APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

Osserviamo che se il potenziale e’ a range finito il limite per Λ → ∞ di q Λ (X|Y ) esiste
finito (e lo indichiamo con q(X|Y ). Infatti la dipendenza da Λ e’ solo nei termini W(X|Y )
e W(R|Y ) che sono finiti se c’e’ range finito perche’ solo i siti in Λ/M che sono a distanza
da M pari al range danno contributo. Indichiamo con M e i siti in Λ/M che interagiscono
con i siti in M. Chiamiamo q(X|Y ) probabilita’ condizionali ( a volume infinito).
Passando al limite Λ → ∞
µ Λ (A X ) = ∑
µ(A X ) = ∑
Y ∈M e
q Λ (X|Y )µ Λ (B Y )
Y ∈M e
q(X|Y )µ(B Y ) (3.1)
Definiamo misure DLR relativi ad una Hamiltoniana H le misure a volume infinito le
cui probabilita’ condizionali sono date da q.
Mostriamo che esistono altre misure a volume finito diverse dalla gran-canonica che
hanno le stesse probabilita’ condizionali a volume infinito. Data la misura gran-canonica
in Λ consideriamo la misura condizionata µ Λ (·|Z) con Z ⊂ M e e Λ = M ∪ M e . Detta X
una configurazione in M si ha
µ Λ (A X |Z) =
exp −[U(X) + W(X|Z)]
∑
R∈M e
exp −[U(R) + W(R|Z)]
Si e’ cosi’ ottenuta una misura su M, µ Z M (·), con un termine di campo esterno W(X|Z)
sui siti del bordo di M (il bordo ha uno spessore pari al range del potenziale). Costruiamo
ora le q(X|Y ) per queste misure.
Chiamiamo X ⊂ D ⊂ M, Z ⊂ M e e Y ⊂ M/D gli insiemi in figura
Fig 3.1
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