KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

Apskaičiuokime sudėtinės funkcijos z = F(
u,
v)
, ϕ ( x, y)
, ( x, y)
ψ pilną diferencialą. Į
∂z
∂z
žinomą pilno diferencialo formulę dz = dx + dy įrašome anksčiau gautų dalinių išvestinių
∂x
∂y
išraiškas (1) ir (2). Tada
⎛ ∂F
∂u
∂F
∂v
⎞ ⎛ ∂F
∂u
∂F
∂v
⎞
dz = ⎜ + ⎟dx
+ ⎜ + ⎟dy
.
⎝ ∂u
∂x
∂v
∂x
⎠ ⎝ ∂u
∂y
∂v
∂y
⎠
Pertvarkome dešiniąją pusę
∂F
⎛ ∂u
∂u
⎞ ∂F
⎛ ∂v
∂v
⎞
dz = ⎜ dx + dy⎟
+ ⎜ dx + dy⎟
.
∂u
⎝ ∂x
∂y
⎠ ∂v
⎝ ∂x
∂y
⎠
⎧∂u
∂u
⎪
dx + dy = du,
∂x
∂y
∂F
∂F
Kadangi ⎨
tai dz = du + dv . (6)
⎪∂v
∂v
∂u
∂v
dx + dy = dv,
⎪⎩
∂x
∂y
Šią formulę (6) palyginkime su žinoma pilno diferencialo formule, gauta anksčiau:
∂f
∂f
dz = dx + dy . (7)
∂x
∂y
Matome, kad keleto kintamųjų funkcijos pilno diferencialo formulė turi tą pačią išraišką
nepriklausomai nuo to, ar kintamieji u ir v yra nepriklausomi kintamieji ar jie yra kitų kintamųjų x
ir y funkcijos. Tai reiškia, kad pilno kelių kintamųjų funkcijos diferencialo forma yra
invariantiška.
§ 8. NEIŠREIKŠTINŲ FUNKCIJŲ DIFERENCIJAVIMAS
Jau anksčiau diferencijavome vieno kintamojo neišreikštinas funkcijas ( x,
y)
= 0
F . Tada,
deja, neturėjome tokios funkcijos išvestinės skaičiavimo bendros formulės, o taip pat nežinojome
šios išvestinės egzistavimo sąlygų. Šį klausimą išsiaiškinkime dabar.
Tegul turime tam tikrą nepriklausomo kintamojo x funkciją y, kuri duota neišreikštinu
F x,
y = .
pavidalu ( ) 0
Teorema. Jei tolydi nepriklausomo kintamojo x funkcija y duota neišreikštu pavidalu
x,
y =
'
x,
y
'
x,
y yra tolydžios tam tikroje srityje D, kurioje yra ir taškas M( x, y)
,
F ( ) 0 ir ( ) , ( )
F x
F y
'
tenkinantis lygtį F ( x,
y)
= 0 , be to šiame taške Fy ( x,
y)
≠ 0
'
' Fx
( x,
y)
yx
= − . '
F ( x,
y)
y
, tada funkcija y turi išvestinę ir
> Tegul x ir y susieti tam tikra neišreikština funkcija F ( x,
y)
= 0 . Nepriklausomam
kintamajam x suteikiame pokytį ∆ x , tada naują nepriklausomo kintamojo reikšmę x + ∆x
tenkins
nauja funkcijos reikšmė y + ∆y
. Taigi
F ( x + ∆x,
y + ∆y)
= 0 ir F ( x + ∆x,
y + ∆y)
− F(
x,
y)
= 0 .
Skirtumą F ( x + ∆x,
y + ∆y)
− F(
x,
y)
galime įsivaizduoti, kaip dviejų nepriklausomų
kintamųjų funkcijos pilną pokytį, kurį apskaičiuojame tai:
∂F
∂F
F( x + ∆x,
y + ∆y)
− F(
x,
y)
= ∆x
+ ∆y
+ γ 1 ∆x
+ γ 2∆y
= 0.
(1)
∂x
∂y
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 53