Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

3. se k < 0 ,
p > k ⇒ p ≥ 0 ; in questo caso, non si deve elevare al quadrato perché i due membri della
disuguaglianza hanno segno diverso; per la stessa ragione si ha
1
> k ⇒ p > 0
p
4. q > 3 p è affine a q > p , dato che 3 p ha lo stesso segno di p . In questo caso però –
se p ≥ 0 - dovremo elevare entrambi i membri alla sesta. Perciò l’insieme delle soluzioni si
ottiene unendo gli insiemi soluzione dei due sistemi
⎧ p ≥ 0 ⎧ p < 0
⎨ e
3 2 ⎨
⎩q
> p ⎩q
≥ 0
5. 3 p > q è affine a p > q . Quindi equivale al sistema
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
p
q ≥ 0
p > 0
2
> q
3
Disequazioni con valori assoluti
Per discutere l’argomento, dobbiamo partire dalla definizione di valore assoluto. Se x è reale, il
suo valore assoluto | x | è generalmente definito come
| x | =
⎧ x
⎨
⎩−
x
se
se
x ≥ 0
;
x < 0
più in generale, abbiamo, per ogni funzione reale f (x)
,
| f ( x)
| =
⎧ f ( x)
⎨
⎩−
f ( x)
se
se
f ( x)
≥ 0
f ( x)
< 0
Una seconda definizione – valida anche per i numeri complessi – ha carattere geometrico. Si può
definire il modulo o valore assoluto di un numero reale x come la distanza dal punto ad esso
associato sulla retta reale dall’origine o, più brevemente, come distanza tra x e 0 . Questa
definizione è basata sul postulato di continuità della retta reale, per cui, fissata l’origine e l’unità di
misura, ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta, e viceversa. Perciò x e -x hanno lo
stesso modulo, perché i corrispondenti punti sulla retta sono simmetrici rispetto all’origine.
Infine, si può considerare l’identità, valida per ogni numero reale,
| x | =
2
x .
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 30/53
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