Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

Dalla disuguaglianza ( a + b ) 2 ≤ ( | a | + | b | ) 2
si deduce
2
( a + b) ≤
(| a | + | b
2
|)
. Ora,
2
per ogni x reale vale l’identità | x | = x , quindi si ottiene | a + b | ≤ | | a | + | b || e,
sottraendo dal secondo membro il modulo esterno, *
| a + b | ≤ | a | + | b |
Dati due numeri reali o complessi non entrambi nulli a e b , si ha anche **
| a + b | ≥ | a | - | b |
Se | a | ≤ | b | , il secondo membro è ≤ 0 e quindi la disuguaglianza è verificata. Supponiamo
quindi che sia | a | > | b | . Nella disuguaglianza | c + d | ≤ | c | + | d | , poniamo c + d = a e c
= c + d – d = a + (- d) ; si ottiene | a | ≤ | a+ (- d) | + | - d | ; sostituiamo – d con b e
otteniamo | a | ≤ | a + b | + | b | ⇒ | a + b | ≥ | a | - | b | .
In entrambe le disuguaglianze * e ** è possibile sostituire a e b con - a e - b , trattandosi di
inidentità universali; si ottiene quindi la regola del modulo della somma o differenza, per cui il
valore assoluto della somma o differenza di due numeri reali ( o complessi) è sempre maggiore o
uguale alla differenza dei valori assoluti e minore o uguale alla loro somma. Perciò
| a | - | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b |
Altre disuguaglianze notevoli
1. Confronto tra potenze di somme o differenze e somme o differenze di potenze
Se a e b sono reali distinti strettamente positivi, vale la disuguaglianza
n
( a + b)
>
n
a +
b
n
Infatti
ottiene
n
( a + b)
=
n n
a + b + na n 1 b
− + ...+
a + b >
n−1
nab >
n
n n
a + b ;
n n
a + b ; estraendo la radice n-esima si
in particolare, se a e b sono positivi, abbiamo
a + b >
e quindi, per ogni coppia a , b di reali distinti,
| a | + | b | >
2
a +
b
2
2
a +
b
2
Se a e b sono reali positivi tali che a > b, si ha
n
( a − b)
<
n n
a − b ,
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 18/53
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