Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

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La parabola definisce il dominio della radice ( x ≥ − ) . Graficamente, questo dominio è
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l’insieme delle x alle quali corrisponde un punto della semiparabola; detto altrimenti, è la
proiezione sull’asse delle ascisse della curva. L’unica intersezione utile con la retta è quella di
ordinata positiva, cioè x = 2 2 + 4. La prima disequazione è risolta da ogni x > 2 2 + 4 , la
seconda da ogni x appartenente al dominio della radice e tale che il punto di ascissa x della
semiparabola ha ordinata superiore al punto con la stessa x sulla retta: quindi la soluzione generale
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è − ≤ x < 2 2 + 4 . Si deve fare attenzione al fatto che non interessa l’intersezione di
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ordinata negativa e in generale il ramo della parabola di ordinata negativa; in questo modo si
tiene presente che la radice ha segno positivo. In questo tipo di discussione i punti notevoli sono le
intersezioni tra retta e curva di ordinata non negativa e i limiti del dominio; nel caso di una parabola
con asse parallelo a quello delle x , l’ascissa del vertice è l’estremo inferiore o superiore del
dominio, a seconda di come la parabola è orientata.
Vediamo ora disequazioni del tipo
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ax + bx + c
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< mx + q o la disequazione contraria ax + bx + c
> mx + q .
In questo caso bisogna distinguere tra a > 0 e a < 0 . Nel primo caso, la curva
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y =
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2 2
ax + bx + c con y ≥ 0 è la parte di ordinata positiva di un’iperbole y − ax − bx − c = 0 , con
vertici reali sull’asse delle ordinate o delle ascisse; nel secondo caso, si ha un’ellisse. Se a = -1 , la
discussione implica solo una circonferenza; se a = 1, un’iperbole equilatera. Per esempio, la
disequazione
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2x − 3 > x − 5x + 4
2 2
implica un confronto tra la “semiiperbole” equilatera y − x + 5x
− 4 = 0 con y ≥ 0 e la retta y
= 2x − 3 :
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 44/53
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