I solidi platonici - IIS-Newton

Teor. 4
Dim:
Nota:
Non esistono poliedri in cui tutte le facce abbiano più di cinque spigoli.
Se ogni faccia avesse sei o più spigoli, il numero di tutti gli angoli del poliedro sarebbe
maggiore od uguale a 6f, dato che ogni faccia ha angoli e spigoli in ugual numero. Dal
momento che ogni spigolo appartiene a due facce il numero degli angoli di un poliedro è
doppio del numero degli spigoli. Quindi si avrebbe
da cui, usando l’algebra
10
2s ≥ 6f
f
1
s (*)
3
Inoltre, da ogni vertice del poliedro escono almeno tre spigoli. Quindi, tenendo conto che
ogni spigolo appartiene a due angoloidi, il numero degli spigoli degli angoloidi del
poliedro sarà
cioè
s
v
3
2 v
2
s (**)
3
Addizionando membro a membro le relazioni (*) e (**), avremo che
cioè
f v
1 2
s
3 3 s
f + v ≤ s
Il che è in contrasto con la relazione di Eulero. �
questa tecnica di dimostrazione si definisce “dimostrazione per assurdo” o “modus tolens”. Essa, già
molto nota presso i greci, consiste nel negare la tesi e nel far vedere che necessariamente discende una
contraddizione con l’ipotesi o con un postulato o con teorema precedentemente dimostrato.
Siamo ora pronti a dimostrare geometricamente che esistono solo cinque poliedri regolari convessi.
Essi sono: Tetraedro, Esaedro (o Cubo), Ottaedro, Dodecaedro ed Icosaedro.
Teor. 5
Dim:
I poliedri, in cui le facce hanno uguale numero di lati (risp. gli angoloidi uguale numero
di spigoli) possono essere soltanto tetraedri, esaedri, ottaedri, dodecaedri ed icosaedri.
Indichiamo con n ≥ 3 il numero dei lati di ogni faccia e con a ≥ 3 il numero di facce di
ogni angoloide.
Il numero 2s degli angoloidi del poliedro risulta uguale sia al prodotto fn (facce per il
numero dei lati di ogni faccia) che va (vertici per il numero di facce di ogni angoloide).
Quindi
fn = 2s e va = 2s
da cui (continua -›)