KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

⎧∂Φ
⎪
∂x
⎪
⎪∂Φ
⎨
⎪ ∂y
⎪∂Φ
⎪
⎩ ∂z
1
1
1
M
M
M
=
=
=
( 2x)
( 2y
)
( 2z)
M
M
M
⎧∂Φ
2
= 2r,
⎪
∂x
⎪
⎪ ∂Φ
2
= 2r,
⎨
⎪ ∂y
⎪ ∂Φ
2
= 2r
2.
⎪
⎩ ∂z
M
M
M
= 2x
=
=
= 2r,
( 2y
− 2r)
Todėl liestinės lygtis yra
X − r Y − r Z − r 2
= = (tiesė, statmena x ašiai).
0 2 −1
Normalinė plokštuma 2 ( − r)
− ( Z − r 2)
= 0
0.
M
x
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 72
M
=
0,
Y arba
2 Y − Z = 0 (plokštuma, lygiagreti x ašiai).
§ 18. PAVIRŠIAUS LIEČIAMOJI PLOKŠTUMA IR NORMALĖ.
PILNO FUNKCIJOS DIFERENCIALO GEOMETRINĖ PRASMĖ
Tegul turime paviršių ( x,
y,
z)
= 0
F . (1)
Apibrėžimas. Tiesė, vadinama liestine paviršiui taške P ( x y,
z)
kreivei, gulinčiai paviršiuje ir einančiai per tašką P .
, , jei ji yra liestinė bet kuriai
Kadangi per tašką P galima nubrėžti begalinį skaičių kreivių, gulinčių paviršiuje
F ( x,
y,
z)
= 0 , tai ir liestinių skaičiaus paviršiui F ( x,
y,
z)
, einančių per tašką P taip pat yra
begalinis.
Išnagrinėkime paviršiaus F ( x,
y,
z)
= 0 paprastųjų ir ypatingųjų taškų sąvokas. Jei taške
∂ F ∂ F ∂ F
P ( x,
y,
z)
visos išvestinės ir ir lygios nuliui, arba bent viena iš išvestinių šiame
∂x
∂y
∂z
taške neegzistuoja, tai šis taškas vadinamas ypatingu paviršiaus tašku. Jeigu taške P ( x,
y,
z)
visos
trys išvestinės egzistuoja, yra tolydžios ir bent viena iš šių išvestinių šiame taške nelygi nuliui, tai
P x,
y,
z vadinamas paprastuoju paviršiaus tašku.
taškas ( )
Teorema. Visos liestinės (tiesės) paviršiui F ( x,
y,
z)
= 0 paprastame taške P ( x y,
z)
vienoje plokštumoje.
z
N r
P
dr dt
r
y
, guli
> Paviršiuje F ( x,
y,
z)
= 0 imkime
tam tikrą liniją L , kuri eina per paviršiaus
tašką P ( x,
y,
z)
. Tegul šios kreivės
parametrinės lygtys yra
⎧x
= f ( t)
,
⎪
⎨y
= ϕ () t , tada liestinė šiai kreivei L
⎪
⎩z
= ψ () t ,
yra ir liestinė paviršiui F ( x,
y,
z)
= 0