I solidi platonici - IIS-Newton

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L’Icosaedro è l’ultimo ed il più complesso dei poliedri regolari: le sue venti facce sono triangoli equilateri. Esso ha: 8 20 facce 12 vertici 30 spigoli posto s lunghezza dello spigolo, si dimostra che: A t 5 3 s 2 Volume 5 12 3 5 s3 Si costruisce innalzando dai vertici A, B, C e D del quadrato ABCD i segmenti AE, BF, CG e DH, perpendicolari al piano di questo ed eguali tutti ai lati di esso, ed unendone gli estremi E, F, G ed H. Costruisci l’icosaedro solido: fotocopia la pagina e ritaglia la figura lungo i bordi, lasciando un spazio sufficiente ad incollarlo, ripiegandola poi lungo le linee continue ed incollandola ai bordi.
Ogni poliedro regolare ha un centro dal quale sono equidistanti i vertici e le facce: esso è il centro della sfera circoscritta al poliedro regolare. La distanza da uno dei suoi vertici al centro si dice, infatti, raggio, mentre la distanza di una faccia dal centro si dice apotema, mutuando un nome caro alla geometria piana. Si può dimostrare che un poliedro è regolare se, e solo se, esso è inscrittibile e circoscrittibile ad una sfera. Chiaramente, per ragioni di simmetria, dette sfere saranno concentriche. Nei poliedri regolari, eccettuato il tetraedro, le facce e gli spigoli sono a due a due paralleli; perciò si può parlare di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti. Si può dimostrare che i centri delle facce di un poliedro regolare sono i vertici delle facce di un altro poliedro regolare. In tal modo si ottiene il dodecaedro dall’icosaedro: basta, infatti, osservare che il numero delle facce di uno è pari al numero di vertici dell’altro. Allo stesso modo l’icosaedro si ottiene dal dodecaedro. Si dice in questo modo che l’icosaedro ed il dodecaedro sono poliedri coniugati. Così sono coniugati ottaedro e cubo. Il tetraedro regolare è autoconiugato (= coniugato di sé stesso) dato che è l’unico poliedro regolare che ha lo stesso numero di facce e vertici. Dimostriamo ora due importanti teoremi che ci permetteranno di provare che esistono solo cinque tipi di poliedri regolari. Teor. 3 Dim: Nota: (Relazione di Eulero) In ogni poliedro convesso il numero delle facce, aumentato del numero dei vertici, è uguale al numero degli spigoli aumentato di due. In formula avendo indicato con f + v = s + 2 f numero delle facce v numero dei vertici s numero degli spigoli Consideriamo una sola faccia del solido: evidentemente sarà f = 1 e v = s quindi f + v = s + 1 (*) Aggiungiamo un’altra faccia. Allora f aumenterà di 1, mentre, se n è il numero dei vertici della nuova faccia (non necessariamente coincidente col numero dei vertici della prima faccia), v aumenterà di n ed s aumenterà di n + 1, perciò ambo i membri della relazione (*) aumenteranno di n + 1 e la relazione resterà invariata. Continuando ad aggiungere facce, una per volta, finché manchi una sola faccia per chiudere il poliedro la relazione (*) resta sempre invariata. Aggiungiamo, infine, l’ultima faccia: f aumenterà di uno, ma né v né s aumenteranno, perciò si avrà f + v = s + 2 che è quanto si doveva dimostrare. � questa tecnica di dimostrazione si definisce induzione. La validità del principio d’induzione si può far scaturire dall’assioma della scelta “ogni sottoinsieme non vuoto di numeri interi ha un minimo”; viceversa, se si postula il principio d’induzione si può dimostrare che ogni sottoinsieme non vuoto di interi ha un minimo. 9
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