Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

n n
[ a + b]
= a + b e
n
n n n
[ a + b]
= a + b + ∑
k=
1
n n−k
n k
Cn, k
⋅ a ⋅ b > a + b nella quale i C n,k
sono coefficienti positivi, in quanto la somma contiene solo termini positivi; quindi
n n
[ a + b]
<
n n n
n
n n
[ a + b]
⇔ a + b < a + b in quanto le disuguaglianze tra potenze n-esime sono
equivalenti a quelle tra le rispettive basi se queste sono positive.
Si può ottenere lo stesso risultato partendo dalla disuguaglianza a + b >
prima, sostituendo a con n a e b con n b .
Si può dimostrare anche la disuguaglianza, valida per a e b entrambi positivi e a > b :
n n n
a + b dimostrata
n
n
a − b < n a − b
che si può ottenere da a - b < n
b con n b . In particolare, se n = 2 si ottiene
a n − b
n precedentemente dimostrata, sostituendo a con n a e
a − b < a − b
Le disuguaglianze sui radicali derivano da quelle sulle potenze, partendo da
n
( a + b)
>
n n
a + b o da
n
( a − b)
<
n n
a − b con a e b positivi e a > b applicando la radice n-esima a entrambi i membri e sostituendo a→ n a e b
→ n b .
3. Disuguaglianza triangolare [dimostrazione algebrica]
Se a è reale positivo, b ≠ 0 e a > c vale la disuguaglianza
a – c +
2 2
c + b >
2
a +
b
2
Dimostrazione: trasformiamo la disuguaglianza che dobbiamo provare in una disuguaglianza
equivalente già dimostrata. Essendo a – c > 0 possiamo elevare al quadrato entrambi i membri
ottenendo una disuguaglianza equivalente equiversa:
a 2 – 2ac + 2c 2 + b 2 2 2
+ 2( a – c ) ⋅ c + b > a 2 + b 2 ⇔ - 2ac + 2c 2 2 2
> 2( c – a ) ⋅ c + b ;
scriviamo il primo membro come 2(c - a)⋅c ; dividendo primo e secondo membro per 2(c – a) (che
2 2
è negativo) otteniamo c < c + b , vera qualunque siano b e c , che è logicamente equivalente
alla disuguaglianza che si doveva dimostrare.
La disuguaglianza si applica anche al caso c < 0 ; in questo caso, si potrebbe scriverla nella forma
2 2
2 2
a + c + c + b > a + b
ottenibile sostituendo formalmente - c al posto di c . Unifichiamo le due disuguaglianze in
un’unica inidentità, e si ha
2 2
2 2
a ± c + c + b > a + b
Se a , b e c sono tutti positivi e a > c , questa disuguaglianza è verificata dai tre lati a ± c , b
e
2 2
a + b di un triangolo:
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 20/53
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