Compito di esame del 23-09-04

4(d) Calcolare la distanza fra r ed s.Soluzione(a) Parametri direttori di r sono( )−2 1l = det=1, m = −det1 −1( )1 1=2,n= det1 −1( )1 −2=3.1 1Anche i parametri direttori di s valgono 1,2,3, quindi le due rette sono parallele.(b) Il piano α è il piano del fascio di asse r, di equazione ⎛ ⎞ x−2y+z−1+k(x+y−z) =0,e passante per un qualsiasi punto di s, p. es.e quindi α :3x − 3y + z − 2=0.⎝ 1 0 ⎠: questa condizione dà k = 1 2−1⎛⎞(c) Risolvendo il sistema formato dalle equazioni di r e π si ha il punto R ⎝ 0 −1 ⎠.−1Sostituendo le coordinate del punto generico ⎛ di ⎞s nell’equazione di π si ha 1 + t −2t − 1+3t = 0da cui si ricava t =0edS⎛−→OR ≡⎝ 0 −1−1⎞⎠ , −→ OS ≡⎛⎝ 1 0−1⎞⎠ e quindi −→ OR∧ −→⎝ 1 0 ⎠. Risulta poi−1⎛OS = det⎞⎝ i 0 1j −1 0 ⎠ = i−j+k.k −1 −2(d) La distanza fra r ed s è uguale alla distanza di un qualsiasi punto di r, peresempio R, das. Il piano β passante per R e perpendicolare ad s ha equazione1 · (x − 0)+2· (y +1)+3· (z + 1) = 0cioè x +2y +3z + 5 = 0. L’intersezione di β⎛con s dà il punto H ⎝1114− 614− 2314⎞⎠. Quindi d(r, s) =d(R, s) =RH = √ 26614 .Esercizio 5. Si consideri il sistema lineareA (n) X (n,1) = B (n,1)dove A è una matrice quadrata di ordine n ed X, B sono le colonne delle incognitee dei termini noti rispettivamente.(a) Enunciare e dimostrare il teorema di Cramer.(b) Enunciare e dimostrare la condizione necessaria e sufficiente affinché le righe diA siano linearmente dipendenti.Soluzione(a) Teorema di Cramer: se detA ≠ 0, il sistema ammette una ed una sola soluzione.Dimostrazione: La condizione detA ≠ 0equivale all’invertibilità diA. Detta A −1l’inversa di A, daAX = B si ha A −1 AX = A −1 B cioè X = A −1 B, ossia l’unicitàdella soluzione: se una soluzione esiste, deve essere necessariamente A −1 B. Che ineffetti A −1 B sia una soluzione è immediato, infatti sostituendo A −1 B ad X si haAA −1 B = B cioè l’identità B = B.(b) La condizione necessaria e sufficiente è che risulti detA = 0. Infatti la dipendenzalineare delle righe di A equivale a che il sistema lineare omogeneo t AX =0ammetta autosoluzioni, quindi a che det t A =detA =0.