APPUNTI DI MECCANICA STATISTICA Rossana Marra ... - statistiche

4. TEORIA DI CAMPO MEDIO PER IL MODELLO DI ISING.
4.1 Formulazione variazionale
La teoria di campo medio è una teoria approssimata per lo studio delle transizioni di
fase nel modello di Ising. Poichè in d = 1 il modello è esattamente risolubile per qualunque
valore del campo magnetico esterno ed in d = 2 il modello è esattamente risolubile ad h = 0
la teoria di campo medio si rivela utile nello studio del modello in d ≥ 3. Il confronto con
i risultati esatti permette inoltre di stabilire la bontà delle approssimazioni. Un modo
alquanto intuitivo di descrivere l’ idea di base della teoria è il seguente. La hamiltoniana
del modello di Ising con interazione a prossimi vicini, campo magnetico uniforme e b.c.
libere in una regione Λ ⊂ Z d è
H Λ (σ) = −h ∑ i∈Λ
σ i − J ∑
(i,j)∈Λ
σ i σ j (4.1)
L’ approssimazione della teoria di campo medio consiste nel modificare la hamiltoniana
(5.1) ammettendo che ogni spin del modello interagisca non con gli spin prossimi vicini, ma
con il valor medio degli spin prossimi vicini, cioè con la magnetizzazione. La hamiltoniana
di campo medio è data da
H Λ (σ) = −h ∑ i∈Λ
σ i − J 2
∑
i,j∈Λ
σ i m j (4.2)
dove
m j =< σ j > c.m. (4.3)
e la magnetizzazione è calcolata rispetto alla misura di campo medio. L’ equazione (4.3)
è interpretata come un’ equazione di consistenza le cui soluzioni forniscono i valori della
magnetizzazione permessi all’ equilibrio. Questo procedimento permette di conoscere di
fatto se, per dati valori dei parametri termodinamici (β, h), lo stato d’ equilibrio sia unico
oppure se siano possibili più valori per la magnetizzazione. Questo e’ la formulazione
originale della teoria di campo medio. Una formulazione alternativa e’ quella variazionale.
Si consideri l’ insieme delle misure trasl-invarianti definite sui sottinsiemi del reticolo
Λ ⊂ Z d . Definiamo i seguenti funzionali:
φ[µ] := e[µ] − Ts[µ] energia libera (4.4)
e[µ] :=< −hσ 0 − 1 2 J ∑ j
σ 0 σ j > µ energia (4.5)
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