KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

Rezultatai, gauti dviejų nepriklausomų kintamųjų funkcijoms gali būti perkeliami
didesnio nepriklausomų kintamųjų kiekio funkcijoms.
Jei turime funkciją w f ( x,
y,
z,
K,
t)
tolydžios taške ( x , y,
z,
K , t)
, tai išraiška
>
= , kurios dalinės išvestinės
∂f
∂f
∂f
∂f
, , , K , yra
∂x
∂y
∂z
∂t
∂f
∂f
∂f
∂f
dw = dx + dy + dz + K + dt . (7)
∂x
∂y
∂z
∂t
sudaro pagrindinę pilno funkcijos pokyčio dalį ir vadinama šios funkcijos pilnu diferencialu.
x
Pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos u = e
y 2
sin z pilną diferencialą.
∂u
2 2
x + y 2
= 2xe
sin z,
∂x
∂u
2 2
x + y 2
= 2ye
sin z,
∂y
∂u
= e
∂z
du = e
2 2
x + y
2sin
z cos z = e
2 2
x + y
sin 2z.
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 51
2 2
+
Kadangi dalinės išvestinės yra tolydžios visoms x, y, z reikšmėms, tai
2 2
x + y
2
2
( 2x
sin zdx + 2 y sin zdy + sin zdz)
. <
§ 7. SUDĖTINĖS FUNKCIJOS DIFERENCIJAVIMAS. PILNA IŠVESTINĖ.
DIFERENCIALO FORMOS INVARIANTIŠKUMAS
Tegul išraiškoje z F(
u,
v)
funkcijos u = ϕ(
x,
y)
, v = ψ ( x,
y)
. Šiuo atveju z = F(
u,
v)
, u = ϕ(
x,
y)
, v ψ ( x,
y)
= , tarpiniai kintamieji u ir v yra nepriklausomų kintamųjų x ir y
= vadinama
sudėtine nepriklausomų kintamųjų x ir y funkcija, išreikšta per tarpinius kintamuosius u ir v.
Žinoma, šią funkciją galime išspręsti nepriklausomų kintamųjų x ir y atžvilgiu, tačiau gaunamas
reiškinys
z = F ϕ x,
y , ψ x,
y
dažniausiai yra žymiai sudėtingesnis.
z =
3 3
Pavyzdys. z = u v + u + 1,
( ( ) ( ) )
2 2
= x y , = + 1
+ y x
e
u +
2 2 3 x+
y 3 2 2
( x + y ) ( e + 1)
+ ( x + y ) + 1
Tegul funkcijos F ( u,
v)
, ϕ ( x, y)
, ( x, y)
.
v , tada
ψ turi netrūkias dalines išvestines pagal visus
kintamuosius. Mes turime apskaičiuoti sudėtinės nepriklausomų kintamųjų x ir y funkcijos dalines
∂ z ∂ z
išvestines ir .
∂x
∂y
Kaip jau matėme ankstesniame skyrelyje, funkcijos z = f ( x,
y)
pilnas pokytis yra
∂f
( x,
y)
∂f
( x,
y)
∆z = ∆x
+ ∆y
+ γ 1∆x
+ γ 2∆y
,
∂x
∂y
todėl sudėtinės funkcijos dalinis pokytis, atsiradęs dėl kintamojo x kitimo yra
∂F
∂F
∆ xz
= ∆ xu
+ ∆ xv
+ γ 1∆
xu
+ γ 2∆
xv
,
∂u
∂v