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9. Condizioni generali per la risoluzione di disequazioni algebriche
In linea di principio, è possibile risolvere esattamente con metodi grafici tutte le disequazioni
algebriche di primo e secondo grado, o riconducibili a quelle di secondo grado. Il problema consiste
nel risolvere l’equazione associata alla disequazione. Per es., la disequazione
2
1
1−
x − x
x + > 2x + 1 è di secondo grado, dato che l’equazione associata è
= 0, che può
x
x
essere facilmente risolta essendo il numeratore di secondo grado. Graficamente dobbiamo
confrontare un’iperbole con asintoto verticale e obliquo con una retta:
Il dominio della frazione è il campo reale escluso 0 ; le intersezioni con la retta sono le soluzioni
2
1± 5
dell’equazione 1− x − x = 0 , cioè x = . La disequazione proposta è risolta se
2
l’ordinata dei punti sulla curva (iperbole) è maggiore dell’ordinata dei punti sulla retta aventi la
1− 5
stessa x , vale a dire se x <
2
1−
5
1+ 5
< x < 0 ∨ x >
2
2
∨
1+
5
0 < x < ; la disequazione contraria è risolta se
2
Una condizione sufficiente per stabilire se una disequazione tra funzioni algebriche è
esattamente risolubile è che la differenza tra i prodotti incrociati dei numeratori e dei
denominatori sia un polinomio di secondo grado. Infatti, supponiamo che la disequazione abbia la
forma
A C >
B D
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 48/53
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