KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

1.
Paskutiniąją lygybę (1) padaliname iš ∆x ir gauname
∂F
∂F
∆y
∆y
+ + γ 1 + γ 2 = 0 .
∂x
∂y
∆x
∆x
∂
+ γ
∆
1
Dabar jau galime apskaičiuoti = − ∂
∆ ∂F
+ γ 2
∂y
x
F
y
.
x
∆y
Kadangi lim = y′
x ir 1 0
∆x→0 ∆x
→ γ , 2 0 → γ , kai 0 → ∆x , tai
∂F
∂y
y′ x
x = = − ∂
. < (2)
∂x
∂F
∂y
∂F
Įrodėme, kad y′ x egzistuoja, kai ≠ 0 ir gavome dažnai praktikoje naudojamą formulę.
∂y
Pavyzdžiai.
F
( x,
y)
=
0 :
∂F
∂F
= 2x,
= 2y
≠ 0,
∂x
∂y
( x,
y)
x
2
2
+ y = 1,
taigi
dy 2x
x
= − = − .
dx 2y
y
2.
F = 0 :
y x
e −e
+ xy = 0.
∂F
x
= −e
+ y,
∂x
∂F
y
= e + x,
∂y
x
x
dy −e
+ y e −y
= − = .
y
y
dx e + x e + x
Tuo atveju, kai turime kelių kintamųjų funkciją F ( x,
y,
z)
= 0 , porai skaičių x ir y , paimtų
iš apibrėžimo srities, atitinka viena ar kelios funkcijos z reikšmės, tenkinančios lygtį
F ( x,
y,
z)
= 0 . Taigi F ( x,
y,
z)
= 0 yra tam tikra nepriklausomų kintamųjų x ir y funkcija z ,
užrašyta neišreikštame pavidale.
2 2 2 2
Pavyzdys. Imkime neišreikštiną sferos lygtį x + y + z − R = 0 , kurią išreiškus z atžvilgiu,
gauname
z −
2 2 2
= ± R − x y .
Apskaičiuokime tokios funkcijos ( x,
y,
z)
= 0
F dalines išvestines
pritaikyti anksčiau gautą formulę (2), atitinkamai ją pertvarkius:
'
zx ∂F
∂z
= = − ∂x
∂x
∂F
∂z
ir taip pat
'
z y
∂ z
ir
∂x
∂F
∂z
∂y
∂F
= = − , čia suprantama ≠ 0 .
∂y
∂F
∂z
∂z
∂ x
. Tam galime
∂y
Analogiškai galime apskaičiuoti ir didesnio nepriklausomų kintamųjų skaičiaus neišreikštinos
funkcijos dalines išvestines.
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 54