KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

More documents

Recommendations

Info

⎧∂F ⎪ = 2x ⎪ ∂x ⎪∂F ⎨ = 2y ⎪ ∂y ⎪∂F 2 ⎪ = x + y ⎩∂λ ( 1+ λ) ( λ −1) 2 = 0, = 0, − 4 = 0, tada ⎧ ⎪ kai x = 0, y = ± 2, ⎨kai y = 0, x = ± 2, ⎪ = ⎪ z x 0 = −4, z x= ± 2 = 4. ⎩ y= ± 2 y= 0 Matome, kad = z( ; 0) = z( − 2; 0) = 4, z = z( 0; 2) = z( 0; −2) = −4. max 2 min z < § 14. ERDVINĖS KREIVĖS LYGTYS. SKALIARINIO ARGUMENTO VEKTORINĖ FUNKCIJA Jau matėme, kad z = f ( x, y) arba ( x, y, z) = 0 F bendruoju atveju reiškia tam tikrą paviršių. Galime tvirtinti, kad dviejų paviršių susikirtimo linija yra tam tikra erdvinė linija. Taigi, erdvinė linija yra lygčių sistema ⎧F1 ( x, y, z) = 0, ⎨ (1) ⎩F2 ( x, y, z) = 0. Pavyzdžiai. 2 2 2 ⎧x + y + z = 9, 1) Sistema ⎨ reiškia apskritimą, kuris gaunamas, kai plokštuma ⎩x + y + z = 1, 2 2 2 x + y + z = 1 kerta rutulį x + y + z = 9 . 2 2 ⎧x + y = 4, 2) Lygčių sistema ⎨ nustato dviejų statmenai susikertančių ritinių susikirtimo 2 2 ⎩x + z = 4, liniją. Jei sistemos (1) lygtyse F ( x, y, z) = 0 ir ( x, y, z) = 0 1 F 2 kintamąjį x išreikšime per papildomą kintamąjį t , t.y. x = f () t , tai šias lygtis galime išspręsti y ir z atžvilgiu. Taip gausime erdvinės linijos parametrines lygtis y ( t) , () t , () t , t ∈ ( t , ) . Šitokia erdvinės linijos forma dažnai yra patogesnė už kitas. z O r r z A y x x ⎧x = f ⎪ ⎨y = ϕ (2) ⎪ ⎩z = ψ 0 T ⎧x = a cost, ⎪ Pavyzdys. Sistema ⎨y = a sin t, reiškia ⎪ ⎩z = bt, t ∈ ( 0, ∞) sraigtinę liniją (sriegį). Erdvinę kreivę dar galime užrašyti spinduliu vektoriumi r = x i + y j+ z k . Čia x , y, z tam tikro kreivės taško A koordinatės. © A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 65 → → → → → Vektoriaus OA = r pradžia šiuo atveju sutampa su koordinačių pradžia, o galas yra taške →
A . Jei vektoriaus → r projekcijos x , y ir z yra tam tikro parametro t funkcijos, tai šis vektorius yra () () () → → → t i + t j+ t © A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 66 → r = f ϕ ψ k arba r = r () t . (3) Kintant parametrui t , kinta x , y ir z ir taškas A koordinatės, tada vektoriaus () → r t galas → → piešia erdvėje tam tikrą erdvinę liniją, kuri vadinama vektoriaus r = r () t hodografu. → → → → → → Lygtis r = x i + y j+ z k vadinama erdvinės kreivės vektorine lygtimi. Savo ruožtu r = r () t vadinama skaliarinio argumento t vektorine funkcija. Apibrėžimas. Jeigu kiekvieną tikrąją skaliarinio argumento t reikšmę tam tikru būdu visiškai atitinka apibrėžta (moduliu ir kryptimi) kintamojo vektoriaus → r reikmė, tai vektorius → r yra skaliarinio argumento t funkcija. § 15. SKALIARINIO ARGUMENTO VEKTORINĖS <strong>FUNKCIJOS</strong> RIBA, TOLYDUMAS IR IŠVESTINĖ Tegul turime skaliarinio argumento vektorinę funkciją → → = r () t arba () () () → → → → r = f t i + t j+ ψ t k r ϕ (1) Bendruoju atveju, keičiantis t , kinta vektoriaus → r modulis ir kryptis. Jei f t = f , limϕ t = ϕ ir limψ t = ψ tai galėsime sakyti, kad vektorius () ( ) ( ) , lim 0 0 0 t→t0 t→t0 t→t0 → → → → r0 = f0 i + 0 j+ ψ 0 k y ϕ yra vektoriaus r = r () t riba ir rašyti Iš paskutiniosios lygybės seka, kad lim r t→t 0 → z O → → → () → → lim r t = r0 t→t 2 2 2 () t − r = lim ( f () t − f ) + ( ϕ( t) − ϕ ) + ( ψ ( t) −ψ ) = 0 r () t r 0 r0 r t→t r 0 r () t − r0 0 x 0 0 . (2) 0 → → → → = 0 , o tada lim r () t r t→t Apskaičiuokime skaliarinio argumento → vektorinės funkcijos išvestinę. Tegul vektoriaus r () t pradžia yra koordinačių pradžioje, o jo galas → () () () () → → → t = f t i + t j+ t k r kreivę. ϕ ψ brėžia tam tikrą erdvinę → Fiksuokime tašką t , kada vektoriaus r () t galas yra taške M , ir suteikime t pokytį ∆ t . → ( ) ( ) ( ) ( ) → → → t + ∆t = f t + ∆t i + t + ∆t j+ t + ∆t k r ϕ ψ . 0
Page 1 and 2: IV skyrius KELETO KINTAMŲJŲ FUNKC
Page 3 and 4: III apibrėžimas. Jei kiekvienai t
Page 5 and 6: O y G Jei sakome, kad funkcija ( x
Page 7 and 8: Analogiškai funkcijos z f ( x, y)
Page 9 and 10: ( x, y + ∆y) ∂f ( x, y) ⎧∂f
Page 11 and 12: nes, x pasikeitus per ∆ x ( y = c
Page 13 and 14: 1. Paskutiniąją lygybę (1) padal
Page 15 and 16: Bendruoju atveju, n-tos eilės dali
Page 17 and 18: n ∂ f k ∂x ∂y n− k ∂ =
Page 19 and 20: I apibrėžimas. Funkcija z = f ( x
Page 21 and 22: ⎛ 4 1 ⎞ Apskaičiuojame antrosi
Page 23: y ir λ prilyginti nuliui. Po to re
Page 27 and 28: d dt = → → d dt → → → ⎛
Page 29 and 30: X a 2 − 2 −1 a Y − = 1 πb Z
Page 31 and 32: ⎧∂Φ ⎪ ∂x ⎪ ⎪∂Φ ⎨
Page 33 and 34: ∂F ∂x ∂F ∂y ( X − x) + (
Page 35 and 36: 2 d. parabolė y = 2 px . Jei jas p
Page 37 and 38: x y z x y 2 2 x z 5. Dvišalį suki
Page 39 and 40: 2 2 2 2 x y b z transformacijos lyg

KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?