16. Statica dei fluidi - LaFSI

9. Equilibrio relativo di masse fluide 429
La pressione in un punto si può ottenere anche dalla:
∂p
∂x i + ∂p
∂y j + ∂p
∂z k = ρω2 x i + ρω 2 y j − ρg k.
Si ha:
∂p
∂x = ∂p
ρω2 x,
∂y = ∂p
ρω2 y,
∂z = −ρg,
che integrate danno la pressione nel punto desiderato.
La forza risultante ρg+ρω 2 r èovviamente normale alla superficie
equipotenziale. Si noti inoltre che la pressione sul fondo del
recipiente, in corrispondenza all’asse, è
p = ρgz 0 + p 0 .
In corrispondenza alla parete, detta h l’altezza della colonna
liquida,
(
p = p 0 + ρgh = p 0 + ρg z 0 + 1 R 2 )
2 g ω2 ,
dove R èilraggio del recipiente. Perciò è
p = p 0 + ρgz 0 + 1 2 ρω2 R 2 ,
somma della pressione della colonna liquida di altezza z 0
quella dovuta alla forza centrifuga.
edi
Esempi
7. Un serbatoio a forma di parallelepipedo, contenente acqua, si muove su
una superficie orizzontale con accelerazione costante, figura 30. Determinare
le superfici isobariche.
Sull’acqua, agiscono la gravità elaforza di trascinamento, entrambe di
volume. Nel riferimento mobile è dunque
∇p = ρg + F t = −ρg k − ρ a t;
avendo assunto gli assi di riferimento come in figura. Essendo
−ρg k = −∇(ρgz), −ρa t = −∇(ρa tx),
la precedente diventa:
∇(p + ρgz + ρa tx) =0.
Ciò implica
p + ρgz + ρa tx = cost,
che, per una superficie isobarica, diventa
z 0
z
z
F t
ρg
a
ϕ
ρgz + ρa tx = cost.
In particolare, l’equazione della superficie libera è
ρgz + ρa tx = ρgz 0;
che rappresenta, come tutte le altre superfici isobariche, un piano inclinato
rispetto a quello orizzontale, di un angolo fornito da
tan ϕ = z0 − z
x
= at
g .
Naturalmente la forza per unità divolume, risultante di ρg e F t,è ortogonale
alle superfici isobariche.
Fig. 16.30
x