Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

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p = 2k ⇒ ( a > b ≥ 0 ⇒ q p a > q p b ) Se infine p e q sono entrambi dispari, per ogni coppia di numeri reali a e b abbiamo a > b ⇔ p a > p b ⇔ q p a > q p b . 5. Reciproci di potenze Si deve distinguere tra disuguaglianze tra i reciproci di potenze pari e quelli di potenze dispari. 1 1 Cominciamo con > , con a e b entrambi non nulli. Trattandosi di potenze pari, 2 2 a b moltiplicando entrambi i membri per a 2 b 2 otteniamo b 2 > a 2 ; quindi abbiamo la coimplicazione 1 1 > ⇔ b 2 > a 2 2 2 a b Più in generale, si ottiene la regola 1 1 > ⇔ b 2k > a 2k k a 2 k b 2 Questa regola si estende al caso di potenze di esponenti diversi purché pari : 1 1 > ⇔ b 2k > a 2n n a 2 k b 2 Nel caso di potenze dispari, i segni possono essere concordi o discordi. Nel primo caso, possiamo applicare la stessa regola del passaggio al reciproco tra termini di segno concorde: p.es. 1 1 3 3 a⋅b > 0 ⇒ [ > ⇔ b > a ⇔ b > a ] 3 3 a b 1 1 invece se a⋅b < 0 , e hanno lo stesso segno di a e b rispettivamente in quanto 3 3 a b potenze dispari, per cui 1 a⋅b < 0 ⇒ [ 3 a 1 > 3 b Lo stesso per ogni reciproco di potenza con esponente dispari. ⇔ a > b ] Altri metodi 1. Scomposizione in fattori Si può dimostrare che a > b > 0 ⇔ a 2 > b 2 mediante scomposizione in prodotto di fattori: a 2 - b 2 = ( a – b ) ( a + b ) con ( a + b ) > 0 , perciò la differenza tra le basi ha lo stesso segno della differenza tra i quadrati se le basi sono entrambe positive: a – b > 0 ⇒ a 2 - b 2 > 0 . Con lo stesso metodo si dimostra, con 0 > a > b , che a – b > 0 ⇔ a 2 - b 2 < 0. Lo stesso procedimento si può applicare a | a | > | b | ⇔ 2 a > b ; in questo caso, si deve scomporre a – b in ( a - b ) ( a + b ) ecc. 2 b e a > b > 0 ⇔ a > Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 10/53 http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici. Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.
La regola a > b base alla identità 3 ⇔ a > 3 3 a – b = ( a – b ) ( a + ab + b ) qualora si riesca a dimostrare che, per ogni 3 b può essere dedotta anch’essa col metodo di decomposizione, in 2 2 2 2 coppia di reali a b non entrambi nulli, si abbia a + ab + b > 0 : condizione che effettivamente è vera, e corrisponde a una inidentità fondamentale, caso particolare della più generale inidentità n n−1 n−2 2 n−k k n−1 n a + a b + a b + ... a b + ... ab + b > 0 valida per ogni n naturale pari. La decomposizione in fattori si può applicare anche al caso a k 2 − b k 2 , cioè a una differenza di k k 2 2 2 b 2 potenze di esponente 2 k come a 4 – b 4 , a 8 – b 8 ecc.; infatti in tal caso si scompone in ( a − ) k k 2 2 2 b 2 ( a + ) ; p.es. a 8 – b 8 = ( a 4 – b 4 ) ( a 4 + b 4 ) e si procede nella scomposizione ottenendo, dopo k k 2 2 2 2 k passaggi compreso il primo, un prodotto di fattori ( a – b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 )... ( a + b ) . Tutti i fattori esclusi a – b e a + b sono definiti positivi in quanto somme di quadrati; a + b è positivo se lo sono a e b , quindi a > b > 0 ⇔ a k 2 k 2 − b > 0. n n−1 n−2 2 n−k k n−1 n Se si considera che anche a + a b + a b + ... a b + ... ab + b con n pari è strettamente positivo se a e b non sono entrambi nulli, la decomposizione si può applicare a tutte le differenze di esponente pari. P.es. a 6 – b 6 = ( a 3 – b 3 )( a 3 + b 3 ) = ( a – b ) ( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) ( a 2 – ab + b 2 ) e quindi il segno di a 6 – b 6 è quello di a 2 – b 2 ; più in generale, il segno di a 2k - b 2k è lo stesso di a 2 – b 2 . Questo metodo è più complicato di quello basato sulle regole immediate delle disuguaglianze, ma può essere utile per risolvere certe disequazioni binomie quali p.es. x 4 > 16 , x 10 < k ecc, senza ricorrere esplicitamente alle proprietà delle potenze, basandosi sul principio per cui i fattori definiti positivi in tutto il campo reale possono essere ignorati (di fatto, soppressi) nella risoluzione di una disequazione. In pratica, ciò consente di abbassare il grado della disequazione fino al secondo. 2. Funzioni monotone Le operazioni di elevamento a potenza dispari possono essere studiate anche a partire dalle proprietà delle funzioni monotone in senso stretto, cioè le funzioni reali di variabile reale tali che, detti a e b due elementi distinti qualsiasi del loro dominio, con a > b , si abbia f(a) > f(b) o f(a) < f(b) . Nel primo caso la funzione f è strettamente crescente, nel secondo decrescente. Queste funzioni sono biiettive, vale a dire ad elementi diversi del dominio corrispondono elementi diversi del codominio, in modo che anche la relazione inversa (da elementi del codominio a elementi del dominio) f -1 è biiettiva. Perciò, se f è monotona strettamente crescente, si ha, per ogni a, b appartenenti al dominio di f , a > b ⇔ f(a) > f(b) oppure, per ogni c e d appartenenti al codominio di f , c > d ⇔ f -1 (c) > f -1 (d) mentre per le f monotone strettamente decrescenti una delle due disuguaglianze deve essere invertita. Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 11/53 http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici. Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.
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