Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

3. Valori assoluti
Per via grafica è anche possibile discutere la disequazione | x | > k e, più in generale, | x − c | > k ,
e le disequazioni opposte | x | < k e | x − c | < k :
Il grafico di | x | è l’unione delle bisettrici del primo e del secondo quadrante, e, se k > 0 ,
interseca qualsiasi retta y = k in due punti di ascissa k e - k rispettivamente. Se | x | > k , dal
grafico si deduce che x < - k oppure x > k ; se | x | < k , si ha invece - k < x < k .
Se k = 0 , il grafico di | x | tocca l’asse delle x solo nell’origine, quindi è | x | > 0 per ogni x
diverso da zero; evidentemente è sempre vero che, se k < 0 , | x | > k , mentre è impossibile che
| x | sia minore di zero, dato che il grafico non contiene punti di ordinata positiva.
[va tuttavia notato che l’uso di un grafico per risolvere disequazioni costituisce una sorta di inversione logica del
corretto processo deduttivo. E’ vero che il grafico di una funzione data contiene tutte le informazioni su quella funzione
e quindi è lecito partire dal grafico per risolvere qualsiasi problema che utilizzi tali informazioni, ma queste non
possono essere dedotte dal grafico stesso. Questo infatti è solo una rappresentazione della funzione, ma le proprietà
della funzione debbono essere ricavate prima di poter disegnare il grafico. Tali proprietà sono determinate anche
risolvendo disequazioni, o a partire dalla definizione stessa della funzione: questo vale, in particolare, per lo studio del
segno della funzione ].
Per il grafico di | x − c | > k o < k, si può trasformare il precedente traslando l’asse verticale di c
unità nel verso negativo dell’asse delle x , o traslare l’intero grafico di c unità verso destra, a
seconda che c sia positivo o negativo rispettivamente: operando in tal modo l’origine degli assi è
spostata nel punto C( c; 0 ) e le intersezioni con la retta y = k sono trasformate in c – k e c + k .
Si ottiene quindi
| x − c | > k ⇔ x < c – k ∨ x > c + k e | x − c | < k ⇔ c – k < x < c + k
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 40/53
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