16. Statica dei fluidi - LaFSI

10. Tensione superficiale 437
verso l’alto il liquido, finché non viene equilibrata dalla pressione
idrostatica della colonna h di liquido. Data l’esiguità del raggio
r del capillare, possiamo supporre che il menisco che si forma sia
una calotta sferica ed assumere, con buona approssimazione, come
altezza h della colonna liquida, la distanza tra il punto più basso
di questo e la superficie libera nella vaschetta.
Detto r il raggio del capillare, θ l’angolo di raccordo con la
parete, il raggio R del menisco risulta
R =
r
cos θ .
Quindi, per la formula di Laplace, essendo R 1 = R 2 = R, siha:
p =2τ cos θ
r .
Questa pressione equilibra la pressione idrostatica ρgh, pertanto:
ρgh =2τ cos θ
cos θ
, ⇒ h =2τ
r ρgr . (33)
L’altezza della colonna di un liquido, di tensione superficiale τ,
che ascende in un capillare è inversamente proporzionale al suo
raggio; (legge di Jurin).
Nella (33) si è trascurata la pressione che la colonna d’aria, di
altezza h, esercita in aggiunta alla pressione dovuta alla tensione
superficiale. Pertanto, detta ρ A la densità dell’aria e ρ L quella del
liquido, la (33) andrebbe scritta:
ρ L gh − ρ A gh =2τ cos θ
r .
Ma il termine correttivo al primo membro è talmente piccolo che
può essere quasi sempre trascurato. Analogo ragionamento vale
per unliquido, come il mercurio, che non bagna la parete. In
questo caso nel capillare si ha un abbassamento della colonna di
liquido, figura 43; si ottiene una espressione identica alla (33).
Da queta formula si può ricavare il valore di τ con una precisione
migliore dell’1%.
Va osservato che la (33) è stata stabilita nell’ipotesi che h
sia molto maggiore del diametro del tubo, in modo che la forma
del menisco possa essere assimilata ad una calotta sferica. Se il
diametro del tubo supera il centimetro, il menisco presenta una
parte centrale quasi orizzontale, figura 44, di curvatura assai piccola,
R molto grande, perciò lapressione 2τ/R in questa parte è
molto piccola, inferiore a 1/100 di mm di mercurio. Tuttavia, in
corrispondenza alla parete è presente una depressione o un innalzamento
del liquido. La determinazione analitica della forma di
tali superfici, come quella di una grossa goccia soggetta alla gravità
vaeffettuata applicando la formula di Laplace.
τ
ϑ
Fig. 16.43
Fig. 16.44
h