non-unicita’. Supponiamo che esistono due misure µ 1 e µ 2 diverse, cioe’
esiste qualche osservabile cilindrica f di base M ad esempio per cui si ha
〈f〉 µ1 ≥ 1, 〈f〉 µ2 ≤ 0 (3.3)
Si puo’ provare che per ogni Λ che contiene M esistono Y 1 e Y 2 tali che
〈f〉 µ
Y 1
1
≥ 1, 〈f〉 µ
Y 2
2
≤ 0 (3.4)
Infatti da (3.3) e (3.2) si ha che esistono Y 1 e Y 2 tali che la (3.4) vale.
Questo risultato dice che le condizioni al contorno determinano un cambiamento della
attesa di un’osservabile locale. Il valore medio di tale osservabile localizzata ad esempio in
una regione intorno all’origine risente dell’effetto del campo esterno sul contorno comunque
lontano sia il contorno, come accade nel modello di Ising d = 1 per la magnetizzazione a
T = 0.
3.2 Misure trasl-invarianti e principio variazionale.
Consideriamo una particolare classe di misure, le misure trasl-invarianti.
Sia T x , x ∈ Z d il gruppo delle traslazioni discrete sul reticolo. Una misura di probabilita’
su Ω e’ detta invariante per traslazione se µ(T x A) = µ(A) per ogni insieme di
configurazioni di Ω.
Esempio di misura non trasl-invariante. Consideriamo una misura di probabilita’ che
sia concentrata sulla seguente configurazione: tutti gli spin nel semispazio positivo del
reticolo sono positivi e nell’altra meta’ sono negativi. L’insieme delle configurazioni che
danno valore 1 nel punto x ha valore 1 se x e’ nel semispazio positivo e 0 se x e’ nel
semispazio negativo.
Consideriamo l’insieme delle misure di probabilita’ trasl-invarianti. Introduciamo un
funzionale energia libera su questo insieme e faremo vedere che gli stati di equilibrio del
sistema sono descritti dalle misure di probabilita’ che minimizzano questo funzionale.
40