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4. Media geometrica di due numeri reali
Dati a e b entrambi positivi, la loro media geometrica è data da
ab . Anche la media
geometrica è evidentemente compresa tra i due numeri a e b . Infatti, posto a > b , abbiamo a >
b ⇒ a =
a a > a b = ab > b b = b ⇒ a > ab > b .
5. Confronto tra media aritmetica e media geometrica di due numeri reali positivi
Dati due numeri reali positivi distinti tali che a > b , la loro media aritmetica è strettamente
maggiore della media geometrica, cioè (*)
a + b
> ab
2
Si prova dimostrando la complicazione
a + b
2
> ab ⇔
2
( a − b) > 0
Moltiplichiamo i due membri di (*) per 2 ed eleviamo al quadrato; si ottiene a 2 + b 2 + 2ab >
4ab ⇔ a 2 + b 2 2
- 2ab = ( a − b) > 0 che è vera se a ≠ b . Questi passaggi possono essere
2
compiuti in senso opposto, tenendo presente che, se a ≠ b , ( a − b) = a 2 + b 2 - 2ab = ( a + b ) 2
- 4ab > 0 ⇒ ( a + b ) 2 > 4ab , dalla quale otteniamo a + b > 2 ab in quanto, per ipotesi, a e b
sono entrambi positivi e quindi possiamo passare alla disuguaglianza tra le radici. Quindi, se a e b
sono entrambi positivi e a ≠ b,
( a – b ) 2 a + b
> 0 ⇔ > ab
2
Un metodo alternativo per confrontare la media geometrica di due numeri positivi distinti con la
loro media aritmetica parte dal prodotto notevole
2 2
( a – b ) ( a + b ) = a − b
2
dal quale si deduce che ( a – b ) ( a + b ) < a ; ora, a è la media aritmetica di a – b e a + b,
c + d 2
quindi se c = a – b e d = a + b , supponendo c e d positivi, si ottiene c⋅d < ( )
2
c + d
⇒ cd < , confermando che la media geometrica di due reali distinti positivi è minore
2
della loro media aritmetica.
6. Media armonica. Per definizione, la media armonica M a di due numeri positivi è definita dalla
formula
1 1
1
=
a + b
2
M a
(il concetto si estende a un numero qualsiasi di termini, come per le medie aritmetica e geometrica).
Quindi, per le proprietà della media aritmetica, il reciproco della media armonica di due numeri
reali positivi distinti è compreso tra i reciproci dei due numeri, e supponendo a > b > 0 si ottiene
1 1 < e quindi
a b
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 14/53
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