KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

dγ
→ → →
→ → → d →
⎛
d r
f i j k
⎞ ⎛
f i j k
⎞ γ
= ⎜ + ϕ + ψ ⎟ + γ ⎜ ′ + ϕ ′ + ψ ′ ⎟ = r + γ
dt ⎝
⎠ ⎝
⎠ dt dt
4. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš išvestinės ženklą
d → d r
a r () t = a = ar′
() t . (4)
dt dt
> Šią savybę galime įrodyti, remdamiesi ką tik įrodyta savybe, kai γ () t = a . <
5. Vektorinės sandaugos išvestinė
d → → d r → →
⎛ 1 d r 2
r 1 r
⎞
⎜ × 2 ⎟ = × r 2 + r 1×
.
(5)
dt ⎝ ⎠ dt
dt
> Įrodoma analogiškai antrajai savybei. <
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 69
→
§ 17. ERDVINĖS KREIVĖS LIESTINĖ IR NORMALINĖ PLOKŠTUMA
r r r r
Kaip matėme, kreivės r = xi
+ yj
+ zk
, kai x = f ( t)
, y = ϕ()
t , z = ψ () t , išvestinė yra
r
dr
( t)
r r r
= r'
() t = f '()
t r + ϕ '()
t j + ψ '()k
t
dt
r t
r
liestinės taške M ( x,
y,
z)
kryptimi. Kadangi
M x,
y,
z lygtis yra
ir šios išvestinės kryptis sutampa su kreivės ( )
tiesės, einančios per tašką ( )
→
X − x Y − y Z − z
= = ,
m n p
čia X, Y, Z yra tiesės taškų kintančios koordinatės, o m, n ir p – šios tiesės linkmės vektoriaus
koordinatės. Liestinės kreivei taške M ( x,
y,
z)
linkmės vektoriaus koordinatės turi būti m = f '(
t)
,
n = ϕ ' t , p = ψ '()
t , todėl liestinės lygtis yra
()
() t ϕ'
() t '()
t
→
→
. <
X − x Y − y Z − z
= = . (1)
f ' ψ
Pavyzdys. Užrašyti sraigtinės linijos ( x = a cos t ,
π
kuriam taškui t ir kai t = .
4
y = a sin t , z = bt ) liestinės lygtį bet
dx
dy
dx
> Apskaičiuojame = −a
sin t , = a cost
, = b , tada
dt
dt
dz
X − a cost
Y − a sint
Z − bt
= = .
− a sint
a cost
b
2
X − a
π
Kai t = , 2
4 2
− a
2
2
Y − a
= 2
2
a
2
π
Z − b
= 4 . Padauginame iš a
b
2
ir gauname
2