16. Statica dei fluidi - LaFSI

418 Capitolo 16 - Statica dei fluidi
Esempi
dS ′
y
d F p
ϑ
dS
x
1. All’interno di due emisferi rigidi, a perfetta tenuta, la pressione viene
ridotta a 1/4 di quella atmosferica. Se R èilraggio degli emisferi, determinare
la forza F che occorre applicare a ognuno di essi per staccarli, figura 19.
La forza F, nel nostro caso parallela all’asse x, deve equilibrare la risultante
delle componenti, in questa direzione, delle forze di pressione. Queste
sono uniformemente distribuite sulla superficie, ortogonali ad ogni elemento
dS e dirette lungo il raggio, verso l’interno degli emisferi. In ogni punto della
superficie la forza elementare di pressione èinmodulo
F
dF p =
(p − 1 )
4 p dS = 3 4 pdS,
dove p èlapressione atmosferica esterna. La componente di tale forza lungo
l’asse x è
Fig. 16.19
− 3 pdS cos θ,
4
che vaintegrata su tutta la superficie dell’emisfero:
F p = − 3 ∫
4 p cos θdS;
S
ma dS cos θ = dS ′ ,èlaproiezione dell’elemento di superficie della sfera sul
cerchio massimo, pertanto:
F p = − 3 4 pπR2 .
F
H
La forza minima da applicare è F = −F p. Ponendo nella precedente R =
0, 3 m, sitrova che essa è notevole; si rammenti l’esperienza degli emisferi di
Magdeburgo, illustrata nei testi di Fisica elementare.
O
h
z
Fig. 16.20
z
L
2. Un recipiente, contenente acqua, è costituito da un parallelepipedo rettangolo.
Una parete, alta H, è incernierata ad uno spigolo della base di
lunghezza L. Essa è sostenuta in posizione verticale per mezzo di una forza
F orizzontale applicata alla sommità, in modo da chiudere perfettamente il
recipiente. Trovare il valore minimo di F per l’equilibrio, se il livello dell’acqua
dal fondo è h, figura 20.
Assunto come riferimento un asse z, volto in basso, con origine in corrispondenza
alla superficie libera dell’acqua, la coordinata z C del centro delle
forze di pressione, come s’è visto al paragrafo 4, è z C =2h/3; si trova cioè a
1/3 dal fondo. In esso è applicata la risultante delle forze di pressione:
F p = ρgL
∫ h
0
zdz = 1 2 ρgLh2 .
Per l’equilibrio, la somma dei momenti di tale forza e della forza applicata,
rispetto allo spigolo di base, dev’essere nulla, ossia:
O
A
C
1
h
B
2
F p z C = FH, ⇒ F = 1 h3
ρgL
6 H .
3. Due liquidi non miscibili, di densità ρ 1 e ρ 2, sono in equilibrio in un
tubo ad U, sotto l’azione della gravità. Determinare l’altezza della colonna
del liquido 1 sapendo che il dislivello tra le superfici libere dei liquidi è h,
figura 21.
Le superfici libere A, B, liquidi-aria, dove agisce la pressione atmosferica
p 0,ela superficie di separazione C, tra i due liquidi, sono superfici isobare.
Assumendo un asse di riferimento ascendente con origine in C, siha:
p C = −ρ 1gz A + p 0, p C = −ρ 2gz B + p 0,
Fig. 16.21
da cui
ρ 1gz A = ρ 2gz B, ρ 1z A = ρ 2(z A − h), ⇒ z A = ρ2h
ρ 2 − ρ 1
.