16. Statica dei fluidi - LaFSI

5. Misura delle pressioni 415
Recipiente troncoconico
Come ulteriore esempio, consideriamo un liquido che riempe un recipiente
che halaforma di un tronco di cono. Chiamiamo R 1 e R 2 i raggi della base
maggiore e di quella minore, h l’altezza e θ l’angolo che la superficie laterale
forma con quest’ultima, figura 15. Stabiliamo una terna di riferimento con
origine sulla superficie libera del liquido e asse z discendente. Suddividendo la
superficie laterale del tronco di cono in anelli di raggio r e altezza dl, l’elemento
di superficie dS della parete che occorre considerare, risulta dS = rdϕdl.
Essendo dl = dz/ cos θ, siha
R 2
R 1
O
r
dl
x
d F p
ϑ
dS = rdϕdl=
r dz dϕ;
cos θ
z
pertanto il modulo della forza di pressione elementare è
dF p = ρgz dS =
r ρgz dz dϕ.
cos θ
Poiché
R1 − R2
r = R 2 + z,
h
si ottiene:
dF p = 1 (
)
cos θ ρg R1 − R2
R 2 + z zdzdϕ.
h
La forza di pressione, ortogonale all’elemento dS, hacomponenti:
dF px = 1 (
)
cos θ ρg R1 − R2
R 2 + z zdzcos θ cos ϕdϕ
h
dF py = 1 (
)
cos θ ρg R1 − R2
R 2 + z zdzcos θ sin ϕdϕ
h
dF pz = − 1 (
)
cos θ ρg R1 − R2
R 2 + z zdzsin θ dϕ.
h
R
1
R
2
ϕ
dϕ
y
Fig. 16.15
x
dS
Il contributo delle prime due, integrando rispetto a ϕ tra 0 e 2π, analogamente
a quanto visto prima, ènullo. Per quanto riguarda le componenti verticali,
osservando che il rapporto sinθ/ cos θ è uguale a (R 1 − R 2)/h, l’integrazione
rispetto a ϕ fornisce
R1 − R2
δF pz = −2πρg
h
(
R 2z +
)
R1 − R2
z 2 dz;
h
si noti il segno negativo della componente. Da questa si ottiene la risultante
delle forze di pressione:
∫ h
∫ h
)
R1 − R2
R1 − R2
F pz = −2πρg
(R 2 zdz + z 2 dz
h
h
0
0
= 1 3 πρgh(R2 2 − 2R 2 1 + R 1R 2).
Sommando a questa la forza di pressione sul fondo, πR 2 1ρgh, siottiene la forza
totale di pressione:
F S = 1 3 πρgh(R2 1 + R 2 2 + R 1R 2).
Questa non è altro che la risultante delle forze di volume, cioèilpeso del liquido
contenuto nel tronco di cono. Se questo viene pesato, poggiando sul piatto
di una bilancia prima una base e successivamente l’altra, si ha ovviamente lo
stesso peso.