APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

More documents

Recommendations

Info

Fig. 2.5 Osservazione. In questo tipo di transizioni di fase c’e’ anche presenza di calore latente λ = Tds, dove λ e’ l’energia liberata (od assorbita) in una transizione di fase λ = e + − e − + P(v + − v − ). 24
2.5 Gas reticolari. Modello di Ising. Consideriamo ora il gas reticolare che e’ un modello estremamente semplificato che pero’ presenta proprieta’ interessanti in meccanica statistica, in particolare si hanno fenomeni di transizione di fase per questo modello. Consideriamo una partizione di R d in cubi di lato 1 (cio’ corrisponde ad aver fissato l’unita’ di misura uguale alla lunghezza del lato). Supponiamo che in ogni cubo sia presente al piu’ una particella e che l’interazione fra particelle non vari in modo significativo all’interno dei cubi. In questo modo stiamo costruendo un reticolo Z d formato dai centri dei cubi. Una configurazione del sistema di particelle e’ determinata assegnando la variabile numero di occcupazione in ogni cubo. Quindi una configurazione e’ una funzione su Z d a valori 0, 1. Indichiamo con n = {n i } I∈Z d una configurazione dove n i = 0, 1 e’ il numero di occupazione nel sito i. Gli stati di un gas reticolare sono le misure di probabilita’ µ sullo spazio delle configurazioni {0, 1} Zd . L’interazione e’ una funzione φ xy = φ(|x−y|), x, y ∈ Z d , φ : Z d → R con ∑ r∈Z d φ(|r|) < ∞. L’hamiltoniana e’ data dA H(n) = − ∑ x≠y φ xy n x n y La presenza del fattore n x n y discende dal fatto che se nel sito i non c’e’ una particella il contributo all’energia e’ zero.La somma sulle particelle e’ diventata una somma sui siti reticolari. Per costruire la funzione di partizione gran-canonica si osserva che l’integrale sullo spazio delle configurazioni q 1 ...q n diventa una somma sulle configurazioni n = {n i , i ∈ Λ} tale che ∑ i n i = N. In definitiva Z(βµ) = ∑ n exp{βµ ∑ i n i + β ∑ i≠j φ ij n i n j } Notare che il fattore 1 N! e’ scomparso perchè in una configurazione n non e’ detto quali particelle sono in quali siti. Un altro caso interessante isomorfo al gas reticolare e’ un sistema di spin di Ising. In questo caso la configurazione nel sito i e’ individuata dal valore dello spin σ i che puo’ assumere valori 1 e −1. L’energia associata alla configurazione σ e’ H(σ) = − ∑ i≠j J ij σ i σ j − ∑ i h i σ i dove h i e’ il campo magnetico locale. L’isomorfismo si ha mediante la seguente identificazione n i = 1 + σ i 2 25
Page 1 and 2: APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Ros
Page 3 and 4: 7.2 Equazioni ricorsive: bassa temp
Page 5 and 6: 1. IPOTESI ERGODICA La Meccanica St
Page 7 and 8: Esempio: rotazione uniforme sul cer
Page 9 and 10: da cui integrando rispetto a dµ si
Page 11 and 12: 2. EQUIVALENZA DEGLI ENSEMBLES E LI
Page 13 and 14: Considereremo solo potenziali a cop
Page 15 and 16: ∞∑ z N |Λ| N ∫ Ξ Λ (β, z)
Page 17 and 18: particelle su un totale di N k+1 in
Page 19 and 20: 2.3 Equivalenza degli ensembles. La
Page 21 and 22: ∞∑ n=0,m=0 z n z m 1 ∫ dq 1 .
Page 23: l’energia interna e’ la derivat
Page 27 and 28: alla distribuzione degli spin. E’
Page 29 and 30: L’energia libera e’ analitica i
Page 31 and 32: Poichè la misura di Ising espressa
Page 33 and 34: Da questa relazione si vede anche c
Page 35 and 36: 3. MISURE DI PROBABILITA’ A VOLUM
Page 37 and 38: µ Y Λ = (Z Λ) −1 ∑ τ∈Λ e
Page 39 and 40: Allora µ Z M (A X|B Y ) = µ Λ(A
Page 41 and 42: Funzionale entropia Definiamo l’e
Page 43 and 44: Inoltre il principio variazionale p
Page 45 and 46: Riassumendo, lo studio degli stati
Page 47 and 48: s[µ] := − 1 |Λ| < log µ > µ e
Page 49 and 50: 4.2 Equazione di consistenza Cominc
Page 51 and 52: Dal grafico si riconosce che la der
Page 53 and 54: Studiamo graficamente le soluzioni
Page 55 and 56: da cui La (4.35) può scriversi qui
Page 57 and 58: Sostituendo la (4.48) nella (4.45)
Page 59 and 60: H ′ Λ (σ) = −h ∑ i σ i −
Page 61 and 62: tanh[βJ(σ i−1 + σ i+1 )] = A +
Page 63 and 64: La formula (4.66) costituisce il pu
Page 65 and 66: ξ = 1 1 1 − 2βdJ 2 (4.100) Se
Page 67 and 68: 5. MODELLO DI ISING. RISULTATI 5.1
Page 69 and 70: chiaro che è stato possibile rivel
Page 71 and 72: sono non-negativi. Per costruzione
Page 73 and 74: Z N (β, h) = ∑ σ N∏ i=1T σi
Page 75 and 76:
lim < σ iσ j > (β, 0) = 0 ∀β
Page 77 and 78:
la funzione di partizione può esse
Page 79 and 80:
Proposizione L’ energia libera no
Page 81 and 82:
metodo che fa uso dei contorni deve
Page 83 and 84:
Una possibile stima per i coefficie
Page 85 and 86:
Per scrivere la f in modo più conv
Page 87 and 88:
Il calcolo delle funzioni di correl
Page 89 and 90:
6. METODI NON PERTURBATIVI. DISEGUA
Page 91 and 92:
Negli altri casi basta osservare ch
Page 93 and 94:
il valore del β al quale appare la
Page 95 and 96:
f(σ) ≤ f(σ ′ ) ∀σ ≺ σ
Page 97 and 98:
Prendiamo il limite h → 0 + di en
Page 99 and 100:
e quindi ¯β = 1 2dJ = βc.m. c ch
Page 101 and 102:
Le g(A) sono g(∅) = 1 4 ∑ ∑ t
Page 103 and 104:
||S|| ≤ 2 2d tan h[βJ2d] (7.13)
Page 105 and 106:
¯B γ 1 (γ 2 . . .γ s ) = B(γ 2
Page 107 and 108:
Le equazioni (7.30) assumono la for
Page 109 and 110:
8. ALTRI MODELLI 8.1 Modello gaussi
Page 111 and 112:
Si vede allora come la risoluzione
Page 113 and 114:
dove n e’ un sito del reticolo a
Page 115 and 116:
Sia A(k) = ∑ n eikn sin θ n , B(
Page 117 and 118:
Sviluppando i prodotti si ottiene:
Page 119 and 120:
Z Λ = ∑ Π b cosh β ∑ σ τ b
Page 121 and 122:
8.4 Modelli di teoria di gauge. Pri
Page 123 and 124:
ange finito tali correlazioni devon
Page 125 and 126:
σ Γ > (β) =< ∏ ∑ σ p >=< ex
Page 127 and 128:
9. ELEMENTI DI TEORIA DELLA PERCOLA
Page 129 and 130:
k(n) = χ 0 + ∑ j∈Z d −{0} ne
Page 131 and 132:
e, per spin-flip, anche la disuguag
Page 133 and 134:
Fatto ci ci rimane da capire la rel
Page 135 and 136:
10.1 Blocchi di spin e teorema del
Page 137 and 138:
data da P(S(N) = y) = 1 Z N ∑ σ:
Page 139 and 140:
Facciamo il limite n → ∞. La di
Page 141 and 142:
complicato per cui la cosa piu’ s
show all

APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?