Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

⎧ 1
⎪
x < − ⇒
2
⎪ 1
⎨−
≤ x ≤1
⇒
⎪ 2
⎪ x > 1 ⇒
⎪⎩
− 2x
−1
> −2x
+ 2
2x
+ 1 > −2x
+ 2
2x
+ 1 > 2x
− 2
⇒ −1
> 2
⇒ 4x
> 1
⇒1
> −2
x ∈∅
1
⇒ x >
4
Soltanto il secondo e il terzo caso forniscono soluzioni; perciò otteniamo la disgiunzione tra il sistema
⎧
⎪−
⎨
⎪
⎩
1
2
≤ x ≤ 1
e x > 1 ( il caso x > 1 conduce a una inidentità numerica, e il sistema tra una disequazione e una disuguaglianza
numerica sempre verificata si riduce alla sola disequazione). L’insieme delle soluzioni è quindi l’unione della soluzione
generale del primo sistema, cioè
1
< x ≤ 1 , e x > 1 , quindi
4
4. Passaggio al reciproco
1
>
4
x .
Questo metodo si applica alle disequazioni
trasformare rispettivamente in
1
1
| x | < e | x | >
k k
Inoltre, nel caso in cui f (x)
=
g ( x)
a
a
| a |
.
k
<
a
g(x)
|
1
x
|
> k e
|
1
x
con a costante la disequazione
1 | a |
oppure g (x)
< ; si applica lo stesso metodo a
k
k
|
x >
1
4
< k con k > 0 , che si possono
a
g(x)
a
g(x)
> k > 0 equivale
< k ⇔ g (x)
>
5. Metodo della discussione del segno
Se nella disequazione compaiono disuguaglianze tra moduli o somme o differenze di moduli,
conviene discutere il segno dei termini in modulo..
2
1. disequazioni del tipo | a | > | b | . Sono equivalenti alle disequazioni a > b 2 , ma questo
metodo non è sempre praticabile. Il metodo generale consiste nel separare i quattro casi
a < 0 ∨ b < 0 ; a > 0 ∨ b < 0 ; a < 0 ∨ b > 0 ; a > 0 ∨ b > 0 e di unire le soluzioni parziali relative
ai singoli casi.
2. disequazioni del tipo | a | + | b | > f e | a | + | b | < f , dove f è una funzione di x . Stesso
metodo, salvo casi particolari.
Esempio : risolvere | x −1|
+ | 2 − 3x
| > 2x .
x – 1 > 0 ⇒ x > 1
2
2 − 3x > 0 ⇒ x <
3
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 34/53
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