APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

Teorema.
∫
Sia s(g Λ ) l’entropia di g Λ a volume finito, s(g Λ ) = − 1 Λ Λ g Λ(x) log g Λ (x). Allora prendendo
g Λ nella classe delle misure descritte prima si ha
e la diseguaglianza e’ stretta per g Λ ≠ ḡ Λ .
s(g Λ ) ≤ s(ḡ Λ ) + 0( 1 Λ )
Consideriamo l’entropia
s(g Λ ) = − 1 ∫
dxg Λ (x) log g Λ (x) = − 1 ∫
Λ
Λ
dxg Λ log g Λ
− 1 ∫
ḡ Λ Λ
dxg Λ log ḡ Λ
Il primo termine e’ l’opposto dell’entropia relativa di g Λ rispetto a ḡ Λ e si indica con
s(g Λ |ḡ Λ ). Il secondo diventa
− 1 Λ
∫
∫
dxg Λ log ḡ Λ =
[ 1
dxg Λ β
Λ H Λ + 1 log Z]
Λ
= βe + f(β, ρ) + 0( 1 Λ ) = s (e, ρ) + 0( 1 Λ )
dove f e’ l’energia libera a volume infinito. Notiamo che s(ḡ) = lim Λ→∞ s(ḡ Λ ) = s(e, ρ).
∫
s(g Λ |ḡ Λ ) =
dove e’ stato usato che g Λ e ḡ Λ hanno integrale 1.
dxḡ Λ [ g Λ
ḡ Λ
log g Λ
ḡ Λ
− g Λ
ḡ Λ
+ 1]
La funzione x log x − x + 1 > 0 ed e’ zero se e solo se x = 1. Quindi s(g Λ |ḡ Λ ) ≥ 0 per
ogni Λ e la diseguaglianza e’ vera anche nel limite
s(g) ≤ s(ḡ)
Notare che l’uguaglianza si ha solo per g = ḡ.
Quello che segue e’ un principio variazionale che seleziona tra tutte le misure di probabilita’
le misure di Gibbs come quelle che rendono massima l’entropia.
Teorema.
Fissato un potenziale φ, sia G la classe di misure di probabilita’ a volume infinito (tali
cioe’ che ∫ dµ = 1) trasl-invarianti tali che e(µ, φ) = x, e(µ, φ N ) = y. Allora
sup s(µ) = s(x, y)
µ∈G
Questo principio variazionale seleziona la misura canonica fra tutte le misure traslinvarianti
con fissato valore dell’energia e della densita’ come quella che massimizza l’entropia.
42