Appunti di Elettromagnetismo - Dipartimento di Fisica

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M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005 Esempi 1. Verificare la formula dell’energia accumulata in un condensatore a facce piane parallele. Soluzione: è necessario partire dal condensatore completamente scarico e caricarlo lentamente spostando di volta in volta cariche δ q molto piccole (per esempio elettroni) dall’armatura all’armatura ‚ aumentando così la carica positiva + q sull’armatura ‚ e della stessa quantità la carica negativa − q sull’armatura fino al raggiungimento del valore finale Q . Il lavoro per portare la prima carica è ovviamente nullo, ma per tutte le altre occorre ora superare la differenza di potenziale ∆ V = C • q generata dalle cariche q precedentemente spostate. Per farlo è necessario compiere il lavoro δL = δq • ∆V ovvero δ L = Cδq • q . Per trovare il lavoro totale è sufficiente a questo punto sommare tutti i lavori individuali L = δ L = C δq • q . ∑ ∑ Il modo più diretto per effettuare il calcolo è trasformare la somma in un integrale di cui è nota la primitiva L = C Q 2 Q ∫ qdq = C q = 2 0 0 1 CQ 1 2 2 2. Calcolare la capacità equivalente di due condensatori in serie. Soluzione: occorre trovare il valore della capacità sulla quale viene indotta la stessa carica Q una volta che viene applicato la stessa differenza di potenziale ∆ V cioè C = Q . Basta quindi osservare che poiché due armature sono collegate tra loro ma isolate dal ∆V resto del circuito la carica indotta deve essere la stessa per i due condensatori, inoltre deve valere ∆ V = ∆V 1 + ∆V2 : Q ∆V Q ∆V + ∆V 1 2 C = = ⇒ = = + 1 2 1 C ∆V + ∆V Q 1 C 1 1 C 2 C1 C2 ∆V 1 ∆V2 ∆V Fig. 37. Problema 2. 3. Calcolare la capacità equivalente di due condensatori in parallelo. Soluzione: occorre trovare il valore della capacità sulla quale viene indotta la stessa carica Q una volta che viene applicato la stessa differenza di potenziale ∆ V cioè C = Q . Basta ∆V quindi osservare che le armature dei due condensatori che sono collegate tra loro sono allo stesso potenziale (se così non fosse ci sarebbe uno spostamento di cariche dall’una all’altra armatura fino all’annullamento di tale differenza) e che la carica totale indotta è pari alla somma Q = Q 1 + Q2 : Q Q1 + Q2 Q1 Q2 C = = = + = C1 + C2 ∆V ∆V ∆V ∆V Q 1 C 1 Q 2 C 2 ∆V Fig. 38. Problema 3. 74
M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche – Vers. 3.4 23/09/2005 4. Due condensatori di capacità C = 1 3pF e C = 5pF 2 sono collegati in serie e fra le armature estreme viene applicata una d.d.p. di ∆V = 1000V . Calcolare: a) la capacità equivalente; b) la carica elettrica totale c) la d.d.p. tra le armature di ciascun condensatore; d) l’energia totale immagazzinata nei due condensatori. Soluzione: 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ a) I due condensatori sono in serie, quindi = + ⇒ Ceq = ⎜ + = 1.875pF 1 2 3pF 5pF ⎟ . Ceq C C ⎝ ⎠ b) La carica elettrica totale è data da Q ∆V × C = 1000 V × 1.875pF = 1.875nC. = eq c) Poiché i due condensatori sono in serie la carica indotta è la stessa e pari alla carica totale, Q 1.875nC Q 1.875nC pertanto ∆V 1 = = = 625V e ∆V 2 = = = 375V C 3pF C 5pF 1 d) L’energia immagazzinata è data da E Q = 2 2 ( 1.875nC) 2 2 1 −7 = = 9.375 • 10 C eq 1.875pF −4 5. Una goccia di olio carica e di massa m = 2.5 • 10 g si trova fra le due armature di un condensatore a facce piane e parallele orizzontali distanti J −1 d = 0.5cm e di area 2 A = 200cm . Si osserva che la goccia è in equilibrio quando l'armatura superiore possiede −7 una carica q = 4 • 10 C e quella inferiore una carica uguale ed opposta. Calcolare: a) la capacità del condensatore; b) il valore del campo elettrico all'interno del condensatore; c) la carica elettrica sulla goccia. Soluzione: S a) La capacità è data dalla formula C = ε0 da cui d −4 2 −12 2 C 200 • 10 m −9 C = 8.86 • 10 2 × = 36 • 10 F = 36pF N • m −2 0.5 • 10 m V q • 10 b) Il campo è dato semplicemente da E = = d Cd 36pF × 0.5 −7 4 6 = • 10 −2 • C 10 = 2.2 m c) La carica elettrica Q sulla goccia deve giustificare l’equilibrio fra forza peso e forza elettrostatica mg +QE = 0 da cui si ottiene: V m Q mg mgCd 2.5 = − 10 kg× 9.8m/s −7 2 • = − = − −7 E q • 4 10 × 36pF × 0.5 C 10 −2 • m = −1.1pC 75
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