Compito di esame del 23-09-04

(d) Scrivere l’equazione cartesiana della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.(e) Verificare che P 0 appartiene alla curva C di equazioni parametriche{x = t 2 +2t +1y = t 2 − t +1e calcolare l’equazione cartesiana della retta tangente a C in P 0 .Soluzione( )x − 1 2(a) L’equazione cartesiana di r è det= 0cioè x +2y − 3 = 0 .y − 1 −1( ) ( )3 0Intersecando con gli assi coordinati si hanno i punti A e B 3 .02(b) L’equazione cartesiana di s è2x − y=0. ( )t(c) Un punto mobile su s ha coordinate . La condizione sull’area dà2t⎛12 |det ⎝ t 3 0⎞32t 0 ⎠2| = 9 cioè |9 − 15t| =361 1 1( )3da cui si ricavano i valori t=− 9 5 e t=3, pertanto il punto richiesto è C .6(d) Imponendo alla generica circonferenza di equazione x 2 + y 2 + ax + by + c =0di passare per i punti A, B, C si ha il sistema lineare39+3a + c =0,94 + 3 b + c =0, 9+36+3a +6b + c =02che ammette la sola soluzione a = − 21 4, b = −6 , c = 27 4. Perciò la circonferenzarichiesta ha equazione x 2 + y 2 − 21 4 x − 6y + 27 4 =0.(e) P 0 ∈Cin quanto corrisponde al valore t 0 = 0del parametro. Si ha x ′ (t) =2t +2,x ′ (t 0 )=2ey ( ′ (t) =2t −)1,y ′ (t 0 )=−1 e dunque la retta tangente in P 0 ax − 1 2C ha equazione det= 0cioè x +2y − 3=0.y − 1 −1Esercizio 4. Nello spazio sono date le rette⎧{ x − 2y + z − 1=0⎪⎨x =1+tr :ed s : y =2t .x + y − z =0 ⎪⎩z = −1+3t(a) Verificare che r ed s sono parallele.(b) Determinare l’equazione cartesiana del piano α che contiene r ed s.(c) Detti R ed S i punti di intersezione di r ed s con il piano π : x − y + z =0,calcolare il prodotto vettoriale −→ OR ∧ −→ OS.