16. Statica dei fluidi - LaFSI

9. Equilibrio relativo di masse fluide 427
8.2. Variazione della pressione atmosferica con l’altezza
Supponiamo che il campo della gravità sia uniforme, g costante,
l’asse di riferimento z orientato verso l’alto. Per la (12),
la variazione di pressione è
dp = −gρ(p)dz,
dove ρ(p) èladensità dell’aria, funzione della pressione e dunque
dell’altezza z. Dalla precedente si ha
dz = − 1
ρ(p)g dp,
eintegrando da z =0,dove la pressione è p 0 ,az, siottiene la
formula ipsometrica:
z = − 1 ∫ p
1
dp. (23)
g p 0
ρ(p)
Occorre stabilire come varia la densità dell’aria con la pressione;
per piccoli dislivelli, dell’ordine di alcune centinaia di metri, si
può supporre che l’atmosfera sia isoterma. Allora per la legge di
Boyle:
la (23) dà:
p 0 V 0 = pV,
∫ p
p
ρ = p 0
ρ 0
,
z = − 1 p 0 1
g p 0
ρ 0 p dp = p 0
ln p 0
gρ 0 p . (24)
Per dislivelli superiori a quelli considerati, l’ipotesi isoterma non
èpiù ammissibile. Per l’integrazione della precedente, occorre
stabilire una legge che dia la variazione di temperatura e dello
stato igrometrico con l’altezza. Questa legge èdisolito empirica
esiriferisce ad una atmosfera tipo media della regione, su cui non
insistiamo. Pertanto una legge empirica che esprime l’altezza, z =
z(p), relativa all’atmosfera convenzionale, può dare indicazioni
notevolmente diverse da quelle reali. Dalla (24) si ottiene:
p = p 0 e −(gρ 0/p 0 )z , (25)
dove ρ 0 e p 0 sono rispettivamente la densità elapressione dell’aria
al livello del mare. Si può verificare che la pressione si dimezza a
circa 5, 4 km di altezza e si riduce a 1/4 a circa 11 km.
9. Equilibrio relativo di masse fluide
L’equilibrio relativo di un fluido è stabilito dall’equazione (2),
nella quale le forze di volume comprendono quelle reali e quelle di
trascinamento. La (3) dunque si scrive:
F + F t = ∇p.