Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 1/53 ... - SuperZeko

Si deve osservare che i passaggi eseguiti con le regole del trasporto e del prodotto sono reversibili
(le regole in questione sono coimplicazioni) e quindi forniscono coimplicazioni, cioè equivalenze
logiche.
Se estendiamo la discussione all’espressione ax + b nel caso a = 0, è evidente che il segno di b
stabilisce il segno dell’espressione.
2. Polinomi di secondo grado
La trattazione generale dei polinomi viene effettuata, se possibile, mediante la scomposizione in
fattori. Nel caso dei polinomi di secondo grado, ciò è possibile solo se il discriminante è maggiore o
uguale a zero. Bisogna distinguere tre casi:
1. ∆ > 0 : il polinomio ha due radici reali e distinte, x 2 > x 1 ed è scomponibile nel prodotto
di due fattori di primo grado. Quindi
2
ax + bx + c = a ⋅ x − x )( x − )
(
1
x2
Il segno del polinomio è funzione della x . Indichiamo il trinomio di secondo grado con T(x).
Se x < x 1 , allora sia x - x 1 sia x – x 2 sono negativi ( x 2 > x 1 ⇒ x − x2 < x − x1
) e il prodotto
( x − x1 )( x − x2
) è positivo; quindi, il segno di T(x) è concorde con il segno di a .
Se x
1
< x < x2
, avremo x − x 1
> 0 e x − x 2
< 0 ; quindi ( x − x1 )( x − x2
) < 0 , e il trinomio è
discorde da a .
Se x 1
< x 2
< x , x − x 1
> 0 e x − x 2
> 0 , quindi di nuovo ( x − x1 )( x − x2
) > 0 e il trinomio è
ancora concorde con a.
In conclusione: a⋅T > 0 ⇔ x < x1 ∨ x > x2
e a⋅T < 0 ⇔ x
1
< x < x2
.
2. ∆ = 0 : il trinomio ha due radici uguali e coincidenti, per cui x
2
= x1
, quindi T(x) =
a ⋅ ( x − x ) 2
= b 2
b
b
1
a ⋅ ( x + ) dato che, se ∆ = 0 , x
1
= − . Perciò per ogni x ≠ − il
2a
2a
2a
trinomio di secondo grado è concorde con a . In generale, T(x) ≥ 0 .
3. ∆ < 0 : il trinomio non ha radici reali. In questo caso, possiamo scomporre il trinomio in
una somma di termini:
2
2
2
⎡ 2 b c ⎤ ⎡
⎤
ax + bx + c = a
⎢
x + x +
⎣ a a ⎥
= ⎢ + ⋅ + + − ) ⎥
⎦
( b b c b
a x 2 x ) ( (si applica il metodo del
2
⎣ 2a
4a
a 4a
2
⎦
2
2
2 b ⎡ b 2 4ac
− b ⎤ ⎡ b 2 4ac
− b ⎤
completamente del quadrato a x + x ) = a ⎢(
x + ) +
2 ⎥ = a ⎢(
x + ) +
2 ⎥
a ⎣ 2a
4a
⎦ ⎣ 2a
4a
⎦
⎡ b 2 − ∆ ⎤
= a
⎢
( x + ) +
2
⎣ 2a
4a
⎥
. La somma dei termini in parentesi è strettamente positiva; infatti, il primo
⎦
∆
è un trinomio di secondo grado ≥ 0 , e − > 0 in quanto il numeratore − ∆ e il denominatore
2
4a
sono entrambi positivi. Dunque nel caso ∆ < 0 il trinomio è sempre concorde con a .
Ezio Fornero – Disuguaglianze e disequazioni – 26/53
http://www.superzeko.net – Per espressa volontà dell’autore, questo testo è liberamente utilizzabile per fini personali o didattici.
Qualora tuttavia dovesse essere riprodotto su un sito web o in una pubblicazione, si prega di citare la fonte.