Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

definito dai due vettori, essa consegue da | cosγ | ≤ 1 . L’uguaglianza vale quindi se l’angolo
formato dai due vettori è nullo o piatto. In particolare, vale se → a = → b .
2. Disuguaglianza triangolare
Dati due vettori → a e → b , vale la disuguaglianza
→ → → →
| a + b | ≤ | a | + | b |
detta triangolare in quanto i tre lati di un triangolo ABC , considerati come valori assoluti di
distanze orientate, possono essere identificati nei tre vettori
→
+ BC .
→
AB ,
→
BC e
→
AC tali che
→
AC =
Questa disuguaglianza può essere facilmente dimostrata osservando che il modulo di un vettore è la
radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso, per cui
| C → | =
→ →
C ⋅C
→
AB
→ →
→ → → →
Infatti | a + b | = ( a + b ) ⋅ ( a+
b ) =
→
→
→
→
→
→
2 2
a⋅
a+
b⋅
b+
2 a⋅
b ≤ a + b + 2ab
= a + b , dove
a e b rappresentano i valori assoluti di → a e → b . La dimostrazione si basa sulla commutatività del
prodotto scalare e sulla disuguaglianza precedente.
3. Disuguaglianza triangolare per i numeri complessi
La disuguaglianza triangolare è formalmente identica per i numeri reali e per i vettori. Tale identità
può essere ricondotta al fatto che è valida per i numeri complessi, e i numeri complessi sono in
corrispondenza biunivoca con i vettori. Infatti, dato un sistema di riferimento cartesiano, il numero
complesso A + Bi corrisponde alla somma vettoriale di un vettore di modulo A orientato lungo
l’asse X e di un vettore ad esso ortogonale di modulo B .
La somma di numeri complessi in generale corrisponde alla somma dei vettori associati:
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 36/53
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