I solidi platonici - IIS-Newton

“Non defuere decora
ingenia, donec
deterrentur” (Tac.)
Teor. 1
Dim:
I solidi platonici
Di Gian Pietro Chiaro ©2003
In un triedro una faccia è sempre minore della
somma delle altre due e maggiore della loro
differenza.
Internamente alla faccia ac, a partire da V, si traccia
una semiretta d tale che formi con a un angolo
uguale ad ab. Si prendono sugli spigoli a e c due
punti (qualunque) A e C, il segmento AC interseca
la retta d in D, e sullo spigolo b si prende VB = VD.
Si unisce B con A e C.
I due triangoli AVB e AVD sono congruenti per il
1° criterio (AV in comune, VB = VD per
costruzione e AVD = AVB per costruzione). In
particolare sarà AB = AD e ad = ab.
2
H:Vabc triedro
T: ac < ab + bc ab > ac - bc
Applicando al triangolo ABC il teorema:“in un triangolo qualunque un lato è sempre
minore della differenza degli altri due” si ottiene:
Cioè
BC > AC – AB = AC – AD = DC
BC > DC
Considerando i triangoli BVC e DVC essi hanno VC in comune, VB = VD per
costruzione e BC > DC per quanto già detto, per il teorema “se due angoli hanno due
lati ordinatamente uguali ed il terzo lato disuguale, l’angolo opposto al lato maggiore
sarà maggiore dell’angolo opposto al lato minore” si ha:
da cui, sommando membro a membro:
cioè
dc < bc
ad + dc < ab + bc
ac < ab + bc
se bc è la faccia minore, sottraendo da ambo i membri la faccia bc si ottiene:
cioè
ac - bc < ab + bc - bc
ab > ac - bc
La dimostrazione è analoga per le altre facce del triedro. �
A
a
V
D
d
B
b
C
c