You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
y ir λ prilyginti nuliui. Po to reikia apskaičiuoti funkcijos z f ( x,<br />
y)<br />
kritiniuose taškuose.<br />
= reikšmę gautuose<br />
Išnagrinėtas sąlyginio ekstremumo tyrimo metodas pritaikomas ir didesnio skaičiaus<br />
kintamųjų funkcijoms.<br />
Pabaikime spręsti pradėtą uždavinį. Turime V = xyz , su sąlyga xy + xz + zy − a = 0 , čia<br />
> 0 , y > 0,<br />
z > 0<br />
F x,<br />
y,<br />
λ = xyz + λ xy + xz + zy − a .<br />
Apskaičiuojame jos dalines ir išvestines ir prilyginame jas nuliui<br />
x . Sudarome papildomą funkciją ( ) ( )<br />
( y + z)<br />
( x + z)<br />
( x + y)<br />
⎧yz<br />
+ λ = 0,<br />
⎪<br />
xz + λ = 0 ,<br />
⎨<br />
⎪xy<br />
+ λ = 0 ,<br />
⎪⎩<br />
xy + xz + zy − a = 0.<br />
Ši keturių lygčių sistema su keturiais nežinomaisiais yra simetriška nežinomųjų<br />
x, y ir z atžvilgiu. Iš to darome išvadą, kad x = y = z . Tada iš paskutiniosios sąlygos gauname<br />
3 , bet 0,<br />
tada<br />
.<br />
3<br />
2<br />
3<br />
a<br />
a<br />
x = a x > x = y = z = Tai vienintelis kritinis taškas, todėl V max = .<br />
27<br />
§ 13. DIDŽIAUSIA IR MAŽIAUSIA <strong>FUNKCIJOS</strong> REIKŠMĖ<br />
Keleto kintamųjų funkcijos z f ( x,<br />
y)<br />
= didžiausią ir mažiausią reikšmę tam tikroje uždaroje<br />
srityje D , į kurią įeina vidiniai srities D taškai ir sritį D ribojančios linijos L taškai, randame<br />
taip:<br />
1) apskaičiuojame visus maksimumus ir minimumus, patenkančius į sritį D ,<br />
2) apskaičiuojame visus funkcijos maksimumus ir minimumus sritį D ribojančioje linijoje L<br />
(sąlyginius ekstremumas),<br />
3) iš visų maksimumų parenkame didžiausią ir iš visų minimumų mažiausią, tai ir bus<br />
funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmės uždaroje srityje D .<br />
Pavyzdys. Rasti funkcijos<br />
2 2<br />
2 2<br />
= x y didžiausią ir mažiausią reikšmes skritulyje x + y ≤ 4<br />
z −<br />
> a) Apskaičiuokime funkcijos<br />
∂z<br />
∂z<br />
= 2x<br />
, = −2y<br />
ir ⎨<br />
∂x<br />
∂y<br />
⎩ ⎧2x<br />
= 0,<br />
− 2y<br />
= 0.<br />
2 2<br />
2 2<br />
= x y ekstremumus skritulio + y < 4<br />
z −<br />
Šią sistemą tenkina vienintelis sprendinys, taškas 0(<br />
0,<br />
0)<br />
centras. Šiame taške z ( 0 , 0)<br />
= 0 .<br />
x viduje, tada<br />
2 2<br />
M , kuris yra skritulio x + y ≤ 4<br />
2 2<br />
2 2<br />
b) Panagrinėkime funkcijos z = x − y ekstremumus apskritimo linijoje x + y = 4 arba<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
x + y − 4 = 0.<br />
Sudarome funkciją F( x,<br />
y,<br />
λ ) = x − y + λ(<br />
x + y − 4)<br />
= 0.<br />
Randame<br />
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 64
Change language