16. Statica dei fluidi - LaFSI

2. Equilibrio dei fluidi 403
In un punto di un fluido in equilibrio, lo sforzo è normale e non
dipende dall’orientazione dell’elemento di superficie su cui viene
esercitato. Si ha dunque
σ = σ ˆn, ⇒ p = p ˆn; (1)
dove p èlapressione dipendente dal punto, ma indipendente da
ˆn.
Il tensore degli sforzi, in un fluido in equilibrio, è caratterizzato
dalla sola pressione, pertanto è isotropo e può essere rappresentato
dalla matrice:
⎛ ⎞
p 0 0
⎝ 0 p 0 ⎠ .
0 0 p
2. Equilibrio dei fluidi
In accordo con le conclusioni del paragrafo precedente, l’equazione
indefinita dell’equilibrio (10)-XV, nel caso dei fluidi, assume
la forma
F = ∂p
∂x i + ∂p
∂y j + ∂p k, (2)
∂z
che siscrive:
F = ∇p. (3)
Si tenga presente che F è stata definita come forza per unità di
volume.
La (2) equivale alle seguenti equazioni scalari:
F x = ∂p
∂x , F y = ∂p
∂y , F z = ∂p
∂z . (4)
Affinché la(3) sia verificata, F non può essere arbitraria, ma deve
soddisfare la relazione
∇×F =0, (5)
deve perciò esistere uno scalare di cui F èilgradiente, scalare
che, a meno di una costante, è uguale alla pressione del fluido in
equilibrio.
In particolare, se F =0,dalla (3), si deduce che p = cost in
tutti i punti del fluido. Se la (3) èverificata e F ≠0,considerato
un percorso qualsiasi che va da un punto P 0 , comunque prefissato,
ad un punto P ,lapressione in P è data dall’integrale di linea
p =
∫ P
P 0 (l)
F · dr + p 0 ,
essendo p 0 la pressione in P 0 ed l la linea, arbitraria, che congiunge
i due punti.
Il luogo dei punti in cui la pressione è costante è una superficie
di equazione p(x, y, z) =cost, che si chiama superficie isobarica.