KELETO KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS

Bendruoju atveju, n–tos eilės dalinė išvestinė yra n-1 eilės išvestinės pirmoji išvestinė.
Bet kurio skaičiaus kintamųjų n–tos eilės išvestinės skaičiuojamos analogiškai.
Pavyzdžiai.
2 3
1. Raskime visas funkcijos f ( x,
y)
x y + y
∂f
= 2xy
,
∂x
∂f
= x
∂y
2
+ 3y
2
= antros eilės išvestines.
2
2
2
2
∂ f ∂ f ∂ f ∂ f
, = 2y
, = 2x
, = 2x
, = 6y
.
2
2
∂x
∂x∂y
∂y∂x
∂y
2 x 2 3
2. Raskime funkcijos z = y e + x y + 1 šias dalines išvestines
∂
∂x
z 2 x
= y e +
∂z
x
= +
∂y
2xy
3
2 2
2ye 3x
y
,
,
∂
∂x
2
z 2 x
= y e +
2
2y
2
∂ z x
= 2ye + 6xy
∂y∂x
3
,
3
∂ z x 2
= 2ye + 6y
,
2
∂x
∂y
2
,
2
∂ z x
= 2ye + 6y
2
∂y∂x
3
∂ z
2
∂x
∂y
3
∂ z
∂y∂x
ir 2
2 2
3
3
∂ f ∂ f
∂ z ∂ z
Įdomu, ar atsitiktinai pirmajame pavyzdyje = , o antrajame = ?
2
2
∂x∂y
∂y∂x
∂x
∂y
∂y∂x
Natūralu išnagrinėti klausimą, ar skaičiavimo rezultatas priklauso nuo to, kokia tvarka
apskaičiuosime išvestines pagal vieną ir pagal kitą nepriklausomą kintamąjį, pvz., ar būtinai
lygios šios išvestinės
2 2
3
3
∂ z ∂ z ∂ z ∂ z
= ir = .
2
2
∂x∂y
∂y∂x
∂x
∂y
∂y∂x
Teorema. Jeigu funkcija z f ( x,
y)
= ir jos dalinės išvestinės
© A.Laurutis keleto_kint_funkcijos.doc 56
2
.
2 2
∂z
∂z
∂ z ∂ z
, , , yra
∂x
∂y
∂x∂y
∂y∂x
M x,
y galioja
apibrėžtos ir tolydžios taške M ( x,
y)
ir jo aplinkoje, tai šiame taške ( )
∂ z
lygybė
∂x∂y
2
∂ z
=
∂y∂x
2
.
> Imkime išraišką A = ( f ( x + ∆x,
y + ∆y)
− f ( x + ∆x,
y)
) − ( f ( x,
y + ∆y)
− f ( x,
y)
) ir
ϕ x = f x,
y + ∆y
− f x,
y , tada A = ϕ( x + ∆x)
−ϕ
( x)
.
∂ z
Kadangi yra apibrėžta ir tolydi taške M ( x,
y)
ir jo aplinkoje, tai ϕ ( x)
diferencijuojama
∂x
x, x + ∆x
. Pritaikome Lagranžo teoremą skirtumui
pažymėkime ( ) ( ) ( )
atkarpoje [ ]
( x + ∆x)
( x)
∂ϕ
Tada ( ) ( )
( x)
A = x + ∆x
−ϕ
x = ∆x
∂x
Kadangi pažymėjome ϕ ( x ) = f ( x,
y + ∆y)
− f ( x,
y)
, tai
∂ ϕ ( x)
∂f
( x,
y + ∆y)
∂f
( x,
y)
A = ϕ − ϕ . (1)
ϕ , čia x yra reikšmė tarp x ir x + ∆x
.
∂x
=
∂x
−
∂x
.
.