KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

X − x Y − y Z − z
= = .
dx dy dz
dt dt dt
Jei kreivės parametrines lygtis įrašysime į paviršiaus lygtį, gausime tapatybę, nes kreivė L
guli paviršiuje
F ( x,
y,
z)
= 0 , t.y. F( f ( t)
, ( t)
, ψ ( t)
) = 0
Šią sudėtinę funkciją (1a) diferencijuokime pagal t
∂F
∂x
dx ∂F
dy ∂F
dz
+ +
dt ∂y
dt ∂z
dt
ϕ . (1a)
= 0 .
Dabar panagrinėkime vektorius → d r
N ir
dt
→
, einančius per tą patį tašką P .
→ ∂F
→ ∂F
→ ∂F
→ → ⎛ ∂F
⎞ ⎛ ∂F
⎞ ⎛ ∂F
⎞
Vektorius N = i + j+
k , N = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ≠ 0 ,
∂x
∂y
∂z
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂z
⎠
∂ F ∂ F ∂ F
→
nes taškas P yra paprastas taškas ir išvestinės , , (vektoriaus N projekcijos) vienu
∂x
∂y
∂z
metu negali būti lygios nuliui.
→
d r dx → dy → dz →
Vektorius = i + j+
k
dt dt dt dt
vektorius. Apskaičiuokime šių vektorių skaliarinę sandaugą
→
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 73
2
2
yra kreivės L liestinės taške P ( x y,
z)
→ d r ∂F
dx ∂F
dy ∂F
dz
N⋅
= + + .
dt ∂x
dt ∂y
dt ∂z
dt
Šis reiškinys yra sudėtinės funkcijos F( f ( t)
, ( t)
, ψ ( t)
) = 0
2
, linkmės
ϕ išvestinė pagal t , gauta anksčiau
∂F
dx ∂F
dy ∂F
dz
+ + = 0 , todėl
∂x
dt ∂y
dt ∂z
dt
→
→ d r
→ d r
N ⋅ = 0 , o tai reiškia, kad N ⊥ .
dt
dt
Išnagrinėtas atvejis tinka bet kuriai kreivei, einančiai per tašką P ir gulinčiai paviršiuje
F ( x,
y,
z)
= 0 . Todėl, kiekviena liestinė paviršiui taške P ( x,
y,
z)
yra statmena tam tikram
vektoriui →
P x,
y,
z . Vadinasi visos liestinės guli toje pačioje
N , einančiam per tašką ( )
plokštumoje, einančioje per tašką P ( x y,
z)
, , statmenoje vektoriui →
N . Ši plokštuma vadinama
paviršiaus lietimosi plokštuma taške P .<
Pastaba. Paviršiaus ypatingi taškai lietimosi plokštumų neturi. Pavyzdžiui, kūgio viršūnės
taškas. Šio paviršiaus liestinės neguli vienoje plokštumoje.
Kadangi lietimosi plokštuma yra statmena vektoriui N r , tai jos lygtis yra
→