Būvmehānika, ievadkurss

RĪGAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTEBūvmehānikas katedraF. Bulavs, I. RadiľšBŪVMEHĀNIKASIEVADKURSSRTU izdevniecībaRīga, 2009

Šajā grāmatā apkopotais materiāls attiecas uz to būvmehānikas kursa daļu, kuru jāapgūstbūvniecības specialitātes kā arī arhitektūras specialitātes un būvniecības koledţasstudentiem, lai uzsāktu studijas statiski noteicamu un statiski nenoteicamu stieľu sistēmumehānikā. Tas satur informāciju par būvmehānikas zinātnes pamatnostādnēm,par būvsistēmu stieľveida elementu mehāniku, kuri pakļauti pašsvara un ārējām iedarbībāmun dod iespēju apgūt piepūļu, spriegumu, deformāciju un nestspējas aprēķinumetodes darinājumiem no deformējamiem materiāliem.Grāmatas apjoms atbilst būvniecības specialitātes apmācības programmas trim kredītapunktiem un var tikt izmantots kā teorētisko jēdzienu un to kopsakarību apgūšanai, tāarī praktiskai spriegumu, deformāciju un stiprību noteikšanai. Grāmatā paralēli teorētiskajammateriālam publicēti arī praktisku uzdevumu aprēķina piemēri.Materiāls sagatavots un aprobēts Būvmehānikas katedrā un tiek rekomendēts būvniecībasspecialitāšu studentiem.Iespiests saskaľā ar Būvmehānikas katedras 2009. gada 12. marta sēdes (protokols Nr.02/09) lēmumu.Recenzenti:profesors A. Čate,docents J. Auzukalns2

SATURS1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZES ........................... 61.1. IEVADS ............................................................................................................................... 61.2. BŪVMEHĀNIKAS UZDEVUMU KLASIFIKĀCIJA ..................................................................... 71.3. SLODZES ............................................................................................................................ 91.4. KONSTRUKCIJU BALSTI UN TO VEIDI ................................................................................ 101.5. STIEĽU SISTĒMAS, TO ELEMENTI UN APRĒĶINU SHĒMAS .................................................. 111.6. SPRIEGUMI ....................................................................................................................... 131.7. PĀRVIETOJUMI UN DEFORMĀCIJAS ................................................................................... 151.8. JĒDZIENS PAR BŪVJU APRĒĶINU METODĒM ...................................................................... 191.9. STIEĽU SISTĒMU MEHĀNIKĀ IZMANTOJAMĀS HIPOTĒZES ................................................. 202. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀS ................... 232.1. STATISKO SLODŢU VEIDI .................................................................................................. 232.2. BALSTU REAKCIJAS. ......................................................................................................... 242.3. PLAKANAS SPĒKU SISTĒMAS LĪDZSVARA NOSACĪJUMI ..................................................... 262.4. PLAKANAS STIEĽU SISTĒMAS LĪDZSVARA NOSACĪJUMI .................................................... 272.5. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANAS SECĪBA ........................................................................ 283. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAI ..... 393.1. ŠĶĒLUMU METODE TELPISKAI SISTĒMAI .......................................................................... 393.2. VIENKĀRŠĀKIE DEFORMĀCIJU VEIDI ................................................................................ 413.3. ŠĶĒLUMU METODE PLAKANAI SISTĒMAI .......................................................................... 413.4. PIEPŪĻU NOTEIKŠANA PLAKANĀS KOPNĒS ....................................................................... 443.4.1. Vispārīgi jēdzieni ..................................................................................................... 443.4.2. Kopņu klasifikācija .................................................................................................. 453.4.3. Kopņu analītiskais aprēķins..................................................................................... 463.4.4. Piepūļu salīdzinājums dažāda veida kopnēm........................................................... 544. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBAS ........................................................................ 574.1. MAZOGLEKĻA TĒRAUDA STIEPES DIAGRAMMA UN TĀS RAKSTURĪGIE PUNKTI ................. 574.2. PLASTISKUMA RAKSTUROTĀJI. UZKALDE ........................................................................ 594.3. TRAUSLU MATERIĀLU STIEPES DIAGRAMMA .................................................................... 624.4. PLASTISKU UN TRAUSLU MATERIĀLU SPIEDES DIAGRAMMA. STIPRĪBAS RAKSTUROTĀJI .. 624.5. PIEĻAUJAMIE SPRIEGUMI UN DROŠĪBAS KOEFICIENTI ....................................................... 655. STIEPE UN SPIEDE............................................................................................................ 685.1. IEKŠĒJO PIEPŪĻU UN PĀRVIETOJUMU NOTEIKŠANA .......................................................... 685.2. STIPRĪBAS APRĒĶINI STIEPĒ UN SPIEDĒ ............................................................................ 715.3. SPRIEGUMI STIEĽA SLĪPOS ŠĶĒLUMOS .............................................................................. 776. STIEĽA ŠĶĒRSGRIEZUMA LAUKUMA ĢEOMETRISKIE RAKSTUROTĀJI ..... 806.1. PLAKANU FIGŪRU LAUKUMU SMAGUMA CENTRI UN STATISKIE MOMENTI........................ 806.2. LAUKUMU INERCES MOMENTI .......................................................................................... 866.3. SAKARĪBAS STARP LAUKUMA INERCES MOMENTIEM SAVSTARPĒJI PARALĒLĀS ASĪS ........ 873

6.4. VIENKĀRŠU PLAKANU FIGŪRU LAUKUMU INERCES MOMENTI .......................................... 896.5. SAKARĪBAS STARP INERCES MOMENTIEM PIE ASU PAGRIEŠANAS ..................................... 966.6. GALVENĀS ASIS UN GALVENIE INERCES MOMENTI ........................................................... 966.7. ŠĶĒLUMA INERCES RĀDIUSS. ......................................................................................... 1016.8. SALIKTU LAUKUMU INERCES MOMENTU NOTEIKŠANA ................................................... 1016.9. GALVENO INERCES MOMENTU NOTEIKŠANAS KĀRTĪBA ................................................. 1026.10. PRETESTĪBAS MOMENTS ............................................................................................... 1067. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA ....................................................................................... 1117.1. EILERA FORMULA KRITISKĀ SPĒKA NOTEIKŠANAI .......................................................... 1127.2. STIEĽA GALU IESTIPRINĀJUMA VEIDA IETEKME UZ KRITISKO SPĒKU .............................. 1147.3. KRITISKO SPRIEGUMU NOTEIKŠANAS EMPĪRISKĀS FORMULAS ....................................... 1167.4. SPIESTU STIEĽU ŠĶĒRSIZMĒRU NOTEIKŠANA ĻODZĒ ...................................................... 1198. LIECE ................................................................................................................................. 1248.1. VIENLAIDUMA SIJAS UN TO BALSTI ................................................................................ 1248.2. IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANA LIECĒ ............................................................................. 1258.3. DIFERENCIĀLĀS SAKARĪBAS LIECĒ................................................................................. 1288.4. PIEPŪĻU EPĪRAS VIENKĀRŠĀKAJIEM SIJU SLOGOJUMA GADĪJUMIEM .............................. 1328.5 EPĪRU KONSTRUĒŠANA RĀMJIEM .................................................................................... 1358.6. NORMĀLSPRIEGUMI LIEKTĀS SIJĀS ................................................................................ 1438.7. BĪDES SPRIEGUMU APRĒĶINS ......................................................................................... 1478.8. STIPRĪBAS APRĒĶINI LIECĒ ............................................................................................. 1518.9. SIJAS IZLIECES, SIJAS LIEKTĀS ASS DIFERENCIĀLVIENĀDOJUMS ..................................... 1628.10. KOMPOZĪTU SIJU LIECE ................................................................................................ 1678.11. REDUCĒTĀ ŠĶĒLUMA METODE ..................................................................................... 1709. BĪDE .................................................................................................................................... 1729.1. SPRIEGUMU STĀVOKLIS TĪRĀ BĪDĒ ................................................................................. 1729.2. PLĀNSIENIĽU CAURULES VĒRPE KĀ TĪRĀS BĪDES REALIZĀCIJA ...................................... 1739.3. APAĻA STIEĽA VĒRPES SPRIEGUMI UN DEFORMĀCIJAS ................................................... 17410. SALIKTIE SLOGOJUMI ............................................................................................... 17910.1. GREIZĀ LIECE ............................................................................................................... 17910.2. EKSCENTRISKĀ SPIEDE ................................................................................................. 18210.3. ŠĶĒLUMA KODOLS ....................................................................................................... 18611. STIPRĪBAS KRITĒRIJI ................................................................................................. 18911.1. SPRIEGUMA UN DEFORMĀCIJU STĀVOKLIS PUNKTĀ ..................................................... 18911.1.1. Spriegumu zīmju likums ....................................................................................... 19011.1.2. Spriegumi slīpos šķēlumos plakana spriegumstāvokļa gadījumā ........................ 19011.1.3. Galvenie spriegumi .............................................................................................. 19111.1.4. Telpiskais spriegumstāvoklis ............................................................................... 19711.1.5. Deformētais stāvoklis punktā ............................................................................... 19811.1.6. Potenciālā enerģija telpiskā spriegumstāvokļa gadījumā ................................... 20011.2. STIPRĪBAS TEORIJAS ..................................................................................................... 20111.2.1. Maksimālo normālspriegumu (pirmā) stiprības teorija ....................................... 20211.2.2. Maksimālo relatīvo deformāciju (otrā stiprības) teorija ..................................... 20211.2.3. Maksimālo bīdes spriegumu (trešā stiprības) teorija .......................................... 20311.2.4. Enerģētiskā (ceturtā) stiprības teorija ................................................................. 2044

11.2.5. Mora stiprības teorija .......................................................................................... 20511.2.6. Stiprības teoriju attīstība ..................................................................................... 20612. ŠĻŪDE .............................................................................................................................. 20812.1. BŪVMATERIĀLU ŠĻŪDE ................................................................................................ 20812.2. LINEĀRĀ ŠĻŪDE ........................................................................................................... 21012.3. ŠĻŪDE MAINĪGU SLODŢU GADĪJUMĀ ............................................................................ 21112.4. SPRIEGUMU RELAKSĀCIJA ............................................................................................ 21412.5. INTEGRĀLVIENĀDOJUMU KODOLI ................................................................................ 21512.6. MATERIĀLA STRUKTŪRAS MODEĻI .............................................................................. 21712.7. NELINEĀRA ŠĻŪDE ....................................................................................................... 21912.8. MATERIĀLA ILGLAICĪGĀ STIPRĪBA ............................................................................... 22113. MATERIĀLA NOGURUMS .......................................................................................... 22313.1. CIKLISKA SPRIEGUMA RAKSTURLIELUMI ..................................................................... 22313.2. MATERIĀLU NOGURUMA UN IZTURĪBAS ROBEŢAS EKSPERIMENTĀLA PĀRBAUDE. ........ 22513.3. ROBEŢSPRIEGUMU DIAGRAMMA. ................................................................................. 22613.4. MATERIĀLA IZTURĪBU IESPAIDOJOŠIE FAKTORI ........................................................... 22713.5. NOGURUMA STIPRĪBAS DIAGRAMMA............................................................................ 229PIELIKUMI ............................................................................................................................ 231NVS VALSTU TĒRAUDA PROFILU ĢEOMETRISKIE RAKSTUROTĀJI ......................................... 231ŠĶĒRSGRIEZUMA LAUKUMU ĢEOMETRISKIE RAKSTUROTĀJI................................................. 240UZDEVUMU ATRISINĀJUMI UN ATBILDES .............................................................................. 243LITERATŪRA ......................................................................................................................... 2485

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HI-POTĒZES1.1. IevadsBūvmehānika ir praktiska mehānikas zinātnes daļa, kuras pētījumu objekti ir cieti deformējamiķermeľi un to sistēmas. Tās uzdevums ir prognozēt no šādiem objektiem veidotubūvkonstrukciju izturēšanos (deformēšanos un sabrukumu) ārējās slodzes, pašsvara,apkārtējās vides iedarbības un konstrukcijas materiāla īpašību izmaiľas rezultātā.Kaut arī būvmehānika nepārprotami ir deformējamu ķermeľu mehānika, tā bieţi izmantoarī uz teorētiskās mehānikas (materiāla punkta mehānikas, kuras pētījumu objektsir absolūti ciets ķermenis) principiem balstītus rezultātus. Šādi plaši pielietojamirezultāti ir ķermeľu līdzsvara nosacījumi, kuri iegūti izmantojot pieľēmumu, ka ķermenisir absolūti ciets (nosacījums, ka praktiski jebkurš ķermenis deformējas, netiekľemts vērā). Attiecībā uz piepūļu (spēku, momentu) līdzsvaru šāds pieľēmums praktiskinerada kļūdas, kuras būtu lielākas par aprēķinā pieļaujamām. Tādēļ arī praksē parastilieto šos vienkāršotos, toties ērtos vienādojumus. Tomēr jārēķinās ar to, ka virknē gadījumubezgalīgi cieta ķermeľa modelis nav izmantojams. Tā, piemēram, ļodzes gadījumājārēķinās ar reālu ķermeľa deformēto stāvokli un attiecīgie līdzsvara vienādojumijāsastāda tieši šādam stāvoklim.Pie teorētiskās mehānikas atziľām jāpieskaita secinājums, ka cietam ķermenim ir tikaisešas neatkarīgas kustības brīvības – trīs pārvietojumi telpisku koordinātu asu virzienosun trīs pagriezieni ap šīm asīm. Kustība rodas tikai tajā gadījumā, ja ir pielikti spēki vaimomenti un līdz ar to miera stāvoklis ir speciāls kustības gadījums, kad visu spēku projekcijusummas un visu spēku radīto momentu summas pret trim perpendikulārām asīmir vienādas ar nulli.Mehānikas daļu, kura pēta konstruktīvu elementu izturēšanos mehānisku iedarbību rezultātā,sauc par materiālu pretestību un šajā aspektā tā ir būvmehānikas sastāvdaļa, jorisina mehānikas uzdevumus atsevišķam būvkonstrukcijas elementam, piem., stienim.No prakses zinām, ka būvju struktūra ir daudz sareţģītāka un tā var sastāvēt no tādiemelementiem kā stienis (sija), plātne, čaula un trīsdimensionāls masīvs ķermenis. Klasiskābūvmehānika aprobeţojas ar noteikta tipa konstrukciju pētījumiem. Tās ir stieľusistēmas. Turpmāk izklāstītais attiecas tieši uz šī veida konstrukcijām.Būvmehānikas kā zinātnes nozares attīstība virzās divos principiālos virzienos:skaitlisko metoţu pilnveidošana un ESM pielietošana; aprēķina shēmu un izejas hipotēţu pilnveidošana.Būvmehānikas ietvaros tiek precizēti materiālu deformēšanās un sabrukuma modeļi,slogošanas nosacījumi, pieļaujamo slodţu lielumi, to iespējamās novirzes no uzdotajiemlielumiem, tiek izstrādātas optimizācijas metodes. Arvien ciešāka kļūst būvmehānikassaikne ar tādām praktiskās būvniecības nozarēm kā projektēšana, izgatavošanastehnoloģija, kā arī ar pielietojamo un skaitļošanas matemātiku, fiziku un konstrukcijuekonomiku.Būvmehānikas vai, precīzāk, būvju aprēķinu teorijas uzdevums ir nodrošināt konstruk-6

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZEStorus ar aprēķinu metodēm un izejas datiem drošu un ekonomisku būvju projektēšanai.Par drošām uzskatām nesošās konstrukcijas, kuras nav bīstamas ekspluatācijā. Tassasniedzams pareizi izvēloties konstrukcijās pielietojamos materiālus un tās elementuizmērus. Šādam uzdevumam nav viennozīmīga atrisinājuma. Konstrukcijas drošumuvar sasniegt daţādos atšķirīgos veidos. Tādēļ aktuāla ir racionālu konstrukciju izveidesproblēma. Jēdziens racionāls būvniecībā lielā mērā saistīts ar jēdzienu ekonomisks.Stimulēt būvkonstrukciju ekonomiskumu ir jaunu būvtehnoloģiju izstrādāšanas un ieviešanasuzdevums.Veicot būvju aprēķinus, plaši tiek lietotas principiāli atšķirīgas divu veidu kategorijas:iedarbe un pretestība.Iedarbes uz konstrukciju veido slodze (pašsvars un iekārtas), vēja spiediens, dinamiskāslodze no kustīgiem priekšmetiem, grunts sēšanās, temperatūras izmaiľa, materiālarukums. Būvkonstrukcijas pretestību nodrošina izturīga, nekustīga sistēma, kura spējīgapretoties visām šāda veida iedarbēm.Tātad būvmehānikai vajadzētu sastāvēt no divām daļām:1) iedarbju noteikšanas un 2) būvju pretestības nodrošināšanas šīm iedarbēm. Diemţēlpirmā daļa nav guvusi tādu attīstības pakāpi, lai to varētu atspoguļot mācību grāmatās.Praktiskajā darbībā inţenieri parasti rīkojas ar tuvinātiem normatīviem datiem, ko nosakadokumenti par slodzēm un iedarbēm. Toties būvju pretestības aprēķiniem un analīzeiveltītie darbi veido plašu tehniskās literatūras klāstu ar tendenci nepārtraukti papildināties,pilnveidojoties jaunu koncepciju apguves virzienā.1.2. Būvmehānikas uzdevumu klasifikācijaJebkurā inţenierdarinājumā (kā kustīgā, tā nekustīgā) tiek izmantoti nesoši konstrukcijuelementi, kuri veido tā saucamo „spēka karkasu‖ un uzľem konstrukcijai pieliktāsslodzes un iedarbes. Konstrukcijas un to nesošos elementus jāprojektē tā, lai tie būtupietiekami izturīgi, t.i., lai tie būtu spējīgi uzľemt visas iespējamās slodzes un iedarbespietiekami ilgā laika periodā. Tātad konstrukcijai jābūt stiprai un ilgizturīgai. Šo prasībunodrošināšanai jāveic atbilstoši aprēķini, uz kuru rezultāta pamata tiek veikta ilgizturīgasbūves projektēšana.Pirmā veida būvmehānikas uzdevumus veido konstrukciju stiprības aprēķini. Tesvarīgi ľemt vērā, ka ar stiprības zudumu tiek apzīmēts plašāks jēdziens par vārda burtiskonozīmi – lūzums, sabrukums. Šis jēdziens ietver sevī arī plastisko (paliekošo deformāciju)veidošanos, kuras nezūd pat atslogojot konstrukciju. Runājot par pietiekamistipru konstrukciju, uzskatām, ka stiprība ir nodrošināta ne tikai konkrētām slodţu vērtībām,bet arī to daļēji paaugstinātām vērtībām. Tas nozīmē, ka konstrukcijai ir zināmastiprības rezerve.Prakse rāda, ka daudzos gadījumos pietiekami stipras konstrukcijas tomēr nav piemērotasekspluatācijai to atsevišķo posmu pārmērīgi lielas deformējamības dēļ. Tādas situācijasiespējamas vērtľu pārsegumos to lielo laidumu dēļ. Šādos gadījumos sakām,ka konstrukcija nav pietiekami stinga. Ar jēdzienu stingums saprotam konstrukcijaselementa spēju pretoties tā deformēšanai.Otrā veida būvmehānikas uzdevumus veido konstrukciju stinguma aprēķini.7

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESŠais konstrukciju aprēķinos jānosaka tādi konkrēto konstrukcijas elementu ģeometriskieizmēri, kuri nodrošina to, lai plānotajām slodzēm atbilstošie pārvietojumi nepārsniegtupieļaujamos. Nepietiekami stingās konstrukcijās var rasties svārstības, kurasapgrūtina vai arī dara neiespējamu to ekspluatāciju.Trešais nesošo konstrukciju nestspējas zuduma cēlonis ir spiestu, nepietiekami stingustieľu izļodzīšanās. Relatīvi gari un tievi stieľi pie noteikta spiedes spēka P kr var pēkšľiizliekties, tādā veidā zaudējot savu sākotnējo taisno formu. Šai gadījumā sakām, kastienis zaudējis noturību. Šādā situācijā stienis paralēli spiedes spēka iedarbībai tiekpakļauts tā saucamajai garenliecei. Pie šāda kvalitatīvi atšķirīga spiesta stieľa deformēšanāsrakstura, konstrukcija zaudē spēju uzľemt slodzi – tā vai nu sabrūk vai arī tajāattīstās nepieļaujami lieli pārvietojumi (izlieces). Līdz ar to varam secināt, ka, projektējotnesošas konstrukcijas, nepieciešams veikt aprēķinus, lai garantētu konstrukcijaselementu sākotnējās līdzsvara formas (piemēram, taisnas) noturību.Rezumējot iepriekš izklāstīto, varam secināt, ka būvmehānikas pamatuzdevumi irkonstrukciju stiprības, stinguma un noturības aprēķini.Ľemot vērā būvkonstrukciju specifiku un būvniecības praksē pielietojamo būvmateriālumehānisko īpašību daudzveidību, būvmehānikas uzdevumi bieţi vien tiek grupētiatbilstoši kādai pētījumu priekšplānā izvirzītai īpatnībai.Bieţi vien praktiskos aprēķinus iedala vienasīgos, plakanos un telpiskos uzdevumos.Parasti pēdējos cenšas sadalīt plakanajos. Galvenās būvmehānikas metodes un teorēmasizklāstītas plakanu sistēmu gadījumiem. To vispārinājums uz telpiskām sistēmāmparasti nerada principiālas grūtības, bet šo vispārinājumu gadījumā veidojas visai sareţģītivienādojumi un formulas.Par principiālu uzskatāms iedalījums lineārā un nelineārā būvmehānikā. Nelinearitātevar būt fizikāla un ģeometriska. Ģeometriskā nelinearitāte rodas lielu pārvietojumu undeformāciju gadījumos. Tas praksē sastopams reti. Fizikālā nelinearitāte saistīta ar nelineāruatbilstību starp slodzi un tās izraisītajiem pārvietojumiem pie daţādiem slogojumalīmeľiem. Fizikālā nelinearitāte lielākā vai mazākā mērā ir raksturīga visām konstrukcijām.Protams, bieţi ar zināmu precizitātes pielaidi pie maziem spriegumiem nelineārāssakarības var aizstāt ar lineārām, tādā veidā vienkāršojot aprēķinus un neradotbūtiskas rezultātu neprecizitātes..Būvmehānikas aprēķinu praksē izšķir statiskus uzdevumus, kuros laiks kā parametrsnetiek ľemts vērā, un dinamiskus, kuros tiek ľemtas vērā konstrukcijas inerces īpašībasun tiek operēts ar fizikālo lielumu laika atvasinājumiem. Laika faktors ir neatľemamasastāvdaļa arī uzdevumos, kuri attiecas uz materiāliem ar viskozām īpašībām.Rezumējot var apgalvot, ka pastāv nekustīgu sistēmu būvmehānika un kustīgu sistēmubūvmehānika, kurā ietilpst būvju dinamika un šļūdes teorija.Arvien intensīvāk tiek pētītas sistēmas ar gadījuma rakstura parametriem. Tie ir lielumi,kuru vērtība ir pareiza tikai ar zināmu varbūtību. Piemēram, maksimālā sniega slodzenoteiktā laika periodā ir varbūtīgs lielums, jo nevaram būt pārliecināti, ka šai laikaperiodā netiks pārsniegta iepriekš uzdotā vērtība.Būvmehāniku var sadalīt arī nodaļās pēc konstrukciju veidiem, t.i. stieľu konstrukcijas(kopnes, rāmji, sijas, loki), plātnes un to sistēmas, čaulas, vanšu sistēmas, elastīgiun neelastīgi pamati, membrānas, lokanas saites, u.t.t.8

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESKlasiskais būvmehānikas kurss attiecas uz stieľu konstrukcijām tajās pielietoto materiālulineārās deformēšanās robeţās.1.3. SlodzesEkspluatācijas apstākļos būves bieţi vien uzľem daţāda rakstura slodzes. Tās var būtnemainīgas vai laikā mainīgas, koncentrētas vai izkliedētas, statiskas vai dinamiskas.Atšķirīgās slodzes būvē izraisa arī atšķirīgas iedarbes.att. 1.1P a s t ā vī g ā s s l o d zes veido būves un tās atsevišķu daļu pašsvars, kā arī tādas slodzes,kas laikā nemaina savu atrašanās vietu un lielumu. Tā, piemēram, būves kopľveidapārsegumi un to seguma smaguma spēks veido pastāvīgo slodzi, bet tilta kopnēsšādu slodzi veido kopnes, braucamās daļas seguma, margu un slieţu pašsvars.att. 1.2L a i kā ma i n ī g u s l o d z i veido cilvēku, kustīgu iekārtu, preču pašsvars, kā arī vējaun sniega slodzes. Dzelzceļa tiltu gadījumā mainīgā slodze ir vilciena pašsvars, vējš,bremzēšanas spēks. Laikā mainīgu slodzi rada uz konstrukcijas elementa izvietots dzinējs(att. 1.2a). Izteikti laikā mainīgs raksturs ir zemestrīces izraisītām iedarbībām (att.1.2b).Pastāvīgo slodzi parasti sauc arī par nekustīgu slodzi, bet vilciena svars, tā bremzēšanasspēks ir laikā mainīgas slodzes.I z k l i e d ē t ā s l o d z e (att. 1.1b,c,d,e) darbojas uz kādu būveslaukuma vai garuma vienību pastāvīgi un var būt vienmērīgi vai arīnevienmērīgi izkliedēta. To mēra N/m 2 vai N/m.Vienmērīgi vai arī nevienmērīgi izkliedētas slodzes piemērs ir telpāsapulcējušos cilvēku izraisīta slodze uz starpstāvu pārseguma paneļiem.Sāniskais vēja spiediens (att. 1.3) uz konstrukcijas sienu arīrada nevienmērīgi izkliedētu slodzi.att. 1.3K o n c e n t r ē t ā s l o d ze ir atsevišķi spēki (tos mēra ľūtonos), kuripielikti konkrētos būves punktos. Šādas slodzes ir vilciena riteľu izraisītais spiediens9

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESuz sliedēm vai autofurgona riteľu spiediens un to bremzēšanas spēki (att. 1.4c). Patiesībāarī šīs slodzes tiek pieliktas zināmam atbalsta laukumam, tomēr tā lielums parastiir relatīvi neliels un var uzskatīt, ka šāda slodze koncentrēta vienā punktā, piemēram,attiecīgā laukuma smaguma centrā (att. 1.1a).1.4. Konstrukciju balsti un to veidi10Par balstiem sauc konstruktīvus veidojumus, kuri savieno būvi ar nekustīgiem pamatiemun pilnīgi vai daļēji ierobeţo tās kustību. Būves un balstu saskares vietā rodas balstureakcijas. Attiecībā pret būvi balstu reakcijas ir pasīvi ārējie spēki, kuri nevar mainītbūves stāvokli. Balstu reakcijas ir vektoriāli lielumi un tos raksturo pielikšanaspunkts, reakcijas virziens un lielums. Reakcijulielums ir atkarīgs no ārējās slodzes,t.i. ārējiem aktīvajiem spēkiem, bet pielikšanaspunkts un reakcijas virziens atkarīgino balstu izvietojuma un veida.Plakanās sistēmās izmanto trīs veidu balstus.P i r mā v e i d a b a l s t s attēlots att. 1.5a.Metāla konstrukcijās tas parasti tiek realizētskā bultveida savienojums starp divāmsavstarpēji balansējošām daļām. Savienojumaapakšējā daļa pa atbalsta plakni varpārvietoties virzes kustībā, kuru realizēveltľu sistēma. Betona vai koka konstrukcijubalstus veido ar konstrukciju nesavie-att. 1.5nots paliktnis.Šī veida balstiem ir divas brīvības pakāpes. Balsts neierobeţo būves horizontālo pārvietojumuun pagriezienu ap cilindriskā veltľa centru, bet ierobeţo vertikālo pārvietoatt.1.4Mehānikas uzdevumu risinājumos ļoti svarīgi novērtētslodzes izmaiľas ātrumu. Praktiski visas slodzesto pielikšanas brīdī mainās no nulles līdz savai galīgajaivērtībai un efekts būs visai atšķirīgs vai slodze(vēlāk saukta nemainīgā) tiek pielikta lēni vai straujimainot tās lielumu (galējais stāvoklis - tā tiek uzmesta).Pirmā veida slodzes sauc par s t a t i s kā m ,bet otrās par d i n a miskām. Viennozīmīgas robeţasstarp šiem jēdzieniem nav. Par kritēriju šādaislodţu rakstura sadalīšanai tiek izmantots nosacījumspar to, vai slodzes izmaiľas rezultātā radušiesinerces spēki (tādi rodas kustīgās sistēmās) ir vērāľemami, vai arī to iedarbība ir nebūtiska un tie konstrukcijāpapildus efektus neizraisa. Dinamisku slodţupiemēri ir vēja brāzmas, viļľu triecieni, vibrējošiagregāti uz atsevišķiem būves elementiem.

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESjumu. Ierobeţotā pārvietojuma virzienā balstā rodas spēks - balsta reakcija perpendikulāriatbalsta plaknei. Šāda veida balstu sauc par kustīgu locīklu. Būvju shēmās kustīgolocīklu attēlo stieľa, kura galos ir locīklas (att. 1.5a) vai uz veltľiem novietota trīsstūraveidā.Otr ā v e i d a b a l s t s (att. 1.5b) konstruktīvi atšķiras no pirmā veida ar to, ka tam navvirzes kustību nodrošinošo gultľu, bet betona gadījumā konstrukcijas virzes kustībuierobeţo tapas veida elements. Līdz ar to šī veida balstam ir tikai viena brīvības pakāpe,t.i. pagrieziens ap veltľa asi vai nekustīgā savienojuma punktu. Šādu balstu saucpar nekustīgu locīklu. Reakcija šādā balstā ir spēks, kurš iet caur locīklas centru, bet tāvirziens var būt patvaļīgs. Parasti šo reakciju sadala divās komponentēs – vertikālajāun horizontālajā. Līdz ar to varam secināt, ka nekustīgajā locīklā veidojas divas neatkarīgasbalstu reakcijas. Shematiski šādu balstu veidu attēlo ar diviem stieľiem, kuru galosir ideālas locīklas. Viena no locīklām ir kopēja abiem stieľiem. Stieľu orientācijuvar izvēlēties patvaļīgi. Bieţāk izmantojamās locīklu shēmas parādītas att. 1.5b.T r e š ā v e i d a b a l s t s ir iespīlējums, t.i., nekustīgs balsts. Šāda balsta reakciju nosakatrīs parametri, piem., spēka vērtība, kurš iet caur balstu, tā virziens un momentavērtība balstā. Sadalot spēku komponentēs par trijām neatkarīgām reakcijām varampieľemt horizontālo, vertikālo reakciju un momentu balstā. Shematiski iespīlējumu varattēlot att. 1.5c parādītos veidos. Otrā gadījumā, lai varētu iespīlējumu uzskatīt par absolūtistingu, attālumam 0 vajag būt ļoti mazam, vai stienim ar garumu 0 jābūt bezgalīgistingram.Praksē sastopamas arī iepriekš minēto balstu modifikācijas. Tādi, piemēram, ir balsti,kuri pieļauj mezgla horizontālu pārvietošanos, bet izslēdz tā pagriešanos. Virknē gadījumureālo balstu īpatnība ir atsevišķu to saišu padevība. Tādā gadījumā šais saitēs iriespējami pārvietojumi, kuru lielums ir atkarīgs no piepūles vērtības attiecīgās saitesvirzienā. Balsta padevīgumu raksturo ar tā padevīguma koeficientu.1.5. Stieľu sistēmas, to elementi un aprēķinu shēmasJēbkuras konstrukcijas aprēķins sākas ar aprēķina shēmas izvēli. Tiek ievesta virknetuvinājumu attiecībā uz slodţu iedarbību, balstu veidiem, elementiem, no kuriem sastāvkonstrukcija un to savienojumiem, u.t.t.att. 1.6 att. 1.7Šiem vienkāršojumiem jābūt tādiem, lai aprēķina shēma ľemtu vērā būtiskākos fakto-11

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESrus, kas iespaido konstrukcijas darbu un atmestu mazāk būtiskos. Piemēram, tilta krānanesošo konstrukciju ar zināmu precizitāti var aprēķināt kā brīvi balstītu siju (att. 1.6).Veicot kopnes aprēķinu, stingie mezgli tiek aizstāti ar locīklām un tiek pieľemts, kavisa slodze ir pielikta mezglos (att. 1.7). Iegūtā kopnes aprēķina shēma ir statiski noteicama,atšķirībā no reālās konstrukcijas.Noslogotā stāvoklī vienai un tai pašai konstrukcijai var tikt piemērotas vairākas aprēķinushēmas. Katrai no tām parasti atbilst cita aprēķinu precizitāte. Bieţi konstrukcijasshēmu sauc par sistēmu. Aprēķinu shēma vai sistēma sastāv no nosacītiem elementiem:stieľiem, plātnēm, saitēm un nosacīti attēlotas slodzes vai citām iedarbēm.Par stieni (att. 1.8) būvmehānikā tiek uzskatīts cietsķermenis, kura divi izmēri (biezums un platums) irbūtiski mazāki par trešo izmēru (garumu). Stieľi varbūt taisni un izliekti, ar nemainīgu vai mainīgušķērsgriezumu. Stieľu pamatuzdevums ir uzľemt assspēkus (stiepes vai spiedes), kā arī lieces un vērpesmomentus. Stieľu speciāli gadījumi ir lokanas auklas,kuras uzľem tikai ass stiepi, neradot pretestībuatt. 1.8spiedei un liecei. Ar atsevišķa stieľa izturēšanās analīzislogotā stāvoklī nodarbojas tā mehānikas nodaļa, kuru sauc par materiālu pretestību.Tieši no stieľiem sastāv lielākās būvkonstrukciju daļas aprēķina shēmas: kopnes,loki, rāmji, telpiskās tīklveida konstrukcijas, u.c.Stieľus veidojošais materiāls bieţi vien tiek stiepts vai spiests stieľa ass virzienā. Vērptosstieľos realizējas materiāla bīde, bet liektu stieľu materiāls pakļauts saliktam slogojumaveidam – vienlaicīgai stiepei, spiedei un bīdei.Stieľa fizikāli – mehāniskā modeļa īpatnība ir tā, ka galvenie aprēķinu vienādojumitiek sastādīti attiecībā pret vienu neatkarīgo mainīgo – koordināti stieľa ass virzienā z.To risināšana veido viendimensionālus uzdevumus.Šīs grāmatas ietvaros tiek lietota tāda koordinātu asu orientācija, ka z ass ir vērsta stieľaass virzienā, bet x un y asis atrodas stieľa šķērsgriezuma plaknē. Stieľu ģeometrijuraksturo trīs tipiski parametri – stieľa garums l , stieľa platums b un stieľa augstums h.Būvniecībā vērojama tendence palielināt to konstrukcijunozīmi, kurās būtiska loma ir plātnēm (att. 1.9). Plātnes irķermeľi, kuru viens izmērs (biezums δ) būtiski mazāks pardiviem pārējiem. Izliektas plātnes sauc par čaulām. Plātnespiepūles uzľem divos virzienos un tas daudzos gadījumosir ļoti izdevīgi un ļauj taupīt būvmateriālus. Plātľu un čaulumateriāls atrodas daudz sareţģītākos slogojuma apstākļoskā stieľu gadījumā. Tā, piemēram, plātnes gadījumā materiālsvienlaicīgi tiek slogots divos savstarpēji perpendikulārosvirzienos. Plātľu un čaulu aprēķini veido divdimensionālusuzdevumus. Plātľu un no tām sastāvošu sistēmuatt. 1.9aprēķini ir ievērojami sareţģītāki kā stieľu sistēmu aprēķini.Analogi masīvu ķermeľu (visi trīs izmēri ar vienu kārtu) mehānikā izmanto trīsdimensionālusvienādojumus. Būvju pamati, krastu nostiprinājumi, nelīdzenu virsmu12

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESatbalsta sieniľas veido trīsdimensionālus darinājumus ar vērā ľemamiem gabarītiemvisos trijos savstarpēji perpendikulāros virzienos (att. 1.10).Izklāstāmā kursa ietvaros aprobeţosimies ar stieľu sistēmuīpašību izpēti un to deformativitātes un stiprībasnoteikšanu statiska slogojuma gadījumos.Atkarībā no stieľu lomas konstrukcijā un to deformēšanāsveida, tiem tiek piekārtoti specifiski nosaukumi.Stieľus, kuri tiek liekti sauc par sijām. Vertikāli orientētusstieľus kopnēs sauc par statiem, bet slīpus stieľusatt. 1.10par atgāžľiem. Konstrukciju, kuru veido savā starpāsavienoti liekti stieľi, sauc par rāmi.1.6. SpriegumiStarp nenoslogota cieta ķermeľa daļiľām darbojas spēki, kuri nodrošina ķermeľa formasnemainību. Jebkurā ķermeľa šķēlumā šie elementārie spēki ir savstarpēji līdzsvarotiun summā dod nulli. Ķermenim ārēji pieliktās slodzes rezultātā starp ķermeľa daļiľāmnotiek to attālumu izmaiľa, t.i. ķermenis deformējas.Būvmehānikā tiek lietots jēdziens iekšējās piepūles, ar ko saprotam atsevišķo ķermeľudaļu savstarpējās iedarbības spēkus un momentus, kuri rodas ārējā slogojuma rezultātā.Iekšējās piepūles materiālā no vienas ķermeľa daļas uz citu tiek nodotas caur šīs daļasatdalošo virsmu. Iekšējās piepūles šķēlumā sadalās nepārtraukti pa visu šķēlumu, piekam šis sadalījums var būt kā vienmērīgs, tā arī nevienmērīgs.Uz katru mazu šķēluma laukumiľu, iekšējās piepūles raksturojas ar iekšējo spēku intensitātesvektora moduļa vērtību un virzienu.Lai noteiktu iekšējo spēku intensitātes mēru deformētā ķermenī, izdarām ķermeľa šķēlumuar patvaļīgu plakni, kuras orientāciju nosaka tās normāles n virziens telpā. Šķēlumaplaknē patvaļīga punkta K apkārtnē izvēlamies laukumiľu A (att. 1.11). Visuiekšējo spēku, kuri darbojas uz šo laukumiľu, kopspēku apzīmējam ar vektoru R .Dalot vektoraatt. 1.11Rmoduli ar konkrētu laukumiľa A vērtību, nosakām iekšējo spēkuvidējo intensitāti uz šo laukumiľu:p vidR .Akura virziens sakrīt ar vidējās intensitātes vektoraVektoram pvidir kopspēka vektora R virziens, bet atšķirīgsmodulis. Lai raksturotu iekšējās piepūles tieši punktā K,nosakām robeţu, uz kuru tiecas vidējā intensitāte, savelkotlaukumiľu A ap punktu K. Tā rezultātā iegūstam vektoruRp limA0 pvid limA0,Apvidvirzienu.13

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESIekšējo spēku intensitātes vektoru punktā p sauc par spriegumu.Pēc sava rakstura spriegums p ir virsmas spēks uz ķermeľa daļas atdalošās virsmas.Tādēļ arī spriegumu tāpat kā spēku intensitātes mērvienības ir spēka un virsmas laukumamērvienību dalījums. Sprieguma mērvienība ir Pa (paskāls) = N/m 2 ; bet tā varbūt arī kG/cm 2 vai kG/mm 2 , u.c.Jāatceras, ka1PaNm0,102kG10 cmkGcmkGcmkG .mm557 1 11,021010vai 1Pa102 4 22223Praksē parasti lieto mērvienības lielākas par Pa: kilopaskālus 1KPa 10 Pa , megapaskālus1MPa 10 Pa , gigapaskālus 1GPa 10 Pa69.Tā kā vispārīgā gadījumā pilnais spriegums p parasti nav perpendikulārs pret šķēlumupatvaļīgā virsmas punktā, tad šo spriegumu plakana spriegumu stāvokļa gadījumā varsadalīt divās komponentēs:1. komponente, kura ir perpendikulāra šķēluma virsmai. Šī komponente vērsta plaknesnormāles virzienā. Tās moduli apzīmē ar un sauc par normālo spriegumu;2. komponente, kura darbojas pieskares plaknē. Tās moduli apzīmē ar un to sauc parbīdes spriegumu.Šo komponenšu moduļus (skaitliskās vērtības) nosaka sakarības (att. 1.11) pcos, psin.Tātad pastāv sakarība2 2p .Telpiska spriegumu stāvokļa gadījumā pilnais spriegums p var tikt sadalīts sešās neatkarīgāskomponentēs. Pilnā sprieguma komponentes arī ir vektori un turpmākajā izklāstātās ievērosim nelietojot speciālu vektora apzīmējumu.Sprieguma jēdziens ir fundamentāls visai deformējamuķermeľu mehānikai.Spriegums ir to iekšējo spēku mērs, kuri rodas konstrukcijasmateriālā, ja šo konstrukciju deformē ārējiespēki. Spriegumu, kuru sasniedzot notiek materiālasabrukšana, sauc par stiprības robežu. To katramkonkrētam materiālam nosaka eksperimentāli.Lai novērstu būvkonstrukciju sagrūšanu, pieļaujamitikai tādi spriegumi, kuru lielums ir daļa no bīstamāsprieguma, t.i., stiprības robeţas. Šādu spriegumu saucpar pieļaujamo, kura lielumam jābūt tādam, lai konstrukcijaselementi neiegūtu paliekošas deformācijas.att. 1.12Veicot att. 1.12 parādītu eksperimentu (centriski un nesimetriski slogotas plāksnītesstiepi) var konstatēt, ka pirmajā gadījumā plāksnīte iztur lielāku stiepes spēku P 1 , kāotrajā gadījumā P 2 . Tas izskaidrojams ar otrā slogojuma gadījumā nevienmērīgu sprie-14

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESgumu sadalījumu plātnītes šķēlumos. Šis piemērs rāda, ka, lai prognozētu slodzi, piekuras pārtrūks plāksnīte, ir jāzina spriegumu sadalījums tās šķēlumos.Lai raksturotu telpisku spriegumstāvokli punkta K apkārtnē, izveidojam bezgala mazušo punktu aptverošu paralelepipedu ar malu garumiemdx, dy un dz. Pilnos spriegumus pret katru no paralelepipedaplaknēm p x , p y un p z sadalām komponentēs.Uz katru skaldni darbojas viens normālspriegums undivi bīdes spriegumi (att. 1.13). Tātad uz trim savstarpējiperpendikulārām skaldnēm veidojas 9 spriegumukomponentes, kuras apvienojot vienā matricā, iegūstamspriegumu tenzoruT sprx xyxzyxyyzzxzy .z Varam ievērot, ka bīdes spriegumiem pirmais indekss norāda plakni (tās normāli), kurādarbojas spriegums, bet otrais tā virzienu. Jāatzīmē, ka bīdes spriegumi ar savstarpējisamainītiem indeksiem ir vienādi un neatkarīgas spriegumu komponentes irsešas.att. 1.13ijji1.7. Pārvietojumi un deformācijasNo pieliktās slodzes ķermenis deformējas, t.i., izmaināstā sākotnējie izmēri un forma. Jebkurš ķermeľapunkts K ar koordinātēm (x, y, z) deformēšanāsrezultātā ieľem citu stāvokli K 1 ar koordinātēmatt. 1.14x+x, y +y, z +z.Jāľem vērā, ka ne vienmēr punkta pārvietojums saistīts ar materiāla deformēšanos. Tā,piemēram, konsolsijas (att. 1.14) brīvā gala vertikālais pārvietojums nav saistīts ar materiāladeformācijām šai stieľa daļā, bet gan ar šķēlumupagriešanos materiāla deformāciju dēļ (sijasizliekšanās slogotajā daļā) citā sijas posmā. Materiāladeformēšanās kvantitatīvais mērs patvaļīgā punktāir relatīvā deformācija, kuru nosaka bezgala mazaizmēra nogrieţľa pagarinājuma (saīsinājuma) attiecībapret šī nogrieţľa sākotnējo garumu. Aptverotizvēlēto materiāla punktu K ar bezgala maza izmēraparalelepipedu (tā malu garumi dx, dy, dz), slodzesiedarbības rezultātā tā izmēri izmainās par lielumiem(dx), (dy) un (dz) (att. 1.15). Attiecībasdxdydzatt. 1.15x ; y ; zdxdy dz15

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESnosaka relatīvās lineārās materiāla deformācijas punktā. Šo deformāciju lielums ir atkarīgsno tās izraisošo faktoru (slodzes, temperatūras, u.c.) lieluma, tomēr reāliembūvmateriāliem to kārta ir 10 -3 .Sākotnēji uzdota tilpuma, piemēram, paralelepipeda formas maiľu raksturo leľķiskāsdeformācijas (bīdes leľķi), t.i. leľķi, par kuriem izmainās sākotnēji taisnie leľķi. Šādaleľķu izmaiľa iespējama trijās savstarpēji perpendikularās plaknēs un tos attiecīgi apzīmēar xy , xz , yz . Indeksi norāda, kurā plaknē notikusi formas maiľa.16Tā, piemēram, att. 1.16 parādīts bīdes leľķis xz . Tonosaka pārvietojuma x attiecība pret malas garumudz, jox tg xz xz.dzNosacījums tg xz ≈ xz ir spēkā gadījumos, ja xz irmazs lielums. Tā kārta līdzīgi lineāro deformācijukārtai ir 10 -3 vai pat 10 -4 .att. 1.16Tātad pilnu deformāciju raksturojumu materiāla punktānosaka sešas neatkarīgas deformāciju komponentes,kuras izvietojot matricu veidā, iegūstam deformāciju tenzoru (bīdes deformācijasdalītas ar 2, lai saglabātu deformāciju tenzora analoģiju ar spriegumu tenzoru): xy xzx 2 2 xy yz T def y 2 2 xz yz z 2 2 .Būvkonstrukciju deformatīvās īpašības būtiski atkarīgas no izmantoto būvmateriāludeformatīvajām īpašībām, t.i. to deformēšanās likuma (ar jēdzienu deformēšanās likumssapratīsim sakarību starp pielikto slodzi un tās izraisīto pārvietojumu).Angļu fiziķis Roberts Huks jau 1676. gadā pamatojoties uz rezultātiem, kas gūti veicoteksperimentālus pētījumus ar metāla stiepli un pulksteľu atsperēm, izdarīja lakoniskusecinājumu – „kāds ir pagarinājums, tāds ir spēks‖ (Ut tensio sic vis). Kaut arī šim apgalvojumambija vairāk atziľas nekā praktiskā vērtība, jo vēl nepastāvēja jēdzienispriegums un deformācija, tomēr tika likti materiālu deformāciju teorijas pirmie pamati.Huka izvirzīto apgalvojumu par pārvietojumu un spēku kopsakarību izsaka formula l k P ,kurl- stieľa ar garumu l absolūtais pagarinājums, kuru mēra garuma mērvienībās,t.i.: m, cm, vai mm;P – slodze, kuru mēra spēka mērvienībās, t.i. N, kG u.c. (jāatceras, ka1N0,102 kG). Bieţi vien slodzes mērvienību palielina lietojot apzīmējumus

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZES1kN= 10 3 N, 1MN=10 6 N, 1GN=10 9 N, u.c.;k – proporcionalitātes koeficients.Eksperimentāli konstatētas arī šādas sakarības: pagarinājums ir tieši proporcionāls sākuma garumam l ; pagarinājums ir apgriezti proporcionāls šķērsgriezuma laukumam A.Uz šī pamata iepriekšējā sakarība uzrakstāma sekojošā veidā:kurPl l ,A - koeficients.Ja P = 1, l =1, A = 1, tadl .Jungs (1807.g.) sāka koeficienta vietā lietot tā apgriezto lielumu E=1/ un tādēļ tasbieţi vien tiek saukts par Junga (vai elastības) moduli. Tādā gadījumā slogota ķermeľalineāro pagarinājumu (vai saīsinājumu) nosaka sakarība:Pll1 P l , vai arī . (1.1)EAl E APēdējā sakarība satur divus relatīvus lielumus – pagarinājuma attiecību pret sākotnējogarumu, kas ir relatīvā deformācija, un slodzes attiecību pret laukumu (slodzi uz laukumavienību), kas nosaka spriegumu. Tātad sakarībai (1.1) atbilst izteiksmes E , vai E .Šādā formā visbieţāk tiek lietots lineāri deformējamu ķermeľu deformēšanās likums(Huka likums). Saskaľā ar šo pierakstu, varam noskaidrot elastības moduļa dimensiju.Tā ir Pa (N/m 2 ), tāda pati kā sprieguma dimensija, jo relatīvā deformācija ir bezdimensionālslielums.Stieni stiepjot, tas stiepes virzienā (garenvirzienā) pagarinās, bet šķērsvirzienā sašaurinās.Tātad rodas šķērsdeformācijas. Šķērsdeformāciju attiecība ar mīnus zīmi pret garendeformācijuir materiālam raksturīgs parametrs. Tā skaitlisko vērtību katram materiālamatsevišķi nosaka eksperimentāli un sauc par Puasona koeficientu (μ). Šī koeficientavērtība var mainīties intervālā no 0 līdz 0,5. Vērtība μ = 0 attiecas uz materiālu,kurš slogots kādā no virzieniem deformējas vienīgi šajā virzienā un nedeformējasšķērsvirzienos. Praktiski tāds materiāls ir korķis. Otras galējības piemērs ir kaučuks,kuram μ= 0,47.Elastības modulis E un Puasona koeficients μ pilnībā raksturo elastīga izotropa materiāladeformatīvās īpašības. Šo koeficientu vērtības daţādiem materiāliem apkopotas tab. 1.Tabulā doti elastības moduļu diapazoni vairākām kompozīto materiālu grupām. Jāľemvērā, ka šie materiāli ir tipiski anizotropu materiālu piemēri, jo parasti to mehāniskāsīpašības daţādos virzienos ir būtiski atšķirīgas. Pie tam jāľem vērā, ka kompozīto materiālumehāniskās īpašības ir būtiski atkarīgas kā no materiāla struktūras (to iekšējāsģeometrijas), tā arī no materiālu veidojošo komponenšu mehāniskajām un kvantitatīvajāmīpašībām. Pie augsti anizotropiem materiāliem pieskaitāmi bora un oglekļa šķiedrukompozīti. To deformatīvās īpašības šķiedru un tām perpendikulārajos virzienos var17

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESatšķirties pat 100 reizes. Šāda situācija arī nodrošina vienu no kompozīto materiālusvarīgākajām īpašībām – iespēju veidot materiālu ar konkrētajos ekspluatācijas apstākļosracionālu struktūru un līdz ar to optimālām mehāniskajām īpašībām. Lielā mērā šīsīpašības var mainīt mainot šķiedru izvietojuma virzienu daţādos materiāla slāľos.Tabula 1Materiāls18Materiālu deformatīvās konstantesElastības modulis, EGPa 10 6 kG/cm 2Puasonakoeficients, μDimants 1000 10Bors 441 4,42Tērauds 185 – 216 1,9 – 2,2 0,24 – 0,33Oglekļaplasti 70 – 200 0,7 – 2 0,05 – 0,4Bora/epoksīda kompozīti 80 – 160 0,8 – 1,6Kvarca stikls 94 0.95Sodas stikls 69 0,7 0,25Granīts 62 0,62Čuguns 78 – 147 0,8 – 1,6 0,23 – 0,27Alumīnijs 69 – 71 0,7 – 0,72 0,32 – 0,36Koks - šķiedru virzienā 8,8 – 15,4 0,09 – 0,16šķērsām šķiedrām 0,4 – 1,0 0,004 – 0,01Ķieģeļu mūris 2,45 – 2,95 0,025 – 0,03Betons, cements 30 - 50 0,3 – 0,5 0,08 – 0,18Vienvirziena (stikla/epoksīda)kompozīti:šķiedru virzienāšķiedrām transversālā vizienā35 – 4510 – 130,35 – 0,460,1 – 0,130,32 – 0,360,1 – 0,14Stiklaplasts (daudzvirzienu) 7 – 45 0,07 – 0,46 0,08 – 0,35Poliēsteri 1,8 – 3,5 0, 19 – 0,036Neilons 2 – 4 0,02 – 0,04Epoksīdi 2,6 – 3 0,026 – 0,03Polipropilēns 0,9 0,009Polietilēni:augsta blīvumazema blīvuma0,70,20,0070,002Gumijas 0,01 – 0,1 0,0001 – 0,001Putuplasti 0.001 – 0,01 10 -5 – 10 -4Var pierādīt, ka slogotam stienim deformēšanās rezultātā tilpums mainās atbilstoši sakarībai:kurV V 1 1 2 ,1 0V 1 – materiāla tilpums pēc deformēšanās;V 0 – sākotnējais tilpums; - garendeformācija.

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESTilpuma relatīvo pieaugumu raksturo sakarībaV V0K 1 1 2.V0Novērojumi rāda, ka izotropa materiāla gadījumā stiepta stieľa tilpums nesamazinās.Tātad K nevar būt negatīvs. Tas nozīmē, ka 1 - 2μ >= 0 un tātad μ

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESŠo nepilnību novērš aprēķinu metode pēc r o b e ţ s t ā v o k ļ a . Būves robeţstāvoklis irtāds stāvoklis pie kura būve zaudē pretestību ārējām iedarbēm vai arī nonāk stāvoklī,kurš nav pieļaujams tās tālākai ekspluatācijai.Robeţstāvokļi iedalāmi divās grupās:20p i r mā gr u p a - nestspējas zudums; o t r ā gr u p a - izsmeltas normālas ekspluatācijas iespējas.Pie p i r mās g r u p a s r o b e ţstāvokļ a pieder: vispārējs formas noturības zudums;lokāls noturības zudums; trausls, viskozs, noguruma vai cita veida sabrukums; savstarpējaspiepūļu un nelabvēlīgas apkārtējās vides iedarbes izraisīts sabrukums; kvalitatīvakonfigurācijas izmaiľa; rezonanses svārstības; stāvokļi, kuros nepieciešams pārtrauktbūves ekspluatāciju materiāla tecēšanas vai šļūdes, savienojumu nobīdes vai būtiskasplaisu atvēršanās dēļ.Pie r o b e ţ s t ā vo k ļ a o t r ā s gr u p a s pieskaitāmi stāvokļi, kuros ir apgrūtināta būvesvai tās pamatu normāla ekspluatācija sakarā ar nepieļaujami lieliem pārvietojumiem(izlieces, balstu sēšanās), svārstībām, plaisām, u.c.Aprēķinam pēc robeţstāvokļa jāgarantē būve pret jebkura robeţstāvokļa iestāšanos.Būvei vispirms jāapmierina nosacījumi, ko dod aprēķini pēc pirmā robeţstāvokļa, betpēc tam (atkarībā no būves tipa) pēc otrā. Tā, piemēram, pārsegumi, kuru liela izliecebojās apmetumu vai cita veida apdari, jāpārbauda uz otro robeţstāvokli.1.9. Stieľu sistēmu mehānikā izmantojamās hipotēzesBūvkonstrukciju elementi tiek izgatavoti no visai daţādiem materiāliem – metāliem,betona, koka, polimēriem, u.c. To struktūra un fizikālās īpašības ir izteikti atšķirīgas.Tādēļ materiālu mehānikā pieľemts ieviest nosacītu materiālu ar vienotām idealizētāmdeformatīvām īpašībām.Deformācijas, kuras atslogošanas gadījumā pilnībā izzūd (tātad tās ir atgriezeniskas),sauksim par elastīgām, bet ķermeľa īpašību pēc atslodzes ieľemt savu sākotnējo formupar elastību.To deformāciju daļu, kura pēc konstrukcijas atslogošanas saglabājas, sauksim par paliekošovai plastisko deformāciju, bet attiecīgo īpašību par plasticitāti.Konkrētam nostiprinājuma gadījumam, zinot ķermeľa deformācijas visos tā punktos,var noteikt visu ķermeľa punktu pārvietojumus, t.i. uzzināt to stāvokli (jaunās koordinātes)pēc deformēšanās. Lai konstrukcijas ekspluatācija noritētu normāli, nepieciešams,lai deformācijas būtu elastīgas, bet pārvietojumi nepārsniegtu pieļaujamās vērtības.Šie nosacījumi, izteikti tādā vai citādā vienādojumu formā, tiek saukti par stingrībasnosacījumiem. Daţos gadījumos (konstrukcijām no dzelzsbetona, plastikiem unmetāla pie augstām temperatūrām) pieļaujamas arī nelielas plastiskās deformācijas.Vispārīgā gadījumā spriegumu – deformāciju līknei slogošanas un atslodzes gaitā ir1.17a att. parādītais raksturs. Šāda likumsakarība tipiska elastīgi plastiskiem materiāliem,kuriem slodzes izraisītā deformācija sastāv no divām principiāli atšķirīgām daļām:elastīgās un plastiskās daļas. Elastīgā deformācijas daļa atslogojot materiālu izzūd,bet plastiskā daļa saglabājas un to varam uzskatīt par paliekošu deformāciju. Veicotatkārtotus slogojumus, paliekošā deformācija pieaug. Otra elastīgi plastiska materi-

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESāla spriegumu deformāciju līknes īpatnība ir tās nelineārais raksturs. Gadījumos, kadpaliekošās deformācijas ir visai mazas, varam tās neľemt vērā. Materiālus, kuriem slogojumarezultātā rodas tikaielastīgās deformācijas, saucpar ide ā l i e l a s t ī gi e mma t e r i ā l i e m . Ja materiālaslogojuma diagrammai irnelineārs (att. 1.17b) raksturs,tad šādu materiālusauc par n e l i n e ā r i e l a s-att. 1.17t ī g u , bet lineāras slogojumadiagrammas gadījumā (att.1.17.c) par l i n e ā r i e l a s t ī g u .Konstrukciju elementu aprēķinu sareţģītība liek izmantot virkni pieľēmumu (t.i. izejashipotēţu), lai šos aprēķinus padarītu vienkāršākus un iegūtos rezultātus pārskatāmākus.Šādi pieľēmumi attiecas kā uz materiāla īpašībām, tā arī uz slodzēm un to mijiedarbību.Eksperimentālie pētījumi pierāda šādu pieľēmumu pamatotību nosakot konstrukcijuelementu stiprību, deformativitāti un noturību. Pieľēmumu izraisītās kļūdas var uzskatītpar nebūtiskām, jo tās nepārsniedz praktisko rezultātu dabiskās izkliedes robeţas.Būvmehānikas uzdevumu aprēķinos tiek izmantoti sekojoši pieľēmumi:1. pieľēmums. Materiāla uzbūve ir nepārtraukta.Saskaľā ar šo pieľēmumu tiek izslēgta vielas diskrētā struktūra. No praktiskā viedokļašāds pieľēmums ir pilnībā pamatots, jo būvmateriālu struktūra ir tik sīkgraudaina, ka tovar uzskatīt par nepārtrauktu vidi. Pat tādiem materiāliem kā koks, betons un akmens,aprēķini dod praktiski pareizus rezultātus. Tas saprotams, ja ľemam vērā, ka detaļuizmēri daudzkārt pārsniedz izmantoto materiālu struktūrelementu izmērus. Balstotiesuz šo pieľēmumu, turpmākajos aprēķinos varēsim rīkoties ar nepārtrauktām funkcijām.2. pieľēmums. Konstrukcijas elementā materiāls ir viendabīgs.Tas nozīmē, ka jebkurā materiāla punktā ir vienādas īpašības. Metāliem ir izteikti viendabīgastruktūra. Mazāk viendabīgi ir kokmateriāli, betons, akmens un armētu plastmasuizstrādājumi. Tā, piemēram, betona struktūru veido cements, smalki akmeľi, grants,šķembas. Katrai no šīm frakcijām ir savas atšķirīgas mehāniskās īpašības. Koksnes iekšējaistruktūrai ir orientēts raksturs ar stipri atšķirīgām īpašībām šķiedru un tām perpendikulārosvirzienos. Uzskatāmi neviendabības rādītāji ir zari, kuru mehāniskās īpašībasbūtiski atšķiras no pārējās koksnes. Zaru skaits uz garuma vienību ir svarīgskoksnes kvalitātes rādītājs. Konstruktīvām plastmasām parasti ir stipri izteikta diskrētastruktūra ar vienā, divos vai vairākos virzienos orientētām šķiedrām. Tomēr izrādās, kaaprēķini, kuri veikti izmantojot viendabības nosacījumu, visos šajos gadījumos dodapmierinošus rezultātus.3. pieľēmums. Konstrukciju elementu materiāls ir izotrops (tā īpašības visos virzienosir vienādas).Pētījumi rāda, ka kristāliem, no kuriem sastāv daudzi materiāli, īpašības daţādos virzienosir atšķirīgas. Tā, piemēram, vara kristālu stiprība daţādos virzienos atšķiras vairākkā 3 reizes. Tomēr materiāliem ar smalkgraudainu struktūru liela patvaļīgi orientētu21

1. BŪVMEHĀNIKAS PAMATJĒDZIENI, PRINCIPI UN HIPOTĒZESkristālu skaita dēļ, īpašības izlīdzinās, tā sakot ―iegūst vidējo vērtību‖ un šos materiālusvar uzskatīt par izotropiem.Tādiem materiāliem kā koks, dzelzsbetons, plastiki, šis pieľēmums izpildās daļēji. Materiālus,kuru mehāniskās īpašības daţādos virzienos ir daţādas, sauc par anizotropiem.4. pieľēmums. Ķermenī pirms slodzes pielikšanas nav iekšējo (sākotnējo) piepūļu.Slogota ķermeľa izmēru un formas maiľai pretojas šī ķermeľa daļu savstarpējās iedarbesspēki, kurus sauc par elastīgiem spēkiem. Turpmāk, lietojot jēdzienu iekšējās piepūlessapratīsim tieši šos elastīgos spēkus un to izraisītos momentus, neľemot vērā molekulārosspēkus, kuri eksistē arī neslogotā ķermenī. Šis pieľēmums pilnībā neizpildāsnevienam materiālam. Metāla izstrādājumos eksistē iekšējie spēki, kuri radušies nevienmērīgasatdzišanas rezultātā, kokmateriāliem – nevienmērīgas ţūšanas dēļ, betonācietēšanas procesā. Šo spēku lielums konstruktoram parasti nav zināms. Gadījumos,kad ir iemesls domāt, ka šie spēki ir lieli, tos mēģina noteikt eksperimentāli.Jāatzīst, ka jautājums par sākuma spriegumiem konstrukcijās un to elementos pagaidāmizpētīts visai nepilnīgi.5. pieľēmums. Spēku darbības neatkarības princips - spēku sistēmas iedarbes rezultātsir vienāds ar atsevišķu patvaļīgā kārtībā secīgi pieliktu spēku iedarbju rezultātusummu.Ar iedarbes rezultātu jāsaprot deformācijas, iekšējie spēki, atsevišķu punktu pārvietojumi.Spēku darbības neatkarības princips plaši tiek lietots teorētiskajā mehānikā, attiecinotto uz absolūti cietiem ķermeľiem. Deformējamiem ķermeľiem (un tādi praktiskiir visi reāli ķermeľi) šo pieľēmumu var lietot, ja izpildās nosacījumi:spēku pielikšanas punktu pārvietojumi ir mazi salīdzinot ar ķermeľa izmēriem; pārvietojumi, kuri rodas ķermeľa deformēšanās rezultātā, ir lineāri atkarīgi nopieliktiem spēkiem. Šādus ķermeľus sauc par lineāri deformējamiem vai ķermeľiem,kuriem izpildās Huka likums.Praktiski visās būvkonstrukcijās abi šie nosacījumi izpildās un līdz ar to pamatoti tieklietots spēku darbības neatkarības princips.6. pieľēmums vai Sen-Venāna princips. Ķermeņa punktos, kuri ir pietiekami tālu nospēku pielikšanas vietām, iekšējās piepūles praktiski nav atkarīgas no spēku pielikšanasveida.Šis princips ļauj vienu spēku sistēmu aizstāt ar citu statiski ekvivalentu sistēmu. Šādspaľēmiens daudzos gadījumos vienkāršo aprēķinus. Tā, piemēram, veicot sliedes aprēķinukā daudzos balstos (gulšľos) balstītu stieni, faktisko slodzi no riteľa, kura darbojasuz saskares laukumu pēc noteikta, visai sareţģīta likuma, var aizstāt ar koncentrētuspēku.Par citiem pieľēmumiem un hipotēzēm tiks norādīts to konkrētās izmantošanas vietās.22

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽUSISTĒMĀSĀrējās slodzes iedarbībā sistēmas balstos rodas balstu reakcijas. Atkarībā no balstuveidiem šīs reakcijas ir spēki vai momenti. Balstu reakcijas kopā ar ārējo slodzi veidosistēmas slodţu shēmu un praktiski visos aprēķinos balstu reakciju noteikšana ir neatľemamasistēmas elementu iekšējo piepūļu noteikšanas sastāvdaļa.2.1. Statisko slodžu veidiIzmantosim sekojoša veida ārējās slodzes:1. Koncentrēts spēks. Spēks ir materiālu ķermeņu mehāniskās mijiedarbības kvantitatīvaismērs. Spēks ir vektoriāls lielums. To raksturo: skaitliskā vērtība jeb modulis,virziens un pielikšanas punkts.Spēka mērvienība SI mērvienību sistēmā ir N (ľūtons),1KN=10 3 N, 1MN=10 6 N, u.t.t., bet tehniskajā mērvienībusistēmā kG (kilograms), 1kG=9,81N.Taisni, kuras virzienā darbojas spēks sauc par spēka darbībaslīniju. Vairāku spēku kopu, kuri pielikti kādamķermenim, sauc par spēku sistēmu. Spēka spēju izsauktķermeľa griešanos ap kādu punktu (vai asi) raksturo spēkamoments.Par spēka P momentu pret centru O sauc lielumu, ko iegūst,ņemot ar atbilstošu zīmi spēka moduļa un pleca reizinājumuatt. 2.1M Pd .Plecs ir minimālais attālums no spēka darbības līnijas līdz punktam pret kuru tiek rēķinātsmoments. Attēlā 2.1 spēka plecs pret punktu O ir nogrieznis d. Spēka momentamērvienība ir N∙m, kN∙m, u.t.t.Spēka momenta īpašības:a) spēka moments nemainās pārnesot spēka pielikšanas punktu pa tā darbības līniju;b) spēka moments ir vienāds ar nulli tikai tad, ja spēks ir vienāds ar nulli vai spēkadarbības līnija iet caur centru O (plecs ir vienāds ar nulli).2. Izkliedēta slodze. Inţenieraprēķinos bieţi nākas lietot slodzes, kuras sadalītas pakonstrukciju norobeţojošām virsmām – sniega slodze, vēja slodze, grunts spiediens uzpamatiem. Šādas slodzes sauc par izkliedētām. Pārnesot šīs plaknē izkliedētās slodzesuz stieľveida konstrukciju elementiem, t.i. stieľiem, iegūstam pa garumu izkliedētasslodzes. Šādu izkliedētu slodzi raksturo ar tās intensitāti q – spēka lielumu uz konstrukcijaselementa garuma vienību. Izkliedētās slodzes intensitātes mērvienība ir N/m,kN/m, u.t.t.Izkliedētās slodzes sadalījums pa stieľa garumu var būt daţāds:23

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSa) vienmērīgi izkliedēta slodze (att. 2.2a)- izkliedētāsslodzes intensitāte ir konstanta. Šajā gadījumā risinotstatikas uzdevumus vienmērīgi izkliedētu slodzi aizstājar kopspēku R=qa, kas pielikts posma AB vidū;b) lineāri mainīga izkliedēta slodze (att. 2.2b).Kopspēks, ko rada šāda slodze ir pielikts trīsstūrveidaslodzes laukuma smaguma centrā attālumā a/3 noposma labā gala un vienāds ar šīs trīsstūrveida slodzesepīras laukumu R=q m a/2, kur q m ir izkliedētās slodzesintensitātes maksimālā vērtība;c)24att. 2.2.patvaļīgi mainīga izkliedēta slodze (att. 2.2c).Kopspēks, ko rada šāda veida slodze ir pielikts slodzesepīras laukuma smaguma centrā un skaitliskivienāds ar šī laukuma skaitlisko vērtību:R a0qzmoments. Vienmērīgi izkliedētas slodzes gadījumāAr citiem ķermeľiem nesaistītu ķermeni, kuram ir iespējami jebkuri pārvietojumi telpāsauc par brīvu ķermeni.Ķermeľus, kuru pārvietojumus telpā ierobeţo kādi citi ķermeľi, sauc par saistītiemķermeľiem, bet tos ķermeľus, kuri ierobeţo apskatāmā ķermeľa kustību, sauc par saitēmjeb balstiem.Spēku, ar kuru balsts iedarbojas uz ķermeni, ierobeţojot tā pārvietojumu noteiktā viratt.2.32.2. Balstu reakcijas.dz .Izkliedētās slodzes spēju izsaukt ķermeľa griešanosap kādu punktu (vai asi) raksturo kopspēka R moments:M Rd ,kur d ir plecs – minimālais attālums no kopspēkaR darbības līnijas līdz punktam pret kuru tiek rēķinātsM qa d .3. Spēkpāris. Par spēkpāri (koncentrētu momentu) saucdivus pretēji vērstus, paralēlus, pēc moduļa vienādus spēkus,kas darbojas uz ķermeni. Spēkpāra darbību raksturospēkpāra moments. Par spēkpāra momentu sauc lielumu,ko nosaka spēkpāra viena spēka reizinājumu ar spēkpāraplecu d (att. 2.3):M Pd .Spēkpāra mērvienība ir N∙m, KN∙m, u.t.t.

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSzienā, sauc par balsta reakcijas spēku vai vienkārši par balsta reakciju.Nosakot balstu reakcijas ir lietderīgi pareizi izvēlēties to virzienu. Šeit var līdzēt balstuaksioma:Balsta reakcija vienmēr vērsta pretēji virzienam, kādā ārējās slodzes cenšas pārvietotslogoto ķermeni.Balstu reakciju lielumi ir atkarīgi no ārējo spēku izvietojuma, darbības virziena unskaitliskās vērtības, balstu veida (att. 1.5). Balstu reakciju noteikšana ir viens no svarīgākajiemstatikas uzdevumiem.Attēlā 2.4 shematiski parādīts, kā pa tilpumu izvietota slodze (pašsvars) reducējas uzčetrām balstu reakcijām.att. 2.4Jāatzīmē, ka vispārīgā gadījumā par balstu attiecībā pret betona kuba iedarbību var tiktuzskatīta plātne (balsta reakcija būs izkliedēta pa plātnes virsmu), attiecībā pret plātnesiedarbību par balstiem varam pieľemt dubult-T profilus (balstu reakcija izkliedēta pagarumu), u.t.t., bet nodaļā 1.4 tika parādīts, ka būvkonstrukciju aprēķinos balstus parastivar uzskatīt par kādu no sekojošiem balstu veidiem:1) kustīgs locīklas balsts;Kustīgā locīklas balstā balsta reakcija var rastiestikai izveidotās saites virzienā.2) nekustīgs locīklas balsts;Nekustīgā locīklas balstā balsta reakcija vispārīgāgadījumā var rasties patvaļīgā virzienā, bet šo reakcijuvienmēr varam sadalīt divās komponentēs –visbieţāk vertikālajā un horizontālajā.3) iespīlējums.Iespīlējumā bez patvaļīga virziena reakcijas, kurusadalām vertikālajā un horizontālajā komponentē,rodas arī moments.25

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀS2.3. Plakanas spēku sistēmas līdzsvara nosacījumiPar plakanu sauc sistēmu, kuras elementu asis un tai pieliktie spēki atrodas vienā plaknē.Lai plakana spēku sistēma būtu līdzsvarā nepieciešami un pietiekami, lai sistēmai pieliktospēku kopspēks R (galvenais vektors) un sistēmas galvenais moments M O (visumomentu summa pret patvaļīgu punktu plaknē) būtu vienādi ar nulli, kur O ir jebkuršpunkts sistēmas plaknē.Kopspēka komponentes plakanās koordinātu sistēmas asu virzienos veido visu spēku(arī balstu reakciju) projekciju summa uz šiem virzieniem. TātadRx P kx, Ry P kyunkkR2 2 .R xR ySistēmas galveno momentu nosaka sakarība:OmOPkM .kAnalītiskos līdzsvara nosacījumus varam iegūt trijos veidos: pirmais līdzsvara vienādojumu veids (pamatveids, jo nav nekādu papildusnosacījumu);Lai patvaļīga plakana spēku sistēma atrastos līdzsvarā, nepieciešami un pietiekami, laivisu spēku projekciju summa uz katru no divām koordinātu asīm un šo spēku momentusumma pret patvaļīgu centru spēku darbības plaknē, būtu vienādas ar nulli:kP 0 ; kxkPky0 ; OP kkotrais līdzsvara vienādojumu veids;m 0 . (3.1)Lai patvaļīga plakana spēku sistēma atrastos līdzsvarā, irnepieciešami un arī pietiekami, lai visu spēku momentusumma pret patvaļīgiem centriem A un B un spēku projekcijusumma uz x asi, kas nav perpendikulāra taisneiAB, būtu vienādas ar nulli:kmAP k0 ;BP kkm 0 ; P 0 . (3.2)Gadījumā, ja x ass ir perpendikulāra taisnei AB, trešais vienādojums nav neatkarīgs, josaskaitot pirmos divus vienādojumus iegūstam projekciju vienādojumu uz taisnei ABperpendikulāru asi. trešais līdzsvara vienādojumu veids.Lai patvaļīga plakana spēku sistēma atrastos līdzsvarā,nepieciešami un pietiekami, lai visu spēku momentusummas pret jebkuriem trīs centriem A, B, C, kas neatrodasuz vienas taisnes, būtu vienādas ar nulli:kmAP k0 ; mB P k0 ;CP kkkkkxm 0 . (3.3)26

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSSaskaitot pirmos divus vienādojumus iegūsim projekciju summu uz asi x 1 , saskaitototro un trešo vienādojumu – projekciju summu uz asi y 1 . Ja šiem diviem vienādojumiempievienojam kādu no momentu vienādojumiem, esam nonākuši pie līdzsvaravienādojumu pirmā veida. Gadījumā, ja punkti A, B, C atrodas uz vienas taisnes, asisx 1 un y 1 kļūst paralēlas (sakrīt) un iegūtie projekcijuvienādojumi nav neatkarīgi.2.4. Plakanas stieľu sistēmas līdzsvara nosacījumiSistēmām, kuras sastāv no savā starpā ar iekšējāmatt. 2.5saitēm sastiprinātiem vairākiem ķermeľiem (stieľiem,diskiem) un kuras ar ārējām saitēm (balstiem) piestiprinātas citiem ķermeľiem (zemei),nosakot ārējo saišu (balstu) reakcijas bieţi vien nepietiek ar trim statikas līdzsvara vienādojumiem.Piemēram, att. 2.5 parādītajam trīslocīklu lokam ir četras nezināmas balstu reakcijas,bet sistēmai kopumā mēs varam sastādīt tikai trīs neatkarīgus statikas līdzsvara vienādojumus.Lai iegūtu papildus vienādojumus, varam:1. papildus apskatīt kādas sistēmas daļas līdzsvaru, piemēram,kreisās;Apskatāmajai sistēmas daļai varam sastādīt trīs neatkarīgus statikasvienādojumus. Klāt nākuši divi nezināmi lielumi: vertikālā unhorizontālā reakcija locīklā C. Kopā ar vienādojumiem, kurusvaram sastādīt visai sistēmai, mums ir seši vienādojumi (3+3) unarī seši nezināmie (4+2).2. sadalīt doto sistēmu atsevišķās sastāvdaļās unkatru no tām apskatīt kā brīvu ķermeni, ľemotvērā, ka iekšējo pārgriezto saišu reakcijas ir vienādaspēc moduļa, bet pretēji vērstas;Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā atkal iegūstamsešus vienādojumus un sešus nezināmos.3. Tā kā vienīgās reakcijas, kuras var rasties locīklā ir vertikālā un horizontālā reakcija,bet moments locīklā vienmēr ir vienāds ar nulli, varam sastādīt un pielīdzināt nulleimomentu summu pret locīklu C vai nu sistēmas kreisajai vai labajai daļai.pakreisiTā iegūstam neatkarīgu vienādojumu M 0 vai M kCP kpalabikCP k 0 . Tātadkatra sistēmā esošā vienkāršā locīkla (savieno divus stieľus) dod iespēju iegūt vienuneatkarīgu papildus vienādojumu balstu reakciju noteikšanai. Divkāršas, trīskāršasu.t.t. locīklas (savieno trīs, četrus, u.t.t. stieľus) dod iespēju papildus iegūt divus, trīs,u.t.t. vienādojumus. Šis balstu reakciju noteikšanas paľēmiens ir ievērojami ērtāks nekāpirmajā un otrajā punktā apskatītie.27

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀS2.5. Balstu reakciju noteikšanas secībaBalstu reakciju noteikšanu veic sekojošos etapos:1. izvēlas ķermeľus (sistēmas daļas vai pilnas sistēmas), kuru līdzsvara nosacījumitiks izmantoti;2. šos ķermeľus, atmetot ārējās saites, izveido par brīviem ķermeľiem uz kuriemdarbojas ārējās slodzes un nezināmas atmesto saišu reakcijas (šo etapu parastiizlaiţ, nosakāmās balstu reakcijas attēlojot dotajā sistēmā);3. sastāda līdzsvara vienādojumus, no kuriem nosaka nezināmās balstu reakcijas;Ieteicams līdzsvara vienādojumus izvēlēties tā, lai katru balsta reakciju varētu noteiktno neatkarīga līdzsvara vienādojuma un nebūtu jārisina vienādojumu sistēmas.4. veic noteikto balstu reakciju pārbaudi.Pārbaudei izvēlas tādus vienādojumus, kuri netika izmantoti nosakot balstu reakcijas.Ieteicams vienādojumus izvēlēties tā, lai tie saturētu pēc iespējas vairāk balstu reakciju(optimāli – visas vienā vienādojumā) un mazāk ārējo slodţu. Tas padara pārbaudivienkāršāku.Piemērs 2.1. Noteikt konsolsijas balsta reakcijas gadījumam, kad P=10kN, q=4kN/m,l 1 =4m, l 2 =2m, h=1m.Atrisinājums. Tā ir vienā galā iespīlēta sija (konsolsija)ar lauztu asi. Tās balstā A (iespīlējumā)slodzes iespaidā veidojas trīs balsta reakcijas: vertikālāV A , horizontālā H A un moments M A . Balstureakcijas noteiksim izmantojot pirmā veida līdzsvaravienādojumus. Pirmās divas reakcijas iespējamsnoteikt izmantojot spēku projekciju līdzsvaravienādojumus uz horizontālo (X) un vertikālo (Y) asi:X HA qh 0 ,Y VA P 0 .No šiem vienādojumiem nosakām attiecīgās balstu reakcijas:H A qh , V A P .Sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu A, iegūstam:M2A MA qh / 2 P l1 l2 0 .Tātad balstā A darbojas moments2M A qh / 2 P l1 l2.Izmantojot uzdevuma nosacījumos dotās parametru vērtības, iegūstam:V A 10kN , H A 4kN, M A 62kNm.28

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSIegūtās balsta balsta reakcijas attēlā jāparāda pareizosvirzienos uzrādot atbilstošās reakcijuskaitliskās vērtības. Ja aprēķina rezultātā kāda noreakcijām ir iegūta ar mīnus zīmi, tad sākotnējiizvēlētais reakcijas virziens nav bijis pareizs untas jāmaina uz pretējo.Pārbaudei izmantojam neatkarīgu momentu līdzsvaravienādojumu pret punktu k, jo pret šo punktuizkliedētā slodze un spēks P nedod momentu:?1 2 AAl l H h/2 M 0M V;kA41?M k10 4 2 620;20 0 .Ja pārbaude izpildās, varam turpināt aprēķinus: iegūt iekšējās piepūles, aprēķināt spriegumus,izvēlēties šķērsgriezuma izmērus, aprēķināt pārvietojumus, u.t.t., ja nē - jāmeklēkļūda balstu reakciju aprēķinā.Piemērs 2.2. Noteikt balstu reakcijas divbalstu sijai ar konsolēm.Atrisinājums. Balstu reakcijas noteiksimizmantojot otrā veida līdzsvara vienādojumus.Sistēma sastāv no divos punktos (Aun B) balstīta stieľa, kuram iespējams sastādīttrīs neatkarīgus vienādojumus trīsbalstu reakciju noteikšanai. Ľemot vērā,ka uz sistēmu darbojas tikai vertikālas slodzes,horizontālā reakcija balstā A ir vienāda ar nulli. To viegli pierādīt sastādot spēkuprojekciju summu uz horizontālu asi: X H A 0. Nezināmo vertikālo balstu reakcijuV A un V B virzienus saskaľā ar balstu aksiomu izvēlamies vērstus uz augšu. Jabalsta reakcijas virziens tiek izvēlēts nepareizi, tad nosakot balsta reakciju, tās vērtībair negatīva. Šādā gadījumā, veicot turpmākos aprēķinus, ieteicams nomainīt balsta reakcijasvirzienu uz pretēju un reakciju ľemt ar plus zīmi.Lai katru balsta reakciju noteiktu no sava neatkarīga vienādojuma, par momentpunktiemieteicams izvēlēties punktus A un B, jo pret katru no tiem viena no balstu reakcijāmneradīs momentu (plecs vienāds ar nulli).Sastādot visu momentu summu pret balstu A nosakām balstu reakciju V B . Par momentapozitīvo izvēlamies pulksteľa rādītāja kustības virzienu (pie šādas izvēles ir nedaudzērtāk no līdzsvara vienādojuma izteikt nezināmo V B ).Pozitīvajā virzienā darbojas tā izkliedētās slodzes daļa, kura atrodas pa labi no balstaA. Šīs izkliedētās slodzes daļas kopspēks ir vienāds ar izkliedētās slodzes intensitātes qreizinājumu ar posma garumu, uz kuru tā darbojas. Tātad kopspēks ir q∙6, bet tā plecsir attālums no kopspēka darbības līnijas līdz punktam A, tas ir 3 m. Moments, ko rada29

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSšī izkliedētās slodzes daļa ir kopspēka un pleca reizinājums, tas ir q∙6∙3. Moments, korada spēks P ir spēka un pleca reizinājums, tātad P∙8.Pretī pulksteľa rādītāja kustības virzienam pret balstu A darbojas tā izkliedētās slodzesdaļa, kas atrodas pa kreisi no balsta A, spēkpāris M un nezināmā balsta reakcija V B . Šoslodţu momenti izvēlētajā sistēmā ir ar negatīvu zīmi. Tātad iegūstam sekojošu līdzsvaravienādojumu:M q 3P 8 q 21M V6 0 ,A6Bkuru atrisinot iegūstam balsta B vertikālo reakcijuV B ( q 63P 8 q 21M) / 6 20, 66kN.Sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret balstu A izkliedēto slodzi q varam arīnedalīt divās daļās, bet ľemt kopspēku no visas izkliedētās slodzes:M q 2 P 8 M V 6 0.A8BJāatzīmē, ka momentu līdzsvara vienādojumā visiem saskaitāmajiem ir jābūt momentiem,tātad spēkpāris nav jāreizina ar plecu!Līdzīgā veidā sastādot momentu summu pret punktu B iegūstam vienādojumu (šoreizpar pozitīvu ľemot virzienu pretēju pulksteľa rādītāja kustības virzienam):M q 4 M P 2 V6 0,kuru atrisinot iegūstamB8AV A ( q 84 M P 2) / 6 21, 33kN.Pārbaudei izmantojam spēku projekcijusummu uz vertikālu asi:Y q 8 P V AV0.Pārliecināmies, ka šī vienādība izpildās.Jāatzīmē, ka spēku projekciju vienādojumāvisiem saskaitāmajiem ir jābūt spēkiem untātad spēkpāris šādā vienādojumā kā saskaitāmais nevar tikt iekļauts!B?Piemērs 2.3. Noteikt balstu reakcijas attēlādotajai sistēmai, izmantojot līdzsvara vienādojumutrešo veidu.Atrisinājums. Balstu reakciju noteikšanaiizmantojam momentu līdzsvara vienādojumuspret balstiem A, B un C. Tā kā momentulīdzsvara vienādojums pret balstu A saturdivas nezināmas reakcijas V B un H C , tad ērtāksākt aprēķinu ar momentu vienādojumiempret pārējiem balstiem, piemēram:30

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSM P q 61H 4 0 ;C2AM q 3 P 2 H 4 0 ;B6CM P q 63 H 4 V 4 0 .A2C BAtrisinot iegūtos vienādojumus iegūstam:H A 24kN ; H C 24kN; V B 24kN.Tā kā projekciju līdzsvara vienādojumi nosakotbalstu reakcijas nav izmantoti, tadvaram tos pielietot pārbaudei:X q 6 H A H 0;Y P 0.Nedaudz vienkāršāk būtu, pie vienas zināmashorizontālās reakcijas, otru noteikt noprojekciju līdzsvara vienādojuma uz horizontāluasi. Tādā gadījumā pārbaudei varētuizmantot momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu k, pret kuru pieliktajām ārējāmslodzēm moments ir nulle.V B?C?Tā rezultātā iegūstam sakarībuaba bzqzM VB dz A.aPiemērs 2.4. Noteikt balstu reakcijas divbalstusijai, kura slogota ar lineāri mainīgu izkliedētuslodzi q q ( z a)/ b .maxAtrisinājums. Balsta B vertikālās reakcijasnoteikšanai izmantojam momentu līdzsvaravienādojumu attiecībā pret balstu A , t.i.M A 0 .Ievietojot šai vienādojumā izkliedētās slodzes izmaiľas likuma analītisko izteiksmi,iegūstamabqmaxVB a b zz adz 0 .baVeicot integrēšanu un izsakot nezināmo reakciju V B , iegūstam izteiksmi:qmax b 3a 2bV B.6 a b031

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSUzdevuma nosacījumos dotā slogojuma gadījumā varam iztikt arī bez integrēšanas.Nomainām trīsstūrveida slodzi ar tās kopspēku R, kurš pielikts slodzes trīsstūra smagumacentrā, t.i. attālumā b/3 no balsta B. Tādā gadījumā līdzsvara nosacījums ir uzrakstāmssekojošā veidā:Tā kāR Mb0 V23a bR a b 0A B.zdz abaqbmaxqz a dz b,2faktiski ir trīsstūrveida slodzes epīras laukums, tad līdzsvara vienādojums iegūst sekojošuveidu:maxqmax b 3a 2bV Ba b 0 .6Analogi, sastādot momenta līdzsvara vienādojumupret balstu B, t.i. MB 0 , varam noteiktbalsta reakciju V A . Šīs reakcijas vērtībunosaka izteiksmeV A2qmaxb 6 a bLīdzsvara nosacījums Y 0 vai VA VB R 0 tiek izmantots pārbaudei..Piemērs 2.5. Noteikt balstu reakcijas locīklu sijai.MpalabiCV B 34,66kN.Atrisinājums. Vispārīgā gadījumā būtu jānosakačetras balstu reakcijas, bet, tā kā vertikālas slodzesgadījumā horizontālā reakcija HA 0 , atliek noteiktpārējās trīs. Izmantojam nosacījumu, ka liecesmomentam locīklā ir jābūt vienādam ar nulli un sastādāmmomentu līdzsvara vienādojumu sijas daļaipa labi no locīklas C: q 4 P 8V6 0, no kura iegūstam8BZinot vienu vertikālo balsta reakciju, otru varam iegūt izmantojot projekciju līdzsvaravienādojumu uz vertikālu asi:Y q 10 P V BVA 0 .Iegūstam V A 31, 34kN.32

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSReaktīvā momenta lielumu iespīlējumā varam atrast vai nu sastādot momentu līdzsvaravienādojumu pret iespīlējuma vietu A visai sistēmai, vai, kas ir vienkāršāk, pret locīkluC, sijas daļai pa kreisi no locīklas:MpakreisiCRezultātā iegūstam V q 63 M 0.A6AM A 116kNm.Jāatzīmē, ka sastādot līdzsvara vienādojumus balstareakciju noteikšanai pozitīvo un negatīvo virzienuvaram izvēlēties patvaļīgi.Lai momentu līdzsvara vienādojumā, kuru izmantojamiegūto balsta reakciju pārbaudei, nebūtu jāievēro izkliedētā slodze q, par momentpunktuizvēlamies punktu k uz izkliedētās slodzes kopspēka darbības līnijas. Tādāgadījumā iegūstam:M?k MAVB5VA 7 P 70;M 116 34,66 5 31,34 7 10 7 ;k 0,08 0.Uzdevums 2.1 Uzdevums 2.2Noteikt balstu reakcijas locīklu sijai (atbildes pielikumā):?0Piemērs 2.6. Balstu reakciju noteikšana attēlā dotajam rāmim.Atrisinājums. Izmantojot balstu aksiomuizvēlamies nezināmo reakciju virzienus. Jaizvēle būs nepareiza, iegūsim balsta reakcijasvērtību ar mīnus zīmi. Lai aprēķins būtuvienkāršāks, balsta reakciju noteikšanas secībucenšamies izvēlēties tādu, lai nebūtujārisina vienādojumu sistēmas, bet katrureakciju varētu noteikt no neatkarīga vienādojuma.Konkrētajā uzdevumā šī secībavarētu būt sekojoša:1) nosakām reakciju H B , pielīdzinot nulleimomentu summu pret locīklu D uz leju no33

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀStās:lejuM uz q 3 H 6 0 ,D6Bno kurienes H B = 12 kN;2) nosakām reakciju V B , pielīdzinot nullei momentu summu pret locīklu C pa labi no tās:Mpa labiC P 10 q 63 HB6VB8 0un tātad V B = 12,5 kN.Zinot reakcijas V B un H B pārējās divas reakcijas horizontālā un vertikālā virzienā varamnoteikt no projekciju vienādojumiem:X q P H B H 0 ,6AY P V AV B 0 .No šiem vienādojumiem iegūstam:H A = 2 kN, V A = 2,5 kN.Balsta reakciju M A varam noteikt sastādot momentu summu visai sistēmai pret punktuA vai arī pielīdzinot nullei momentu summu uz leju no locīklas C:lejuM uz P H 6 M 0 .C3A AAtrisinot šo vienādojumu iegūstam:M A = 42 kN·m.Pārbaudei izmantojam punktu O, kurā krustojas ārējo slodţu darbības līnijas. Tas būtiskivienkāršo momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu O:M M V 2 V10 ( H H ) 30.OABAIevietojot iepriekš noteiktās balstu reakciju vērtības pārliecināmies, ka vienādība izpildās.Reakciju skaitliskās vērtības un pareizos virzienus parādām zīmējumā.AB?pa labiM q 3 P 3 H 6 V 6 0 ,C6B BPiemērs 2.7. Balstu reakciju noteikšanaattēlā dotajam rāmim.Atrisinājums. Ne vienmēr izdodas izvairītiesno vienādojumu sistēmu risināšanas.Tādos gadījumos jācenšas, laivienādojumu sistēmā būtu pēc iespējasmazāk vienādojumu. Šajā piemērā balstureakcijas V B un H B varam noteikt nodivu vienādojumu sistēmas, kuru iegūstamsastādot momentu summas pa labino locīklām C un D:34

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSpa labiM q 3 P 9 H 12V 6 0 .D6BBNo pirmā vienādojuma atľemot otro, iegūstam: P 6 H 6 0.Līdz ar to nosakām, kaBH B 10 kN .Ievietojot iegūto reakcijas H B vērtību pirmajā (vai otrajā) vienādojumā iegūstam: V B =7 kN.Sastādot spēku projekciju summas uz vertikālu un horizontālu asi un tās pielīdzinotnullei iegūstamX P P H B H A 0 ,Y q 12 V BVA 0 .No šiem vienādojumiem nosakām balsta A reakcijas H A un V A . To vērtības irH A 10 kN unV A 41kN .Momenta iespīlējumā M A noteikšanai sastādām momentu summu sistēmas daļai pakreisi no locīklas D un pielīdzinām to nullei. Tā iegūstamlīdz ar topa kreisiM V H 12 P 6 q 63 M 0 ,DAM A 234kNm .6AAPārbaudei sastādām momentu summu pret punktu O un pārliecināmies, ka vienādībaizpildās:M V 6 H 3 P 3 H 3V 6 M 0.OAABBA?Uzdevums 2.3 Uzdevums 2.4Noteikt balstu reakcijas rāmim.35

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀS a M A P h2 q a VB 0 , 2 aM B VA P h2 q a 0 ,2MMkrc HA h1 h2 P h1 0,labcPiemērs 2.8. Noteikt balstu reakcijas trīslocīklurāmim sekojošu izejas parametru gadījumā:q = 4 kN/m, P = 10 kN, h 1 = 3 m, h 2 = 3m, = 4 m, a = 2 m.Atrisinājums. Lai noteiktu balstu A un B reakcijas,sastādām momentu līdzsvara vienādojumuspret punktiem A un B, kā arī momentusummas pret locīklu C pa kreisi un pa labi notās. Tādā veidā iegūstam četrus neatkarīgusvienādojumus četru balstu reakciju noteikšanai: a q a VB H B h1 h2 0 . 2 Ievietojot vienādojumos konkrētās skaitliskās vērtības un izsakot nezināmos V A , V B ,H A un H B , iegūstam:V A 9, 5 kN ; V B 17, 5 kN ;H A 5 kN ; H B 5kN .Iegūto rezultātu pārbaudei izmantojam spēku projekciju līdzsvara vienādojumus uzhorizontālo un vertikālo asi (vai momentu summu pret punktu O). Šajā gadījumā aprēķinātoreakciju virzieni nav mainīti un reakcijas V , H un H tiek ľemtas ar mīnusAzīmi. Iegūstam sakarības:AX P H A H 0;X 5105 0 ;Y VBB?AVB qa0;Y 9,517,5 42 0 .Tātad spēku projekciju summas uz x un y asīmir vienādas ar nulli un sistēma ir līdzsvarā.?36

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSJāatzīmē, ka veicot iekšējo piepūļu aprēķinu, balstu reakcijas apskatāmajai sistēmai irlietderīgi pielikt pareizajos virzienos, tas ir negatīvajām reakcijām mainīt virzienu unzīmi.no locīklām C un D:MMPiemērs 2.9. Noteikt balstu reakcijas zīmējumāattēlotajam rāmim patvaļīgām izejasparametru vērtībām un to konkrētam gadījumam:P 10kN, q 16kN/m ,q 24 kN/m , l 4m, l 2 m ,1 2h 11m , h 2m.2Atrisinājums. Jānosaka piecas nezināmasbalstu reakcijas V A , H A , M A , V B un H B . Šimnolūkam ir nepieciešami pieci neatkarīgivienādojumi.Nezināmo balstu reakciju V B un H B noteikšanaiizmantosim momentu summas pa labil l / 2Vl l H h h 02 q1l1/ 2 q2l21 2 B 1 2 B 1 2labC;2 q2l2/ 2 HBh2VBl2 0labD.Atrisinot šo vienādojumu sistēmu, iegūstam:V BHB22h 21 2h1 q1q2 l1l21h2 2h12 2h221 2 q2 vBl2h2 2.Balsta reakcijas H A noteikšanai izmantojam spēku projekciju summu uz x asi, kurupielīdzinām nullei:X P H A H B 0 .No šī vienādojuma iegūstamH P .AH BSastādot spēku projekciju summu uz vertikālo asi Y, no līdzsvara nosacījuma iegūstamvienādojumuY V q l q l V 0 .A1 1 2 2 BTātad balsta A vertikālā reakcija V A irVA q1 l1 q2l2V B.,37

2. BALSTU REAKCIJU NOTEIKŠANA PLAKANĀS STIEĽU SISTĒMĀSMomentu summa rāmja daļai pa kreisi no locīklas CMkrC Ph M H h 01 A A 1h2dod iespēju noteikt momenta vērtību un arī virzienu iespīlējumāMA Ph.1 HAh1 h2Esam ieguvuši izteiksmes visu nezināmo balstu reakciju noteikšanai.Ievietojot konkrētos uzdevuma izejasdatus iegūtajās izteiksmēs, nosakāmsekojošas balstu reakciju vērtības:V A 6, 67kN ;H A 11, 33kN ;V B 25, 33kN ;H B 21, 33kN ;M A 44 kNm .Iegūto rezultātu pārbaudei izmantojammomentu summu pret punktu O. Taijābūt vienādai ar nulli. Varam pārliecināties,ka nosacījums izpildās.Uzdevums 2.5 Uzdevums 2.6Noteikt balstu reakcijas rāmim.38

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIE-PŪĻU NOTEIKŠANAI3.1. Šķēlumu metode telpiskai sistēmaiTeorētiskās mehānikas pētījumu rezultātā ir pierādīts, ka slogota ķermeľa atsevišķodaļu savstarpējās iedarbības iekšējos izkliedētos elastīgos spēkus jebkurā šķēlumā varaizstāt ar iekšējo spēku galveno vektoru un galveno momentu. Sadalot galveno vektoruun galveno momentu komponentēs iegūstam iekšējās piepūles. Iekšējo piepūļunoteikšanai lietojam šķēlumu metodi. Šīs metodes autori ir vācu inţenieri A. Riters unD. Švedlers, kuri XIX gs. vidū pielietoja šo metodi piepūļu noteikšanai kopľu stieľos.Tā kā iekšējās piepūles darbojas starp atsevišķām noslogotas konstrukcijas vai tās elementudaļām tad, lai noteiktu šīs piepūles kādā noteiktā līdzsvarota ķermeľa vietā, šaivietā domās izdara šķēlumu un vienu no atšķeltajām daļām atmet (parasti atmet toķermeľa daļu, kurai pielikts vairāk ārējo spēku). Atšķelto daļu savstarpējā iedarbībatiek aizstāta ar iekšējām piepūlēm, kuras līdzsvaro stieľa atšķeltajai daļai pieliktos ārējosspēkus. Svarīgi ľemt vērā, ka reakcijas, kuras rodas konstrukcijas balstos, arī uzskatāmaspar ārēji pieliktām piepūlēm.Aplūkosim prizmatisku stieni (att. 3.1a), uzkuru darbojas ārēji spēki P 1 , P 2 , P 3 , P 4 unP 5 . Izdarot brīvi izvēlētu šķēlumu abcd,stieni sadalām divās daļās (att. 3.1b). Laisaglabātu kreisās daļas līdzsvaru, tai šķēlumāabcd jāpieliek spēki, kuri līdzsvaroārējos spēkus P 1 , P 2 un P 3 . Šķēlumā pieliktiespēki aizstāj labās ķermeľa daļas iedarbībuuz kreiso daļu. Gluţi tāpat, lai saglabātulabās daļas līdzsvaru, tai šķēlumāabcd jāpieliek piepūles, kuras līdzsvarospēkus P 4 un P 5 un aizstāj kreisās ķermeľadaļas iedarbību uz labo daļu.Arī nesašķelta stieľa šķēlumā abcd (att.3.1a) jādarbojas analogām piepūlēm. Pretējāgadījumā ārējo spēku iedarbības rezultātāstienis pa šo šķēlumu sašķeltos divāsdaļās. Šīs piepūles, kuras tad arī sauc paratt. 3.1iekšējām piepūlēm, atbilst ķermeľa kreisāsun labās daļas savstarpējai iedarbībaišķēlumā abcd.Pēc aksiomas „par darbības un pretdarbības vienādību‖ iekšējās piepūles, kas šķēlumāabcd darbojas gan uz stieľa kreiso gan labo daļu, ir savstarpēji vienādas, bet pretējivērstas.Šķēlumu metode, kura tiek lietota stieľu iekšējo piepūļu noteikšanai, turpmāk tiks plašipielietota, lai atrastu sakarības starp ārējo slodzi un iekšējām piepūlēm. Ārējos spēkus,39

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIkuri pielikti nošķeltajai ķermeľa daļai, līdzsvaro iekšējās piepūles šķēluma plaknē. Tasļauj nošķeltajai daļai vai (att. 3.1b) pielietot līdzsvara noteikumus, kas vispārīgāgadījumā telpiskai spēku sistēmai dod sešus līdzsvara vienādojumus: ix 0P ; P 0 ; P 0 ; ix 0iyM ; M 0 ; M 0 .iyVispārīgā gadījuma līdzsvara vienādojumi ļauj aprēķināt šķērsgriezumā radušos trīsspēkus N z , Q x un Q y (iekšējo spēku galvenā vektora komponentes), kas darbojas koordinātuasu virzienos, un trīs momentus M x , M y un M z (iekšējo spēku galvenā momentakomponentes). Minētie seši iekšējo spēku faktori (iekšējās piepūles) tiek saukti šādi(att. 3.1c):Nz— aksiālspēks (ass spēks) stieľa ass virzienā;Qxun Qy— šķērsspēki, kuri darbojas šķērsgriezumā perpendikulāri stieľaasij x un y asu virzienos;A, iegūstamMxunMy— lieces momenti;Mz— vērpes moments.att. 3.2izizZinot iekšējās piepūles iespējams noteikt iekšējo piepūļusistēmas statisko ekvivalentu, t.i., atrast iekšējo elastībasspēku galveno vektoru un galveno momentu.Lai noteiktu iekšējo piepūļu saistību ar spriegumiemjebkurā patvaļīgā šķēlumā, stieľa šķērsgriezumā izvēlamiespatvaļīgu bezgala mazu laukumiľu dA (att. 3.2).Pieľemot, ka spriegumi jebkurā šķēluma punktā ir zināmi,konstatējam, ka uz elementārlaukumu dA darbojaselementārspēki zdA, zxdAun zydA. Projicējot visuselementāros spēkus uz asīm x, y, z, kuru sākuma punktsC izvietots šķēluma smaguma centrā, un summējot šospēku momentus pret šīm asīm pa visu šķēluma laukumuN zdA ; Qx zxdA; Qy zydA;AAAMx zydA ; My zxdA ; Mz ( zyxzxy)dA.AAAIntegrēšana tiek veikta pa laukumu A.Konkrētos slogojumu gadījumos daţas vai pat lielākā daļa no iekšējām piepūlēm varbūt vienādas ar nulli.Iekšējās piepūles, kuras rodas stieľa šķērsgriezumā, pilnībā nosaka tā deformācijas.40

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAI3.2. Vienkāršākie deformāciju veidiAtsevišķu stieľu deformācijas aina var būt visai sareţģīta, taču ikvienu deformāciju varuzskatīt par vairāku vienkāršu deformāciju apvienojumu.Izšķir šādus stieľa vienkāršāko deformācijuveidus:1. Aksiālā stiepe un spiede. Šajā gadījumāšķērsgriezuma iekšējos elastībasspēkus var aizvietot ar to kopspēku —aksiālspēku (asspēku) N, kas vērsts pastieľa asi (att. 3.3).Gadījumā, ja aksiālspēks vērsts uz atšķeltāsķermeľa daļas pusi — uz «ārpusi»no aplūkojamās daļas, ķermenis pa-att. 3.3kļauts stiepei (att. 3.3a). Turpretī, jaaksiālspēks vērsts no šķēluma plaknes uz aplūkojamās daļas «iekšpusi», uz ķermeniiedarbojas spiede (att. 3.3b).2. Bīde (cirpe). Šāda deformācija rodas tad, jastieľa šķērsgriezumā iekšējie elastības spēkireducējami uz vienu spēku — šķērsspēku Q,kas darbojas šķēluma plaknē (att. 3.4).3. Vērpe. Stieľa vērpes gadījumā iekšējoselastības spēkus var aizstāt ar spēkpāri, kuradarbības plakne sakrīt ar šķērsgriezuma plakniatt. 3.4(att. 3.5). Šī spēkpāra momentu, sauc par vērpesmomentu M v .4. Liece. Lieces gadījumā iekšējo elastības spēku statiskais ekvivalents arī ir spēkpāris,bet tā darbības plakne ir perpendikulāra stieľa šķērsgriezuma plaknei (att. 3.6). Šādaspēkpāra momentu sauc par lieces momentu M.att. 3.5 att. 3.63.3. Šķēlumu metode plakanai sistēmaiGadījumos, kad stienim pieliktie ārējie spēki atrodas vienā plaknē (att. 3.7), to līdzsvarošanaivispārīgā gadījumā nepieciešamas trīs iekšējās piepūles: ass spēks N, šķērsspēksQ un lieces moments M.Lai noteiktu piepūles N, Q un M, sastādām atšķeltajai stieľa daļai spēku projekciju41

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIsummas uz koordinātu asīm un momentu summu pret šķēluma smaguma centru. Laiatšķeltā stieľa daļa būtu līdzsvarā, šīm summām jābūt vienādām ar nulli. Tā tiek iegūtiatšķeltās stieľa daļas līdzsvara vienādojumi, kurus atrisinot arī tiek noteiktas meklējamāsiekšējās piepūles.Att. 3.7 parādītā slogojuma gadījumā projicējot visus spēkus, kuri darbojas uz atšķeltostieľa daļu, uz asi, kas sakrīt ar stieľa asi un pielīdzinot šo spēku summu nullei, iegūstam: P N P cos0 .1 2Catt. 3.7No šī vienādojuma izsakām nezināmo asspēku. Tas ir:N P 1 P 2cos .Vispārīgā gadījumā:N P iz,ikur Pizir stieľa atšķeltajai daļai pielikto spēku projekcijas uz stieľa asi.Ass spēks N izvēlētajā šķēlumā ir visu uz vienu pusi no šķēluma pielikto ārējo spēkuprojekciju uz asi, kas sakrīt ar stieņa asi, algebriska summa.To spēka projekciju, kura izraisa atšķeltās stieľa daļas stiepi, uzskata par pozitīvu (lietoar pluss zīmi), bet to, kura izsauc spiedi – par negatīvu (lieto ar mīnus zīmi).Analogi summējot spēku projekcijas uz vertikālu asi, iegūstam vienādojumuQ P2 sin 0un izteiksmiQ P 2sin .Vispārīgā gadījumā:Q P iy,ikur Piyir stieľa atšķeltajai daļai pielikto spēku projekcijas uz stieľa asij perpendikulāru asi.Šķērsspēks Q izvēlētajā šķēlumā ir visu uz vienu pusi no šķēluma pielikto ārējo spēkuprojekciju uz stieņa asij perpendikulāru asi algebriska summa.To spēka projekciju, kas grieţ apskatāmo stieľa daļu pulksteľa rādītāja kustības virzie-42

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAInā attiecībā pret šķēluma smaguma centru, uzskatīsim par pozitīvu, bet kas grieţ pretējāvirzienā – par negatīvu.Lieces momentu M nosaka, pielīdzinot nullei visu spēku, spēkpāru, izkliedētās slodzesizraisīto momentu attiecībā pret šķēluma smaguma centru algebrisku summu.Šķēluma smaguma centrs att. 3.7 ir punkts C. Iegūstam vienādojumuM P2 r 0 .Tātad momenta M vērtību izvēlētajā stieľa šķēlumā nosaka izteiksmeM2 P r .Svarīgi atcerēties, ka moments pret punktu ir spēka un attāluma starp punktu un spēkadarbības līniju (pleca) reizinājums (attālums ir perpendikula no punkta pret taisni garums).Vispārīgā gadījumā:M M ix,ikur Mixir stieľa atšķeltajai daļai pielikto spēku izraisīto momentu un spēkpāru momentusumma pret šķēluma smaguma centru.Lieces moments M izvēlētajā šķēlumā ir vienāds ar visu uz vienu pusi no šķēluma pieliktoārējo spēku (spēkpāru, izkliedēto slodžu) momentu algebrisku summu pret šķēlumasmaguma centru.Lieces momentu zīmes tiek definētas konkrētiem slogojuma veidiem.Piemērs 3.1. Noteikt piepūles zīmējumāparādītās sistēmas stieľos AB un BC.Atrisinājums. Veicot šķēlumu 1-1, sistēmusadalām divās daļās. Atmetam sistēmaskreiso daļu un pieprasām labāsdaļas līdzsvaru. Stieľu piepūles to asuvirzienos pieľemam par pozitīvām (zīmējumāno mezgla izejošas bultas). Sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumussistēmas atšķeltajai daļai uz horizontālo x un vertikālo y asi:X N AB N BCcos 0 ;Y P sin 0 .N BCAtrisinot šos vienādojumus attiecībā pret nezināmajām piepūlēm N, iegūstamN AB Pctg ;N BC P/sin .Tātad viens no stieľiem (stienis AB) ir stiepts, bet otrs stienis (stienis BC) spiests. Izmainotleľķi starp stieľiem AB un BC, izmainās arī piepūles šajos stieľos.43

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIvienādojumu44Tātad N 0 .MA 300 2 NCD3 600 0 .CDPiemērs 3.2. Noteikt piepūles zīmējumāattēlotās sistēmas stieľos AB un CD.Atrisinājums. Izdarām zīmējumā parādītošķēlumu 1-1. Sastādot atšķeltās daļas visuspēku projekciju summu uz horizontāluasi, konstatējam, ka saitē pa kreisi no balstaA piepūles nav.Pielīdzinot nullei visu atšķeltās daļas momentupret punktu A summu, iegūstamPielīdzinot nullei visu spēku projekciju uz vertikālo asi summu, iegūstamun līdz ar toY 300 0N ABN AB 300 N .3.4. Piepūļu noteikšana plakanās kopnēs3.4.1. Vispārīgi jēdzieniPar kopni sauc sistēmu, kas sastāv no taisniem, savā starpā galos savienotiem stieņiem.Savienojuma vietas sauc par mezgliem. Mezgli parasti ir stingi – metināti vaikniedēti. Kopľu uzdevums, līdzīgi kā sijām, ir pārsegt vērā ľemamus laidumus. Kopnesdod iespēju, salīdzinājumā ar sijām, taupīt materiālu, jo sijās tas tiek izmantots neracionāli.Kopnes vienmēr ir vieglākas par atbilstošām sijām pie uzdotas slodzes unlaiduma (attāluma starp balstiem).Mezglus, kas pārnes slodzi uz balstiem, sauc par balsta mezgliem, pārējos — parstarpmezgliem. Katrs kopnes stienis savieno divus mezglus. Stieľi, kuri ierobeţo kopneskontūru no augšas, veido kopnes augšējo joslu, bet stieľi, kuri ierobeţo kopneskontūru no apakšas, apakšējo joslu. Stieľus, kuri atrodas starp augšējo un apakšējo joslu,sauc par režģi. Reţģa stieľi saista abas joslas. Reţģa vertikālos stieľus sauc par statiem,bet slīpos — par atgāžņiem. Atgāţľus iedala uz centru krītošos un uz centruaugošos.Attālumu starp kopnes balstu locīklucentriem sauc par laidumu. Attālumustarp joslas blakus mezgliem sauc parpaneļa garumu. Vislielāko attālumustarp kopnes augšējo un apakšējo joslusauc par kopnes augstumu. Laidu-att. 3.8mu apzīmē ar burtu l, paneļa garumu— ar d, kopnes augstumu — ar h (att. 3.8).Izšķir telpiskas un plakanas kopnes. Plakanās kopnes kā atsevišķa konstrukcija praksē

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIsastopamas reti. Telpisku sistēmu izveido, savienojot plakanas kopnes ar saitēm. Aprēķinottelpisku sistēmu, kas sastāv no plakanām kopnēm, parasti pieľem, ka katra kopnedarbojas atsevišķi. Šeit aplūkosim tikai plakanas kopnes.Nosakot piepūles kopnes stieľos tiek izmantotas sekojošas izejas hipotēzes:1. stieņi galos savā starpā savienoti ar ideālām locīklām;Pētījumi rāda, ka papildus spriegumi, kurus rada stingie savienojumi, nav būtiski,jo sastāda tikai daţus procentus no spriegumiem locīklveida kopnēs.2. visa slodze pielikta tikai kopnes mezglos (arī pašsvars);Pamatojoties uz šo un iepriekšējo pieľēmumu visos kopnes stieľos ir iespējamatikai ass stiepe vai spiede (vienīgā iespējamā iekšējā piepūle ir aksiālspēks N).3. kopnei deformējoties locīklu pārvietojumi ir tik mazi, ka tos var neņemt vērāattiecībā uz kopnes formas maiņu.Tas dod iespēju pielietot kopnēm spēku darbības neatkarības principu.Sijās normālie spriegumi sadalās nevienmērīgi pa tās augstumu, tāpēc arī siju nestspējatiek izmantota nepilnīgi. Turpretī kopnēs centriski spiesto vai stiepto stieľu spriegumijebkurā stieľa šķēlumā ir vienādi, līdz ar to stieľa materiāls var tikt izmantots maksimāliekonomiski. Tādēļ arī kopnes ir vieglākas par sijām, it sevišķi pie lieliem laidumiem.Kopnes var balstīties uz diviem vai vairāk balstiem. Vairumam kopľu ir divi balsti, nokuriem viens ir nekustīgs locīklu balsts, otrs — kustīgs locīklu balsts.Kopnes izmanto ēku jumtos, stāvu pārsegumos, karkasos, tiltos, celtľos, torľos un citāskonstrukcijās. Visbieţāk kopnes izgatavo no tērauda vai dzelzsbetona.3.4.2. Kopņu klasifikācijaDaudzveidīgās kopľu sistēmas iedala atsevišķos tipos pēc daţādām pazīmēm.Pēc balstu reakciju virziena vertikālasslodzes gadījumā izšķir kopnesbez balstbīdes, jeb sijveida kopnes(att. 3.9a) un kopnes ar balstbīdi, jeblokveida kopnes (att. 3.9b). Pieatt. 3.9balstbīdes kopnēm pieder arī iekārtāskopnes.Pēc joslu veida izšķir paralēlo joslu (att. 3.10a,b,c), trīsstūrveida (att. 3.10d), trapecveida(att. 3.10e) un parabolveida (poligonālās) kopnes (att. 3.10f),.Paralēlo joslu kopnes tiek lietotas tiltiem, estakādēm, tilta celtľu sijām. Trīsstūrveidaun trapecveida kopnes galvenokārt izmanto ēku jumtos. Liela laiduma tiltos un ēkujumtos lieto parabolveida kopnes.Pēc režģa veida izšķir kopnes ar vienkāršu režģi un kopnes ar saliktu režģi. Pievienkārša reţģa kopnēm pieder kopnes ar trīsstūrveida reţģi, kurām viena virziena atgāţľimainās ar cita virziena atgāţľiem (att. 3.10d), kopnes ar trīsstūrveida reţģi unpapildstatiem (att. 3.10f), kopnes ar atgāţľu reţģi, kurām atgāţľi novietoti pārmaiľusar statiem, pie tam atgāţľi var būt uz vidu krītoši (att. 3.10e) vai uz vidu kāpjoši (att.3.8), un kopnes ar pusatgāţľu reţģi (K veida reţģi), kurām panelī viena atgāţľa vietā ir45

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIdiviīsāki atgāţľi.Saliktu reţģi iegūst, kombinējot divus vai vairākus vienkāršus reţģus. Rombisko kopni(att. 3.10a) iegūst no diviem trīsstūra reţģiem, krustveida kopni (att. 3.10b) iegūst nodiviem atgāţľu reţģiem.Ja trīsstūrveida reţģa vai atgāţľureţģa kopni papildina ar īsiem atgāţľiemun statiem (šprengeļiem),kas slogotās joslas pusē paneli sadaladivās vai vairākās daļās, tadkopni sauc par šprengeļu kopni(att. 3.10c). Šprengeļi, tāpat kā papildstatikopnēs ar trīsstūrveidareţģi, uzľem tikai vietējo slodzi,att. 3.10kas pielikta tā paneļa robeţās, kurāšie papildu elementi atrodas.Bez minētajiem iespējami arī citi, mazāk tipiski reţģu veidi.3.4.3. Kopņu analītiskais aprēķinsBalstu reakcijas un iekšējās piepūles visos kopnes stieľos nosaka no statikas līdzsvaravienādojumiem, kurus var sastādīt kā projekciju, tā momentu vienādojumu veidā.Balstu reakciju aprēķins. Siju kopnēm nekustīgā balsta reakcijas horizontālo komponentiaprēķina no vienādojuma X 0 , bet balstu reakciju vertikālās komponentesaprēķina tāpat kā divbalstu sijām, t. i., no vienādojumiem M A 0 un M B 0 .Vertikālo balstu reakciju pārbaudi veic izmantojot vienādojumuY 0.46Kā piemēru balstu reakciju aprēķinamizmantosim kopni (att. 3.11), uz kurudarbojas kā vertikāla tā horizontāla slodze.No nosacījuma X 0 nosakām, kabalsta A reakcijas horizontālā komponenteH Aatt. 3.11 P3. Reakcija ir pozitīva, tātad tādarbojas pieľemtajā virzienā.Sastādām momentu vienādojumus pret balstiem A un B:MMA VBl Pa1 1 P2a2 P3h 0 ;BVAl Pb1 1 Pb2 2 P3h 0 .No šiem vienādojumiem nosakām vertikālas balstu reakcijas V A un V B . Pārbaudei varamizmantot momentu summu pret spēku P 2 un P 3 darbības līniju krustpunktu.Ja uz kopni darbojas slīpi vērsti spēki, tad tos vispirms aizstāj ar to vertikālajām un

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIhorizontālajām komponentēm.Lai aprēķinātu piepūles kopnes stieľos izmanto šķēlumu metodi - atšķeļ kādu kopnesdaļu (vai atsevišķu mezglu) un apskata šīs daļas līdzsvaru ārējo spēku un iekšējo piepūļudarbības rezultātā. Piepūles, kuras darbojas šķēlumā, aizstāj atmestās kopnes daļasiedarbību uz apskatāmo daļu.Atrisinājums. Atmetam kopnes kreiso daļu un analizējam labās daļas līdzsvaru. Nezi-Piepūles attēlo ar bultām, kuras vērstasprom no mezgla, t.i., pieľem, ka visi stieľiir stiepti. Ja aprēķinu rezultātā tiek iegūtapozitīva piepūles vērtība, stienis ir stiepts,bet, ja tiek iegūta negatīva vērtība, tadatt. 3.12piepūles faktiskais virziens ir pretējs pieľemtajamun stienis ir spiests.Šķēlumi, projekciju asis un momentpunkti pēc iespējas jāizvēlas tā, lai katrs līdzsvaravienādojums saturētu tikai vienu nezināmu piepūli un nebūtu jārisina vienādojumu sistēmaar vairākiem nezināmajiem.Ieteicams izvēlēties tādus šķēlumus, lai kopne tiktu sadalīta divās daļās tā, ka tiek pārgrieztine vairāk kā trīs stieľi (šķēlumi 1-1 un 2-2 att. 3.12) vai arī tiek izgriezts kādsno mezgliem (šķēlumi 3-3 un 4-4).Atkarībā no izvēlētā šķēluma veida un pielietotajiem līdzsvara vienādojumiem iegūstamdaţādas kopnes stieľu iekšējo piepūļu noteikšanas metodes.Momentpunktu metode. Metode izmantojama gadījumos, ja ir iespējams pāršķeltkopni tā, lai tiktu šķelti tikai trīs stieľi, no kuriem ik divi pa pāriem krustojas vienāpunktā. Kopni ar šķēlumu sadala divās daļās un vienu daļu atmet (parasti to, kurai pieliktslielāks skaits ārējo spēku). Atlikušās daļas līdzsvaru jānodrošina pagaidām nezināmajāmpiepūlēm pārgrieztajos stieľos (iekšējās piepūles var noteikt tikai pārgrieztajosstieľos). Atšķeltajai kopnes daļai pārgriezto stieľu asu virzienos pieliek trīs nezināmaspiepūles, attēlojot tās kā stiepes spēkus (virziens no mezgliem). Šie spēki aizstājatmestās kopnes daļas iedarbību uz apskatāmo daļu. Nezināmās iekšējās piepūles trijospārgrieztajos stieľos nosaka no momentu līdzsvara vienādojumiem.Līdzsvara vienādojumi jāsastāda tā, lai katrā vienādojumā būtu tikai viena nezināmaiekšējā piepūle. Tādēļ, lai noteiktu kādu no nezināmajām piepūlēm, momentu vienādojumsjāsastāda pret punktu, kurā krustojas pārējo divu piepūļu darbības līnijas. Šo punktusauc par momentpunktu, jeb Ritera punktu. Bieţi vien momentpunktu metodisauc arī par Ritera metodi bijušā RTU profesora un celtniecības fakultātes dekāna JakobaRitera (strādāja Rīgā no 1873. līdz 1882. gadam) vārdā.Atsevišķos gadījumos var šķelt arī vairāk nekā trīs stieľus, kuros piepūles nav zināmas.Tādā gadījumā aprēķināt piepūli vienā no tiem no viena vienādojuma var tikai gadījumā,ja visi pārējie stieľi krustojas vienā punktā (vai piepūles kādos stieľos jau ir zināmas).Momentu vienādojums jāsastāda attiecībā pret šo pārējo stieľu krustpunktu.Piemērs 3.3. Aprēķināt piepūles att. 3.13 parādītajai kopnei ar šķēlumu 1-1 pāršķeltajosstieľos.47

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAInāmās piepūļu vērtības kopnes labajai daļai pieliekam pozitīvā virzienā (no mezgliem),pieľemot, ka stieľi ir stiepti. Gan stieľus, gan piepūles atbilstošajos stieľos augšējāsjoslas stieľiem ir pieľemts apzīmēt ar burtu O, apakšējās joslas stieľiem ar U, statiemar V, atgāţľiem ar D. Otrs stieľu un piepūļu apzīmēšanas variants ir balstīts uz mezglunumerācijas izmantošanu. Piemēram, piepūli O 3 varam apzīmēt arī kā N 2-3 .48att. 3.13Lai iegūtu piepūles vērtību augšējās joslas stienī O 3 , par momentpunktu jāľem punkts,kurā krustojas divu pārējo pārgriezto stieľu darbības līnijas, tas ir mezgls 5. Šādā gadījumālīdzsvara vienādojums saturēs tikai vienu nezināmu piepūli – O 3 :M P d 2 VB d O 0 ,5 3/3r5kur r 5 – piepūles O 3 plecs pret mezglu 5 (minimālais attālums no spēka darbības līnijaslīdz punktam, pret kuru tiek rēķināts moments).Iegūtā piepūles O 3 vērtībaOP32 VBdr53/ir negatīva, tātad stienis O 3 ir spiests (raksturīgi stieľiem, kuri veido augšējo joslu).Lai iegūtu piepūles vērtību apakšējās joslas stienī U 2 par momentpunktu līdzīgā veidājāľem punkts, kurā krustojas divu pārējo pārgriezto stieľu darbības līnijas. Tas irmezgls 2:M VB d / 2 P d U 0.Iegūtā piepūles U 2 vērtība233 2r23V/ 2 P3dr2UB2/ir pozitīva, tātad stienis U 2 ir stiepts (raksturīgi stieľiem, kas veido apakšējo joslu).Nosakot piepūli atgāznī D 3 , momentpunkts atrodas ārpus kopnes robeţām – punktā k:M P a d / 2) V a D r 0 .Iegūstam piepūles vērtībuk3(B 3 k

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIP3a d / 2VBa rkD / .3Atgāţľi var būt gan stiepti gan spiesti.Projekciju metode. Lietojot projekciju metodi, kopni ar šķēlumu sadala divās daļās unapskatāmajai kopnes daļai pielieto projekciju līdzsvara vienādojumus uz vienu vai divāmasīm. Projekciju metodi ir lietderīgi lietot, piemēram, ja kādā kopnes stienī piepūlinevar noteikt ar momentpunktu metodi, kā tas ir kopnes ar paralēlām joslām gadījumā.Piemērs 3.4. Noteiksimpiepūles statā 2-6 un atgāznī2-7 attēlā 3.14 dotajaikopnei ar paralēlāmjoslām.Atrisinājums. Piepūlesreţģa stieľos lietderīgi noteiktizmantojot projekcijuatt. 3.14metodi. Lai noteiktu piepūlistatā 2-6 šķeļam kopni ar šķēlumu 1-1 un apskatam kopnes kreisās daļas līdzsvaru.Sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asiY P 2 VA N 0,/26no kura, ľemot vērā, ka V A =2P, iegūstamN2 6 3P/ 2.Tātad stienis N 2-6 ir spiests.Lai noteiktu piepūli atgāznī 2-7, šķeļam kopni ar šķēlumu 2-2 (att. 3.14b) un sastādāmspēku projekciju līdzsvara vienādojumu uz vertikālu asi kreisajai kopnes daļaino kura iegūstamNY VA P 2 P N 2 sin 0 ,2 7 P 2sin ./7Stienis N 2-7 ir stiepts. Nosakot N 2-7 vērtību, līdzsvara vienādojumā tika izmantota piepūlesN 2-7 vertikālā komponente N 2-7 sin.Mezglu izgriešanas metode. Mezglu izgriešanas metode ir projekciju metodes speciālgadījums,kad šķēlumu izvēlas tā, lai no kopnes atdalītu atsevišķu mezglu. Mezgluizgriešanas metodi var lietot, ja apskatāmajā mezglā saejošajos stieľos ir ne vairāk kādivas nezināmas piepūles, jo mezglam var sastādīt tikai divus neatkarīgus projekcijulīdzsvara vienādojumus. Šīs metodes trūkums ir tas, ka kļūda, kas pielaista aprēķinotpiepūli kādā no stieľiem, var iespaidot pārējo stieľu piepūļu aprēķinu. Tādēļ drošākiekšējo piepūļu noteikšanai lietot momentpunktu un projekciju metodes, bet mezglu49

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIizgriešanas metodi atstāt pārbauţu veikšanai. Mezglu izgriešanas metodi ieteicams lietottikai atsevišķiem mezgliem, kuriem šīs metodes pielietošana ir lietderīga.Atrisinājums. Lai aprēķinātupiepūli stienī A-1, sastādāmspēku projekciju līdzsvara vienādojumuuz vertikālu asi kreisajaiatšķeltajai kopnes daļai (att. 3.15b):Y P / 2 2Psin 01No šī vienādojuma iegūstam 3P/ 2sin1N AN A .Piemērs 3.5. Noteiksim attēlā3.15 parādītajai trīsstūrveidakopnei piepūles stieľos A-1 unA-4, izmantojot mezglu izgriešanasmetodi.Tātad, stienis A-1 ir spiests un pareizais piepūles N A-1 virziens ir pretējs izvēlētajam(tas ir vērsts uz mezglu A).Lai aprēķinātu piepūli stienī A-4, sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uzhorizontālu asi:X Natt. 3.15.No šī vienādojuma iegūstam, kaA Ncos( ) N4 3Pctg / 2 04 A 1A.N A 4 3Pctg / 2 .Stienis A-4 ir stiepts.Turpinot att. 3.15 parādītās kopnesaprēķinu ar mezglu izgriešanas metodikā nākošo varētu izvēlētiesmezglu 4, pēc tam mezglu 1, mezglu2, mezglu 5, un tā tālāk, kamērpiepūles visos stieľos būtu noteiktas.Diemţēl kļūda, kas radusies nosakotpiepūles kāda mezgla stieľos,att. 3.16radīs kļūdu arī visu pārējo pēc tamanalizējamo mezglu piepūļu aprēķinā.Piepūļu noteikšanas speciālie gadījumi. Daļā kopnes stieľu iekšējās piepūles var noteiktbez speciāliem aprēķiniem atbilstoši sekojošām īpašībām (var pierādīt izmantojotmezglu izgriešanas metodi):1. Ja neslogotā mezglā saiet divi stieľi, tad piepūles šajos stieľos ir vienādas arnulli;Šim nosacījumam attēlā 3.16 atbilst mezgli 1 un 7 un līdz ar to V 0 =O 1 =O 6 =V 6 =0.50

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAI2. Gadījumā, kad mezglā saiet divi stieľi un spēks, kas vērsts viena stieľa virzienā,tad piepūle šajā stienī ir vienāda ar spēku pēc moduļa un tam pretēji vērsta(attiecībā pret mezglu), bet piepūle otrā stienī ir vienāda ar nulli;Šim nosacījumam attēlā. 3.17 atbilst mezgli A un B: V 0 =V 4 =2P un ir spiesti, jo piepūleiattiecībā pret mezglu ir jābūt pretēji vērstai spēkam, tas ir virzienā uz mezglu,U 1 =U 4 =0.3. Gadījumā, kad neslogotā mezglā saiet trīs stieľi, no kuriem divi atrodas uzvienas taisnes, tad piepūles šajos stieľos ir vienādas pēc moduļa un pretēji vērstas(attiecībā pret mezglu), bet piepūle trešajā stienī ir vienāda ar nulli;Šim nosacījumam attēlā. 3.16 atbilst mezgli 3 un 5 un līdz ar to ir spēkā nosacījumiO 2 =O 3 , O 4 =O 5 , V 2 =V 4 =0.4. Gadījumā, kad mezglā saiet trīs stieľi, no kuriem divi atrodas uz vienas taisnesun spēks, kas vērsts trešā stieľa virzienā, tad piepūle trešajā stienī ir vienāda arspēku pēc moduļa un tam pretēji vērsta, bet piepūles pirmajos divos stieľos irvienādas pēc moduļa un pretēji vērstas.Šim nosacījumam attēlā. 3.16 atbilstmezgli 8, 10 un 12.Līdz ar to U 1 =U 2 , U 3 =U 4 , U 5 =U 6 ,V 1 =V 3 =V 5 =P (stiepti stieľi). Analogsmezgls attēlā 3.17 ir mezgls 3.Nullstieľi. Aprēķinot kopnes, sastopamigadījumi, kad daţos stieľos pie dotāsslodzes iekšējās piepūles nerodas. Tādusatt. 3.17stieľus sauc par nullstieľiem. Kopnesaprēķina daţādām slodzēm (pašsvaram,sniega vai vēja spiedienam). Elementos, kas ir nullstieľi attiecībā uz vienu slodzi, citasslodzes gadījumā var rasties piepūles. Sastopami arī tādi stieľi, kuros piepūles nerodasneatkarīgi no slodzes veida. Šādiem stieľiem ir konstruktīva nozīme un tos lieto citustieľu, it īpaši garu spiesto stieľu brīvā garuma samazināšanai.Piemērs 3.6. Aprēķināt piepūles att.3.18 dotās lauztas kontūras kopnesstieľos. Kopne slogota pa augšējojoslu ar vienmērīgi izkliedētu slodziq=10kN/m. Kopnes augstums h=4,5m, bet laidums l=6d=18m.Atrisinājums. Uzsākot kopnes aprēķinuizkliedētā slodze jāpārveidopar koncentrētiem spēkiem, kas pieliktikopnes mezglos. Ja izkliedētāslodze izvietota paneļos uz abāmpusēm no mezgla, koncentrētā spēkalielums ir qd=30 kN, ja uz vienuatt. 3.1851

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIpusi – qd/2=15 kN (att. 3.18b).Nosakot balstu reakcijas iegūsim, ka abas reakcijas ir vienādas ar 90 kN. Tā kā gankopne, gan slodze ir simetriskas, pietiek noteikt piepūles vienai kopnes pusei, piemēram,kreisajai. Labajā pusē simetriski novietotos stieľos piepūles būs analogas.Aprēķinu ir lietderīgi sākt novērtējot, vai kādā no mezgliem neizpildās piepūļu noteikšanasspeciālgadījumu noteikumi. Atbilstoši piepūļu noteikšanas speciālgadījumu trešajampunktam (neslogotā mezglā saiet trīs stieľi) konstatējam, ka :N 1-6 =N 3-8 =0; N A-6 =N 6-7 ; N 7-8 =N 8-9 .no kura iegūstamPārējo piepūļu noteikšanai varam izmantot daţādas metodes.Piepūles stieľos A-1 un A-6 varam noteikt ar šķēlumu 1-1 izgrieţotmezglu A un sastādot tam spēku projekciju līdzsvara vienādojumusuz vertikālu un horizontālu asi. Sākotnēji pieľemam, kastieľi ir stiepti, t.i. piepūles vērstas no mezgla A.Projekciju summa uz vertikālu asi dod vienādojumuY 15 90 N A 1sin 45 0 ,15 90/sin(45) 106, kNN A 1 .1Tātad, stienis A-1 ir spiests un pareizais piepūles N A-1 virziens ir pretējs pieľemtajam(tātad uz mezglu).Lai aprēķinātu piepūli stienī A-6, sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumu uzhorizontālu asi:no kura iegūstamX N A N cos 45 0 ,6 A1NA6 NA1cos 45 75kN.Stienis A-6 ir stiepts.N 89, 44kN1 2 .Lai noteiktu piepūles N 1-2 un N 1-7 izvēlamies šķēlumu2-2. Piepūles N 1-2 aprēķinam par momentpunktuizvēlamies punktu, kurā krustojas divi pārējie pārgrieztiestieľi, tas ir punktu 7, un sastādām momentulīdzsvara vienādojumu:M7 N12 r12VA6 303156 0 .Ľemot vērā, ka r 12 =4,03 m, no šī vienādojuma iegūstam:Tā kā rezultāts ir negatīvs, tad stienis 1-2 ir spiests.Piepūles N 1-7 noteikšanai izmantojamais momentpunkts K atrodas ārpus kopnes robeţām.Sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu k, iegūstam:52

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIM N1 7 r17153306VA a 0k.Ľemot vērā, ka r 17 =6,36 m, iegūstam:N 7, 08kN1 7 .Piepūļu N 2-3 un N 2-7 noteikšanu veicam izgrieţot ar šķēlumu3-3 mezglu 2. Zināmo piepūli N 1-2 pieliekam pareizā virzienā,t.i. virzienā uz mezglu, jo stienis 1-2 ir spiests.Mezglam 2 sastādām spēku projekciju līdzsvara vienādojumusuz vertikālu un horizontālu asi:Y N27 30 N12cos63,43 0 ;X N 2 3 N12sin63,43 0 .No šiem vienādojumiem iegūstam:N2 7 10kN un N2 3 80kN.Piepūļu N 3-7 un N 7-8 noteikšanai izmantojam šķēlumu4-4. Tā kā trešajā panelī augšējā un apakšējākopnes josla ir paralēlas, piepūles N 3-7 noteikšanailietderīgi izmantot spēku projekciju summu uz vertikāluasi:Y N37sin56,31 VA 15 30 30 0 ,no kuras iegūstam:N 18kN3 7 .Tātad stienis 3-7 ir spiests.Piepūli N 7-8 varam iegūt par momentpunktu izmantojot mezglu 3. Tādā gadījumā iegūstam:M N 4,5 303 306159V9 0 .3 7 8ANo šī vienādojuma nosakām, kaN 90kN7 8 .Esam aprēķinājuši piepūles kopnes kreisās puses stieľos. Simetriski slogotas simetriskaskopnes gadījumā simetriskos stieľos piepūles ir vienādas.53

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIAprēķina rezultātus attēlojotgrafiskā veidā stieptos stieľusparādam ar bultām vērstāmno mezgliem, spiestosar bultām vērstām uz mezgliem,nullstieľus bez bultām.Katram stienim pievienojampiepūles skaitliskovērtību (pozitīvu neatkarīgino tā vai stienis ir stiepts vai spiests). Jāparāda arī pieliktās ārējās slodzes un balstureakcijas.Atrasto piepūļu pārbaudi varam veikt izmantojot mezglu izgriešanasmetodi. Piemēram, izgrieţot 7 mezglu, pārbaudei iegūsimsekojošus līdzsvara vienādojumus:54X 75 7,08cos45 18cos56,31900;Y 10 7,08sin 45 18sin56,310.Kopnes aprēķins starpmezglu slodzes gadījumā. Praksē sastopami gadījumi, kadslodze pielikta starp mezgliem un darbojas tieši uz kopnes stieni. Aprēķinot kopni, uzkuru darbojas starpmezglu slodze, šo slodzi aizstāj ar divām komponentēm, kuras tiekpieliktas mezgliem slogotā paneļa galos. Pēc tam nosaka aksiālspēkus visos kopnesstieľos, tai skaitā arī ar starpmezglu slodzi slogotajos. Stieľos, kuriem pielikta starpmezgluslodze, darbojas ne tikai aksiālspēki, bet arī lieces momenti, un šie stieľi tiekvienlaicīgi stiepti (spiesti) un liekti. Lai aprēķinātu lieces momentu jebkurā apskatāmāstieľa šķēlumā, stieni uzskata par brīvi balstītu divbalstu siju, uz kuru darbojas starpmezgluslodze.Pilnu spriegumu stienī, kas slogots ar starpmezglu slodzi, aprēķina kā summu, kurusastāda kopnes stieľa aksiālspēkam atbilstošais spriegums un liektas sijas normālspriegums: N A M W ,kur N - ass spēks stienī;A - stieľa šķērsgriezuma laukums;M - lieces moments;W - stieľa šķērsgriezuma pretestības moments.Lai izvairītos no kopnes stieľu lieces, starpmezglu slodzi parasti cenšas pārnest uzkopnes mezgliem ar konstruktīviem paľēmieniem.3.4.4. Piepūļu salīdzinājums dažāda veida kopnēmSalīdzinot daţāda veida kopnes, var konstatēt, ka ekonomiski izdevīgākas ir tādas kopnes,kurām mazāks svars, mazāks mezglu skaits un vienkāršāks mezglu izveidojums.Kopnes svars atkarīgs kā no stieľu šķērsgriezuma, tā arī no to summārā garuma. Salīdzināsimtrīs simetrisku siju kopľu tipus — paralēlo joslu, trīsstūrveida un parabolveidakopni, kam laidums, augstums un paneļu skaits vienāds, pieľemot, ka uz tām darbojas??

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIvienāda lieluma simetriska lejupvērsta mezglu slodze pielikta pa augšējo joslu. Šādāskopnēs augšējā josla ir spiesta, apakšējā josla — stiepta, bet statos un atgāţľos aksiālspēkuzīmes ir pretējas. Kopnes augstumam samazinoties, joslu stieľos piepūles pieaug.Aksiālspēku epīras katram kopľu veidam (puskopnei) parādītas att. 3.19a, b, c. Epīrāskatra iesvītrotā laukuma platums noteiktā mērogā attēlo arī attiecīgā kopnes stieľa teorētiskošķērsgriezuma laukumu.Paralēlo joslu kopnes. Šīm kopnēm (att. 3.19a) piepūles joslās vidējos paneļos ir lielākasnekā malējos, bet piepūles reţģa stieľos — vidējos paneļos mazākas nekā malējos.Uz vidu kāpjošie atgāţľi ir spiesti, bet uz vidu krītošie atgāţľi — stiepti. Aksiālspēkiemstatos un atgāţľos zīmes ir pretējas. Tērauda kopnēm ieteicamāks ir reţģis,kurā garākie stieľi (atgāţľi) ir stiepti, bet īsākie stieľi (stati) — spiesti, jo īsākiem stieľiemmazāk jāpalielina šķērsgriezums noturības zuduma dēļ.att. 3.19Paralēlo joslu kopnēm stieľu kopējais garums ir lielāks, bet piepūles stieľos un stieľušķērsgriezumi - mazāki nekā tāda paša laiduma trīsstūrveida kopnēs. To pašsvars irmazāks nekā trīsstūrveida kopnēm.Ja joslu stieľu garums atbilst paneļa garumam, tad katrā mezglā jāizveido salaide, ja joslustieľus ľem vairāku paneļu garumā, tad šo stieľu materiāls malējos paneļos tiek nepilnīgiizmantots, toties salaiţu skaits samazinās. Šo kopľu elementus var standartizēt.Paralēlo joslu kopnes lieto tilta celtľu sijām, ēku karkasos, jumta kopľu balstīšanai,tiltu būvniecībā tiltiem ar laidumu līdz 50 m.Trīsstūrveida kopnes. Šīm kopnēm (att. 3.19b) spēki joslās vidējos paneļos ir mazākinekā malējos, bet spēki reţģa stieľos — vidējos paneļos lielāki nekā malējos. Uz vidukāpjošie atgāţľi ir stiepti, bet uz vidu krītošie atgāţľi — spiesti. Tā kā piepūles un līdzar to arī stieľu šķērsgriezumi katrā panelī ir citādi, tad katrā mezglā jāizveido savienojums.Balstu mezglu konstrukcija ir sareţģīta, jo malējos joslu stieľos ir vislielākāspiepūles un leľķis starp joslām ir šaurs.Salīdzinājumā ar citiem kopľu tipiem trīsstūrveida kopnēm stieľu kopējais garums ganir mazāks, bet joslu stieľu šķērsgriezumi ir vislielākie un tās ir vissmagākās.Trīsstūrveida kopnes lieto divslīpu jumtiem, ja nepieciešams samērā stāvs jumts.Parabolveida kopnes. Šīm kopnēm (att. 3.19c) augšējās joslas mezgli atrodas uz parabolas.Piepūles visos augšējās joslas stieľos ir vienādas, tāpat arī visos apakšējās joslasstieľos, bet reţģa stieľos piepūles nerodas. Ja simetriska slodze pielikta arī apakšējosmezglos, tad visos statos rodas nelielas, vienādas piepūles, bet atgāţľos piepūles nerodas.Šī kopne darbojas līdzīgi lokam ar savilci. Visu augšējās joslas stieľu šķērsgriezumi,tāpat arī visu apakšējās joslas stieľu šķērsgriezumi ir vienādi, reţģa stieľu šķērsgriezumiir nelieli. Paraboliskām kopnēm izliece ir lielāka nekā pārējiem kopľu tipiem.Katrā augšējās joslas mezglā jāizveido salaide.55

3. ŠĶĒLUMU METODE STIEĽU SISTĒMU IEKŠĒJO PIEPŪĻU NOTEIKŠANAIJa konstruē kopni, kurā tikai katrs otrais augšējās joslas mezgls atrodas uz parabolas,iegūst pusparabolisku kopni. Salīdzinājumā ar parabolisko kopni piepūles stieľos šajākopnē izmainās nedaudz, bet salaiţu skaits augšējā joslā ir divas reizes mazāks.Parabolisko kopľu svars ir mazāks nekā pārējiem kopľu tipiem. Tās lieto tiltu būvniecībātiltiem ar laidumu līdz 150 m, kā arī liela laiduma jumtu konstrukcijām.Rūpniecības ēku jumtiem lieto arī metāla trapecveida kopnes ar trīsstūra reţģi, jo tām irvienkāršāks mezglu izveidojums un spēki joslās mazāki nekā trīsstūrveida kopľu joslās.56

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASKonstrukciju droša ekspluatācija lielā mērā atkarīga no pielietoto materiālu fizikālimehāniskajām īpašībām. Šīs īpašības tiek pētītas laboratorijās, noslogojot paraugstieľuslīdz sagrūšanai.Svarīgākās materiālu mehāniskās īpašības, kuru kvantitatīvos raksturotājus nosakaeksperimentāli, irelastība — materiāla spēja atgūt sākotnējo formu un izmērus pēc slodzes noľemšanas;plastiskums — materiāla spēja pie noteiktām slodţu vērtībām nesagrūstot iegūtlielas paliekošās deformācijas;stiprība — materiāla spēja nesagrūstot pretoties slodţu iedarbībai tikmēr, kamērspriegumi nesasniedz noteiktu kritisku robeţlielumu; cietība — materiāla spēja pretoties cita ķermeľa iespiešanai tajā.Materiāliem, kurus lieto paaugstinātu temperatūru apstākļos, piemēram, tvaika katlos,turbīnās, kurtuvēs u.c., mehāniskās īpašības nosaka pie augstām temperatūrām.Mūsdienās pielietojamo konstruktīvo materiālu īpašību mehānisko pārbauţu daţādībunosaka plašais šo materiālu sortiments un to ekspluatācijas īpatnības. Pēc ārējo spēkupielikšanas rakstura tās iedalās statiskajās pārbaudēs, dinamiskajās pārbaudēs (kā arciklisku tā arī ar triecienveida slodzi) un materiāla ilgizturības pārbaudēs, kad slodzeiedarbojas ilglaicīgi.Mehāniskās pārbaudes var klasificēt pēc deformāciju veida. Paraugstieľu pārbaudestiek veiktas stiepē, spiedē, cirpē, vērpē un liecē. Visplašāk pielieto materiālu statiskāspārbaudes stiepē, jo šajās pārbaudēs iegūtie mehāniskie raksturotāji ļauj samērā precīzinoteikt materiāla izturēšanos arī citos deformāciju veidos; pie tam stiepes pārbaudesvieglāk realizēt.Pārbaudi spiedē izdara galvenokārt tādiem materiāliem kā akmens, betons, ķieģeļi, u.c.,kuri arī konstrukcijās vairumā gadījumu strādā spiedes apstākļos.Pēc mehāniskajām īpašībām materiālus var iedalīt divās pamatgrupās — plastiskos untrauslos materiālos. Plastiskie materiāli pirms sagrūšanas iegūst lielas paliekošās deformācijas.Trausliem materiāliem praktiski līdz sabrukumam paliekošās deformācijasneveidojas. Parastos apstākļos plastiski materiāli ir mazoglekļa tērauds, bronza, varš,bet trausli materiāli — daţas speciālas tērauda šķirnes, čuguns, akmens, stikls, ķieģeli.4.1. Mazoglekļa tērauda stiepes diagramma un tās raksturīgie punktiLai iegūtu uzskatāmu priekšstatu par materiāla izturēšanos stiepes vai spiedes apstākļos,konstruē līkni, kas raksturo sakarību starp pārbaudāmā paraugstieľa pagarinājumu(saīsinājumu) un darbojošos spēku lielumu, t.s. stiepes vai spiedes diagrammu. Šādudiagrammu var iegūt, pārbaudot materiāla paraugstieni speciālā mašīnā, kas apgādātaar ierīcēm, kuras automātiski pieraksta paraugstieľa stiepes un spiedes gaitu. Uz diagrammasabscisu ass atliek pārbaudāmā paraugstieľa absolūto pagarinājumu vai saīsinājumul, uz ordinātu ass — pārvietojumam atbilstošo spēka P vērtību.57

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASPārbaudāmā paraugstieľa šķēlumos aksiālspēks ir skaitliski vienāds ar ārējo, stiepesspēku P lielumu: N = P.Mazoglekļa tērauda paraugstieľastiepes diagramma redzama att. 4.1.Zem diagrammas parādīta paraugstieľaforma atbilstoši daţādām spēkavērtībām. Līdz spēka lielumam, kasatbilst diagrammas punktam P, pastāvlineāra sakarība starp pagarinājumaun spēka lielumiem — materiāls pakļaujasHuka likumam, t.i., deformācijaproporcionāla spēkam. Aiz punktaP Huka likums vairs nav spēkā:pagarinājums aug intensīvāk nekāspēks — taisne OP pāriet līknē PET,kuras izliekums vērsts uz augšu.Spriegumu, kas atbilst diagrammaspunktam P un ir vienāds aratt. 4.1 P P A (A — paraugstieľašķērsgriezuma sākotnējais laukums) sauc par materiāla proporcionalitātes robeţu.58Punkts E atbilst materiāla elastības robeţai. Elastības robeţa ir lielākaisspriegums, pie kura paliekošā deformācija salīdzinājumā ar elastīgo deformācijuvēl ir tik niecīga, ka materiālu var uzskatīt par elastīgi deformētu.Līkne PET punktā T pāriet horizontālā vai gandrīz horizontālā taisnē TT’,kas norāda uz ievērojamu paraugstieľa garuma pieaugumu, spēkam P nemainotiesvai ļoti nedaudz pieaugot. Par šo posmu mēdz teikt, ka materiālstek.Spriegumu T P TA (to nosaka diagrammas posma TT’ ordināte), piekura sākas materiāla tecēšana, sauc par tecēšanas robeţu. Pie šīs spriegumavērtības būtiski aug paliekošās (plastiskās) deformācijas. Spriegumiematt. 4.2 sasniedzot tecēšanas robeţu, paraugstieľa pulētā virsma pakāpeniski kļūstblāva un matēta. Uz virsmas parādās līnijas, kas vērstas apmēram 45° leľķīpret paraugstieľa asi (att. 4.2). Šīs līnijas sauc par Černova — Lidersa līnijām, toparādīšanās liecina par materiāla kristālu nobīdes veidošanos.Aiz posma TT’ diagrammā (att. 4.1) seko lēzens līknes posms T’B. Materiāls atkal sākpretoties deformācijas pieaugumam, bet sakarība starp deformāciju un spēku, protams,vairs nepakļaujas Huka likumam. Līdz ar elastīgo pagarinājumu paraugstienis iegūstarī ievērojamu paliekošo pagarinājumu.Diagrammas posmu T’B sauc par nocietināšanās zonu. Kaut gan šajā posmā deformācijasattīstās pietiekami intensīvi, pretstatā posmam TT’ materiāls atkal sāk pretotiesdeformācijām.Diagrammas punkts B atbilst maksimāli iespējamai spēka vērtībai P max . Sasniedzot šo

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASspēka vērtību, paraugstienī veidojas krass vietējs sašaurinājums, t.s. kakliľš, iezīmējastopošā pārrāvuma vieta. Paraugstienis stipri pagarinās uz kakliľa plastiskās deformācijasrēķina. Kakliľa šķērsgriezums samazinās, tāpēc paraugstieľa pārraušanai vajadzīgsspēks, kas ir mazāks par P max . To parāda diagrammas posms BK, kas noliecas uz leju,tuvāk abscisu asij. Faktiskie spriegumi kakliľa šķēlumā nesamazinās, bet visu laikuaug, jo kakliľa šķērsgriezuma laukums samazinās intensīvāk nekā spēks P. Paraugstieľasagrūšana notiek pie noteiktas spēka vērtības P 0 , kas ir mazāka par P max .Lielums K P 0AK, kur AK— paraugstieľa šķērsgriezuma laukums pārrāvumavietā, nosaka pārraušanas faktisko spriegumu.Par plastisku materiālu (tiem pieder arī mazoglekļa tērauds) stiprības raksturotāju stiepesgadījumā uzskata tecēšanas robeţu T P TA, jo lielu paliekošo deformāciju rašanāssamazina konstrukcijas elementa stiprību.Pārbaudes laikā konstatētā lielākā spēka P max un paraugstieľa šķērsgriezuma sākotnējālaukuma A attiecību B PmaxA sauc par materiāla nosacīto stiprības robeţu. Šorobeţspriegumu var uzskatīt par lielāko nosacīto, t.i., pret šķērsgriezuma sākotnējolaukumu attiecināto, spriegumu, kuru materiāls izturējis pārbaudes laikā. Nosacītāsstiprības robeţas lielums vienmēr ir diezgan ievērojami mazāks par pārraušanas faktiskospriegumu. Nosacītās stiprības robeţas, bet nevis faktisko spriegumu izmantošanapar plastiska materiāla stiepes praktisku raksturotāju izskaidrojama ar to, ka par stieľastiprību var spriest tikai pēc tā šķērsgriezuma sākotnējā laukuma, jo tikai tam var iegūtnoteiktus datus (no rasējuma vai izmērot paraugstieni).Lai vērtētu stieľa stiprību pēc pārraušanas faktiskā sprieguma lieluma, jāzina kakliľašķērsgriezuma laukums pārrāvuma vietā. Šo laukumu nevar precīzi nosacīt iepriekš,projektējot un izgatavojot stieni. Turklāt nosacītās stiprības robeţas lielums, reizinātsar projektējamā vai izgatavojamā stieľa šķērsgriezuma sākotnējo laukumu, sniedz pietiekamiprecīzu priekšstatu par tā vislielākā stiepes spēka lielumu, kuru stienis var izturētnesagrūstot. Šis spēks raksturo stieľa stiprību.No stiepes diagrammas, kas zīmēta P un l koordinātēs, dalot visas ordinātu vērtības arA, bet abscisu vērtības ar l, var iegūt diagrammu, kas zīmēta un koordinātēs, kurPl , .AlParaugstieľa šķērsgriezuma sākotnējais laukums A un sākotnējais garums l ir pastāvīgilielumi, tāpēc jaunajās koordinātēs zīmētās stiepes diagrammas izskats ir tāds pats kā Pun l koordinātēs (att. 4.1), tikai ordinātu un abscisu mērogi ir citādi.Stiepes diagramma un koordinātēs ir ērtāka un labāk atspoguļo materiāla īpašības,jo šī diagramma nav atkarīga no pārbaudāmā paraugstieľa ģeometriskajiem izmēriem— tā garuma l un šķērsgriezuma laukuma A .4.2. Plastiskuma raksturotāji. UzkaldeMazoglekļa tēraudu un citus plastiskus materiālus pārbaudot stiepē, vienlaikus ar proporcionalitātesrobeţas, tecēšanas robeţas un nosacītās stiprības robeţas vērtībām no-59

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASsaka arī paliekošo relatīvo pagarinājumu un šķērsgriezuma laukuma relatīvo sašaurinājumu pārrāvuma vietā. Šie lielumi ir materiāla plastiskuma raksturotāji. Abus šoslielumus izsaka procentos pēc formulāmkurl pal 100% ; lA AK 100%A , lpal— paliekošais pagarinājums pārrāvuma gadījumā;AK— šķērsgriezuma laukums pārrāvuma vietā.Paraugstienim ar apaļu šķēlumuAK2dK ;4Jo lielākas ir un vērtības, jo materiāls ir plastiskāks un tas līdz sagrūšanai sasniedzlielākas plastiskās deformācijas. Parametra vērtība ir jo lielāka, jo vairāk diagrammaizstiepta abscisu ass virzienā, savukārt vērtība ir jo lielāka, jo garāks ir diagrammasposms BK (att. 4.1), kuram atbilst kakliľa rašanās un attīstība.Noskaidrots, ka lielumi un ir atkarīgi no paraugstieľa garuma un šķērsgriezumaizmēru attiecības. Tāpēc, lai eksperimentālajās pārbaudēs iegūtu salīdzināmus rezultātus,pielieto standartizētus stieľus, visbieţāk apaļus, ar sākotnējā garuma un diametraattiecību l / d 10vai l / d 5.Paliekošais relatīvais pagarinājums «īsiem» stieľiem ( 5 ) vienmēr ir lielāks nekā «gariem»stieľiem ( 10 ). Tas notiek tādēļ, ka plastiskās deformācijas zona (kakliľa zona)«īsajā» paraugstienī aizľem relatīvi vairāk vietas nekā «garajā» paraugstienī.Jo plastiskāks ir materiāls, jo vairāk darba vajadzīgs tā pārraušanai, jo lielāku triecienakinētisko enerģiju šis materiāls var absorbēt. Tāpēc materiāli, kuru plastiskuma raksturotāji un ir augsti, labi uzľem triecienveida slodzes.Att. 4.1 redzamā stiepes diagramma raksturīga mazoglekļatēraudiem. Vairumam citu plastisku materiālu,piemēram, varam, bronzai, daţām speciālotēraudu šķirnēm, diagrammā nav spilgti izteiktatecēšanas posma.Attēlā 4.3 redzama bronzas stieľa stiepes diagramma.Lai šajā gadījumā iegūtu raksturotāju, kasatbilst tecēšanas robeţai, par nosacīto tecēšanasatt. 4.3robeţu pieľemts uzskatīt spriegumu, pie kura pārbaudāmāparaugstieľa paliekošais pagarinājumsatbilst 0,2% no paraugstieľa sākotnējā garuma. Aptuveni tādu pagarinājumu ir ieguvismazoglekļa tērauda paraugstienis, sasniedzot tecēšanas robeţu. Nosacīto tecēšanas robeţuapzīmē ar 0,2 .60

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASJa mīksta tērauda paraugstieni noslogo līdz spriegumam,kas ir mazāks par elastības robeţu, un pēc tam atslogo,paraugstienis neiegūst nekādas paliekošās deformācijasun tā mehāniskās īpašības pēc atslogošanas nemainās.Turpretī, ja paraugstieni iepriekš noslogo līdz spriegumam,kas ir augstāks par tecēšanas robeţu, atkārtotās noslodzesparaugstieľa mehāniskās īpašības atšķiras no sākotnējām.Pieľemsim, ka plastiska, mīksta tērauda paraugstienisnoslogots līdz spriegumam, kas pārsniedz tecēšanasrobeţu (stiepes diagrammā šo spriegumu raksturopunkts Z att. 4.4). Tad, noľemot slodzi, diagrammāparādās atslodzes līnija ZO 1 . Tā ir paralēla diagrammasposmam OP, kura robeţās materiālam izpildās Huka likums.Pēc atslogošanas paraugstienis saglabā noteiktalieluma paliekošo deformāciju pal bet pilnās deformācijasatt. 4.4elastīgā daļa el izzūd. No līniju OP un ZO 1 paralelitātesvar secināt, ka elastīgās deformācijas paraugstienī rodasarī aiz proporcionalitātes robeţas, pie tam šīs deformācijas tāpat kā iepriekš atbilst Hukalikumam.Tātad pilnā deformācija aiz tecēšanas robeţas sastāv no paliekošās jeb plastiskās unelastīgās deformācijas: pal el.Paraugstieni slogojot atkārtoti, deformēšanās līkne attiecībā pret sākotnējo ir izmainījusies.Tai atbilst līnija O 1 P’T’ (att. 4.4). Kā redzams, materiāla proporcionalitātes robeţapaaugstinās un iegūst apmēram tā sprieguma vērtību, kurš darbojās paraugstienī pirmspirmās atslogošanas. Ja paraugstienim pēc atslogošanas jauj noteiktu laiku «atpūsties»un pēc tam atkal to izstiepj, proporcionalitātes robeţa paaugstinās vēl vairāk (līnijaO 1 P’’T‖). Acīm redzot, iepriekš virs tecēšanas robeţas slogota paraugstieľa paliekošaispagarinājums ir ievērojami mazāks nekā tā paša paraugstieľa paliekošais pagarinājums,vienreiz noslogojot līdz pārraušanai.Proporcionalitātes robeţas paaugstināšanu un plastiskuma samazināšanu, ko panāk,materiālu iepriekš noslogojot virs tecēšanas robeţas, sauc par uzkaldi. Uzkaldes ietekmeuz tēraudu analoga rūdīšanas ietekmei. Daţādās tehnikas nozarēs uzkaldinājumamir atšķirīga nozīme. Daţreiz uzkaldinājums ir vēlams un to rada apzināti, piemēram, aruzkaldi (aukstā vilkšana) iegūst lielas izturības vadus, uzkaldina arī pacēlāju ķēdes.Citos gadījumos uzkaldinājums ir kaitīgs un to cenšas novērst. Piemēram, tērauda konstrukcijuelementu uzkaldinājuma likvidēšanai ieteicams konstrukciju elementus sakarsētlīdz T = 200 ... 300 °C un lēnām atdzesēt. Nevēlams ir arī uzkaldinājums, kas rodas,materiāla loksnē sitot caurumus kniedēm. Lai noľemtu uzkaldināto slāni, pirms kniedēšanascaurumi jāpārurbj uz lielāka diametra urbi.Uzkaldināta materiāla nosacītā stiprības robeţa paliek tāda pati kā pirms uzkaldes.61

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBAS4.3. Trauslu materiālu stiepes diagrammaTrauslu materiālu stiepes diagrammas ievērojami atšķiras no jau aplūkotajām plastiskumateriālu stiepes diagrammām. Te nav tecēšanas posma, paraugstieľu pārraušana notiekpie niecīgām paliekošajām deformācijām neveidojoties kakliľam. Trauslie materiālislikti pretojas stiepei. Daţi trauslie materiāli nepakļaujas Huka likumam jau noslogošanassākumposmā, t.i., pie maziem spriegumiem. Tomēr to stiepes spriegumu robeţās,kuri darbojas trauslu materiālu konstrukcijās, minētā novirze ir neliela, un aprēķinosto neievēro.Trausla materiāla (čuguna) paraugstieľa stiepesdiagramma redzama att. 4.5.Par trauslu materiālu stiprības raksturotāju pieľempārrāvuma momentam atbilstošā vislielākāstiepes spēka P max un paraugstieľa šķērsgriezumasākotnējā laukuma A attiecību. Šo attiecību saucpar stiprības robeţu un apzīmē ar B , tātadPmaxB .APlastiskiem materiāliem par stiprības raksturotājupieľem nosacīto stiprības robeţu — nosacītuatt. 4.5spriegumu, ko aprēķina pēc lielākā spēka, kuruparaugstienis iztur pārbaudes laikā. Šis spēks, piekura tikai sākas kakliľa veidošanās, bet paraugstieľa pārraušana vēl nenotiek, neatbilstfaktiskā pārraušanas spēka lielumam. Trausliem materiāliem par stiprības raksturotājupieľem stiprības robeţu — spriegumu, kas atbilst pārrāvumam. Tā kā, pārbaudot trauslumateriālu paraugstieľus stiepē, kakliľa veidošanās nav novērojama un šķērsgriezumalaukums pārbaudes laikā gandrīz nemainās, pārraušanas spēks atbilst pārbaudeslaikā konstatētajam vislielākajam spēkam; stiprības robeţa ir gandrīz vienāda ar faktiskospriegumu, kas darbojas paraugstieľa pārraušanas brīdī.4.4. Plastisku un trauslu materiālu spiedes diagramma. Stiprības raksturotājiPlastiska materiāla (mazoglekļa tērauda) tipiska spiedes diagramma parādīta att. 4.6a.Pārbaudes sākumā materiāls izturas tāpat kā stiepes pārbaudē, pie tam proporcionalitātesun tecēšanas robeţu vērtības ir aptuveni vienādas. Toties tecēšanas posma garumsizrādās ievērojami mazāks nekā stiepes diagrammā.Turpinot palielināt slodzi, rodas ievērojamas paliekošās deformācijas, kuru rezultātāparaugs stipri saīsinās, bet tā šķērsgriezuma izmēri pieaug. Cilindrisks paraugstienis,pastāvot berzei starp tā pamatiem un preses plāksnēm, iegūst mucveida formu (att.4.6b). Tālāka slodzes pieauguma rezultātā paraugstienis saplok, pie tam bez redzamāmsagrūšanas pazīmēm. Paraugstienim saplokot, tā šķērsgriezuma laukums spiedes spēkapieauguma dēļ palielinās (att. 4.6b). Šis process liek secināt, ka šeit neeksistē graujošaisspēks tādā nozīmē kā stiepes gadījumā, tāpēc termins «nosacītā stiprības robeţa»plastisku materiālu spiedē zaudē jēgu.62

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASPlastiskos materiālus parasti spiedē nepārbauda. Pamatojoties uz stiepes un spiedestecēšanas robeţu vienādību, pretestību spiedei pieľem tādu pašu kā pretestību stiepei.att. 4.6Trauslie materiāli (akmens, čuguns) spiedē, tāpat kā stiepē, sagrūst pie loti mazām paliekošodeformāciju vērtībām; spiedes diagrammai (att. 4.7) ir aptuveni tāds pats raksturskā stiepes diagrammai, bet stiprības robeţa spiedē ir daudz augstāka nekā stiepē,t.i., trauslie materiāli spiedei pretojas daudz labāk nekā stiepei. Stiprībasrobeţu spiedē apzīmē ar B sp .Paraugstieľu sagrūšanas veids stiepē un spiedē ir daţāds. Noskaidrots,ka materiāla sagrūšana slodzes iespaidā var notikt, pārvarot materiālapretestību atraušanai vai bīdei (cirpei).Parastos deformēšanas apstākļos trauslie materiāli kā stiepē, tā spiedē sagrūst atraušanāsrezultātā. Stiepes gadījumā paraugstieľa pārrāvumsnotiek pa šķērsgriezumu, kur darbojas tikainormālie spriegumi. Spiedes gadījumā, palielinotiesšķērsizmēriem, atraušanās notiek paraugstieľa asijparalēlos laukumiľos, t.i., paralēli spēka virzienam.Piemēram, spieţot akmens kubu (preses plāksnēmpiespiestās virsmas berzes samazināšanai klātas aratt. 4.9parafīnu), paraugs sagrūst tāpēc, ka garenšķēlumosnotiek atraušanās (att. 4.9a). Ja starp preses plāksnēm un parauga virsmām pastāv ber-Vienkāršas stiepes gadījumā plastisku materiālu paraugstieľisagrūst cirpes dēļ, maksimālajiem tangenciālajiemspriegumiem max darbojoties šķēlumos,kas vērsti 45° leľķī pret paraugstieľa asi. Plastiskamateriāla pārrāvuma vietā (att. 4.8) vienā paraugstieľadaļā parasti rodas padziļinājums, bet otrā — tamatt. 4.7 atbilstošs nošķelts konuss, kura veiduļu slīpuma leľķispret paraugstieľa asi ir apmēram 45°. Padziļinājumadibens arī nav līdzens, jo tajā rodas «zobiľi» ar aptuveni tādiempašiem leľķiem. Tangenciālie spriegumi rada arī plastiskās deformācijas,piemēram, tērauda tecēšanu.att. 4.863

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASze, process kļūst sareţģītāks. Paraugs sagrūstot iegūst att. 5.9b attēloto formu — sānudaļas izdrūp un paraugs atgādina divas nošķeltas, ar mazajiem pamatiem kopā saliktaspiramīdas. Arī šajā gadījumā sagrūšana notiek atraujoties, tikai pa plaknēm, kas vērstasslīpi attiecībā pret parauga asi.4.1. tabulā sakopotas galveno konstrukcijās lietojamo materiālu stiprību raksturojošoparametru skaitliskās vērtības.Tabula 4.1Materiāls64Konstrukcijās lietojamo materiālu mehāniskie raksturotāji [4]Tecēšanas robeţa TMPa(N/mm 2 )kG/cm 2Nosacītā stiprības robeţa(vai stiprības robeţa) stiepēMPa(N/mm 2 ) BstkG/cm 2Stiprības robeţa spiedē BspMPa(N/mm 2 )kG/cm 2Tēraudi:mazoglekļa ≥206 ≥2100 372...461 3800...4700 — —speciālie ≥352 ≥3600 637...1175 6500...12000 — —Tēraudastieple≥392 ≥4000 1470...1763 15000...18000 — —Čuguns392...108— — 117...275 1200...2800(pelēkais)04000...11000Varš — — 196...490 2000... 5000 — —Alumīnijasakausējumi196...373 2000...3800 216... 480 2200...4900 — —Priedešķiedru virzienā— — 78...98 800...1000 39...59 400...600Ozolsšķiedru virzienā— — 98...118 1000...1200 49...69 500...700Granīts — — 4...8 40...80 118...254 1200...2600Smilšakmens — — 1,5...3 15...30 39...147 400...1500Ķieģeļi — — — — 8...29 80...300Betoni — — — — 5...58 50...600Tekstolīts — — 83...98 850...1000 226...245 2300...2500Getinakss — — 79...98 800...1000 235...333 2400...3400Stikls — — — — 24,5 250Vinilplasts — — 39...59 400...600 — —Celuloīds — — 44...49 450...500 — —Polivinilhlorīds — — 4,4...5 45...50 — —Kaprons — — 59...64 600...650 — —Jāatzīmē, ka ne jau vienmēr iespējams tieši noteikt materiāla mehāniskos raksturotājus.Kā jau minēts, mehānisko pārbauţu veikšanai nepieciešami speciāli paraugstieľi arnoteiktu formu un izmēriem, kas atkarīgi no materiāla (metāls, akmens, plastmasa,koks) un deformācijas veida (stiepe, spiede). Bieţi vien vajadzīgās formas un izmēruparaugstieľu izgatavošana nav iespējama, piemēram, ja jāpārbauda jau izgatavotaskonstrukcijas materiāla mehāniskie raksturotāji. Šajos gadījumos materiālu mehāniskosraksturotājus var noteikt tikai netieši.Materiālu mehāniskie raksturotāji netieši jānosaka arī tad, ja nav pienācīgo pārbaudes

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASiekārtu, piemēram, izgatavojot vai montējot konstrukciju ārpus rūpnīcas telpām.Visdrošākā daţu konstrukcijās lietojamu materiālu (piemēram, mazoglekļa tēraudu,tēraudu ar vidēju oglekļa saturu) mehānisko raksturotāju noteikšanas netiešā metode iršo materiālu pārbaude uz cietību. Pamatojoties uz neskaitāmos eksperimentos katraimateriālu grupai noteiktajām sakarībām, pēc cietības pārbaudes rezultātiem var aptuveni,bet prakses vajadzībām pietiekami precīzi spriest par citiem materiāla raksturotājiem(tecēšanas robeţu, nosacīto stiprības robeţu, stiprības robeţu).Cietības pārbaudi veic, pārbaudāmajā detaļā iespieţot etalonķermeni, kas izgatavots nonoteiktas cietības materiāla. Šajā pārbaudē par cietību uzskata materiāla spēju pretotiesvietējai plastiskajai deformācijai detaļas virsmas tuvumā. Cietības pārbaude ar iespiešanasmetodi neizraisa pārbaudāmās detaļas sagrūšanu vai bojājumus. Tieši tāpēc šīpārbaudes metode guvusi plašu pielietojumu.4.5. Pieļaujamie spriegumi un drošības koeficientiZinot materiālu mehāniskos raksturotājus stiepe un spiedē, var pāriet pie jautājuma parpieļaujamā sprieguma lielumu.Pieļaujamā sprieguma lielumam jābūt noteiktai daļai no tiem spriegumiem, kuri ir materiālambīstami dotajos konstrukcijas darba apstākļos. Pieļaujamos spriegumus stiepēun spiedē, ja tie ir vienādi, apzīmē ar []. Ja minēto pieļaujamo spriegumu lielumi irdaţādi, tad lieto šādus apzīmējumus: [ st ] — pieļaujamais spriegums stiepē, [ sp ] —pieļaujamais spriegums spiedē.Tā kā trauslie materiāli sabrūk pie mazām paliekošajām deformācijām, par bīstamo jebrobeţspriegumu tiem uzskata spriegumu, kas atbilst sagrūšanas momentam, t.i., stiprībasrobeţu B . Pieļaujamo spriegumu trausliem materiāliem nosaka kā daļu no stiprībasrobeţas:stiepes gadījumāstB st , (4.1)nspiedes gadījumāBBspBsp . (4.2)nTrausliem materiāliem stiprības robeţas stiepē un spiedē ir daţādas ( sp B > st B ), tāpēcpieļaujamie spriegumi arī ir daţādi — spiedē tie ir ievērojami lielāki nekā stiepē.Plastisko materiālu sagrūšana stiepes gadījumā notiek pie ievērojamām paliekošajāmdeformācijām, turklāt deformāciju intensīvs pieaugums sākas pie spriegumiem, kasatbilst materiāla tecēšanas robeţai. Šajā gadījumā par bīstamo jeb robeţspriegumu pieľemtsuzskatīt tecēšanas robeţu T un pieļaujamo spriegumu noteikt kā zināmu tās daļu,t.i.,T . (4.3)nT65

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASPieļaujamo spriegumu spiedē plastiskiem materiāliem pieľem tādu pašu kā stiepē, jotecēšanas robeţas vērtība kā stiepē, tā spiedē ir aptuveni vienāda.Plastiskiem materiāliem, kuru stiepes diagrammai nav tecēšanas posma (att. 4.3), sakarībā(4.3) jāievieto nosacītā tecēšanas robeţa 0,2 .Formulās (4.1), (4.2) un (4.3) ietilpst koeficienti [n B ] vai [n T ], kas atbilst bīstamā sprieguma( B vai T ) un pieļaujamā sprieguma attiecībai:66 BnB ; T Tn . (4.4)Šos koeficientus sauc par normatīvajiem drošības koeficientiem. Tā kā pieļaujamaisspriegums ir mazāks par bīstamo spriegumu, drošības koeficienti vienmēr ir lielāki parvienu. Jāpiebilst, ka normatīvais koeficients atšķiras no faktiskā drošības koeficienta,kas ir bīstamā jeb robeţsprieguma un konstrukcijas darbības laikā sasniegtā maksimālāsprieguma attiecība:B B maxn ;T T maxn .Maksimālie spriegumi, kas rodas konstrukciju elementos, vispārīgā gadījumā nesakrītar pieļaujamiem spriegumiem, parasti max , tāpēc faktiskie drošības koeficientinedrīkst būt mazāki par normatīvajiem koeficientiem, t.i.,n ; Bn Bn . (4.5)Tn TNosakot drošības koeficientu, jāievēro lietojamā materiāla daba, aprēķinu precizitāte,slodzes raksturs, konstrukcijas īpatnības, darba apstākļi un ekonomiskie apsvērumi.Viendabīgiem, plastiskiem materiāliem, kam piemīt pietiekami pastāvīgas mehāniskāsīpašības, drošības koeficientu [n T ] var pieľemt samērā mazu; trausliem, pēc sastāvaneviendabīgiem materiāliem, kuru stiprības robeţa svārstās plašā diapazonā (čuguns,akmens), drošības koeficients [n B ] jāpieľem daudz augstāks. Ja konstrukcija uzľemstatiskas slodzes, var pieľemt tēraudam [n T ]=1,4...1,8, čugunam [n B ]=3...4,5, trausliem,viendabīgiem leģētu rūdītu tēraudu tipa materiāliem [n B ]=3...4.Kapitālām konstrukcijām drošības koeficients [n] jāpieľem augstāks nekā pagaidukonstrukcijām. Daţām konstrukcijām jāsamazina svars, šajos gadījumos drošības koeficienta[n] samazināšana jākompensē ar aprēķinu lielāku precizitāti un lietojamo materiāluaugstāku kvalitāti. Konstrukcijām, kas strādā augstās un zemās temperatūrās,koeficients [n] jāpieľem citāds nekā normālā temperatūrā strādājošām konstrukcijām,jo materiāla mehāniskās īpašības izmainās temperatūras izmaiľu iespaidā.Dinamiskās slodzes gadījumā drošības koeficients jāpieľem augstāks nekā tad, ja slodzeir statiska.Pieļaujamo spriegumu pareiza noteikšana ir sareţģīts un atbildīgs uzdevums. Praktiskaiprojektēšanai izstrādātas speciālas pieļaujamo spriegumu normas, kas ir obligātas.Daţu materiālu pieļaujamo spriegumu vērtības atrodamas 4.2 tabulā. Šīs vērtības atbilstkonstrukcijas darbībai noteiktos apstākļos: ar statisku slodzi, parastā temperatūrā,u.t.t. Daţos gadījumos no šīm vērtībām jāatkāpjas saskaľā ar normu noteikumiem vaiaprēķināmā objekta konstrukcijas un uzdevuma īpatnībām.

4. MATERIĀLU MEHĀNISKĀS ĪPAŠĪBASMateriālsMateriālu pieļaujamie spriegumi statiskai slodzei [4]MPa;N/mm 2 ;Pieļaujamie spriegumi[ st ] stiepē [ sp ] spiedēkG/cm 2MPa;N/mm 2 ;Tabula 4.2kG/cm 2Pelēkais čuguns (lējums) Līdz 39 400 118...147 1200...1500Tēraudi:CT.0 un CT.2 137 1400 137 1400CT.3 157 1600 157 1600Oglekļa tēraudi mašīnbūvē 59...245 600...2500 59...245 600...2500Leģētie tēraudi mašīnbūvē 98...392 1000...4000 98...392 1000...4000Varš 29...118 300...1200 29...118 300...1200Bronza 59...118 600...1200 59...118 600...1200Alumīnijs 29...78 300...800 29...78 300...800Dūralumīnijs 78...147 800...1500 78...147 800...1500Priede šķiedru virzienāšķērsvirzienā6,9...9,8-70...100-9,8...11,81,48...1,96100...12015...20Ozols šķiedru virzienāšķērsvirzienā8,8...12,8-90...130-12,8...14,71,96...3,47130...15020...35Ķieģeļu mūris līdz 0,2 līdz 2 0,6...2,4 6...25Akmens mūris līdz 0,3 līdz 3 0,4...4 4...40Betons (atkarībā no sastāva) 0,2...1,5 2...15 1,5...26,0 15...270Tekstolīts 29...39 300...400 49...88 500...900Spriegumus, kas slodzes ietekmē rodas konstrukcijas elementos, sauc par darba spriegumiem.Drošai, normālai konstrukcijas darbībai šie spriegumi nedrīkst pārsniegt pieļaujamos.Daţos gadījumos atļauts pārsniegt pieļaujamos spriegumus par 5%, ja topamato konstruktīvi apsvērumi.67

5. STIEPE UN SPIEDE5.1. Iekšējo piepūļu un pārvietojumu noteikšanaVienkāršākais stieľa slogojuma veids ir centriskā stiepe (spiede). Tas ir gadījums, kadstieľa galos šķērsgriezuma smaguma centrā pielikti stieľa ass virzienā vērsti spēki P.Iekšējo piepūļu noteikšanai izmantojam šķēlumu metodi. Izdarot stieľa asij perpendikulārušķēlumu, konstatējam, ka N = P, jo visu spēku projekciju summai uz stieľa assvirzienu jābūt vienādai ar nulli. Praksē bieţi sastopami gadījumi, kad stienis (piem.,kolonna) tiek slogots pakāpienveidīgi. Tāds gadījums shematiski attēlots att. 5.1. Izdarottrīs neatkarīgus šķēlumus a – a, b – b un c – c, nosakām ass spēka N vērtības katrāatšķirīgi slogotajā kolonnas posmā (att. 5.1c). Šķēlumā a – a ass spēku N nosaka sakarība–N – P 1 = 0, šķēlumā b – b sakarība –N – P 1 – P 2 = 0, bet šķēlumā c – c sakarība –N – P 1 – P 2 – P 3 =0.Att. 5.1.d attēlota normālspriegumu epīra pa kolonnas augstumu. Tā kākolonas šķērsgriezumu nosacīti pavisu augstumu var uzskatīt par konstantu,tad sprieguma epīra ir proporcionālaass spēka N epīrai un tonosaka sakarībaN ,Akur, A – kolonas šķērsgriezuma laukums.Tradicionālo būvmateriālu -att. 5.1betona, metāla, akmens gadījumosaktuāls ir jautājums par pašsvara izraisītām papildus piepūlēm darinājumā. Kolonasgadījumā pašsvara izraisītais ass spēks ir proporcionāls materiāla īpatnējam svaram ,augstumam h un šķērsgriezuma laukumam A. Tātad pašsvara radītais ass spēks N sv =Ah (att. 5.1e). Reālās konstrukcijās, kas strādā stiepē vai spiedē, pašsvara iespaiduparasti neievēro.Saskaľā ar Huka likumu stieľa absolūtais pagarinājums (saīsinājums), kas rodas stiepes(spiedes) gadījumā, atkarīgs ne tikai no ass spēka lieluma, bet arī no stieľa ģeometriskajiemparametriem (šķērsgriezuma laukuma, garuma) un materiāla īpašībām (elastībasmoduļa). Pakāpjveida slogojuma gadījumā kopējais stieľa pagarinājums (saīsinājums)veidojas kā atsevišķu posmu pagarinājumu summalni1N lEAi ii.Att. 5.2 parādīti trīs daţāda profila stieľi atšķirīgos slogojuma apstākļos, uzkonstruētasiespējamās ass spēka N un normālsprieguma epīras (epīra ir grafisks kāda fizikālalieluma skaitliskās vērtības attēlojums uz stieľa ass) kā arī dotas sakarības stieľu pagarinājumul noteikšanai. Lielumu EA nosacīti sauc par šķēluma stingumu pie stiepes68

5. STIEPE UN SPIEDE(spiedes). Praksē bieţi lieto modificētu lielumu EA/l un to sauc par stieľa vai tā daļasstingrību. Stieľa stingrībai apgriezto lielumu l/EA sauc par padevīguma koeficientuun tas raksturo stieľa pagarinājumu vienu vienību liela spēka gadījumā. l Pl1Pl2EA EA12Pl3EA3Pll EAP2 P1EA21 33Pa1 EA2P PEA2 1l2 al11 l PlEAP PEAP P PEA1 3 1 2 1 2 3 l2 l1att. 5.2Piemērs 5.1. Noteikt zīmējumā attēlotā 2,5 m gara tērauda stieľa šķērsgriezuma izmērua, ja zināms tā pagarinājums l = 2 mm. Cik lieli būs spriegumi stienī?Atrisinājums. No Huka likuma, pieľemot ka ārējā slodze P pa stieľa šķērsgriezumusadalās vienmērīgi (ass spēks N ir vienāds ar P), iegūstam:skaitliskā vērtība ir l Pl EA .Šai sakarībā nezināmais ir šķērsgriezuma laukums A. To izsakotno l izteiksmes un ľemot vērā, ka A = a 2 , iegūstam3P60 10 2,52a 1,89 10m 1, 9cm11 3E2,1 10 2 10(izmantots E = 210 GPa).Stieľa šķērsgriezumā darbojas tikai normālspriegums un tā260,019 16610Pa MPa23 N A N a 6010/166 .69

5. STIEPE UN SPIEDENoskaidrosim par cik relatīvi ir izmainījies stieľa šķērsgriezuma laukums. Šim nolūkamizmantosim Puasona koeficienta vērtību 0,28 .Stieľa garendeformācija ir3316621010 0,7910 E ,gbet šķērsdeformācija53šķ g 0,287910 0,22110.Deformētā stieľa šķērsgriezuma laukumu nosaka sakarībaAd2 22 2 2 22a a a a a a 1 2 .šķ2šķ šķšķ šķ2Ľemot vērā, ka šķir augstākas kārtas mazs lielums, iegūstam sekojošu deformētāstieľa šķērsgriezuma laukumuAdšķ2 a 12.Tādā gadījumā stieľa šķērsgriezuma laukuma relatīvā izmaiľa ir22A 12 d A a šķa 1 22A a3 2 0,22110 0,0442%šķ1 2Šis rezultāts rāda, ka elastīgās deformēšanās robeţās šķērsgriezuma laukuma izmaiľa irnebūtiska un visai pamatots ir pieľēmums, ka stieľa šķērsgriezums slodzes iedarbībasrezultātā praktiski nemainās.šķAuklu pagarinājumi ir:Piemērs 5.2. Noteikt stieľu sistēmas locīklas A pārvietojumu.Sistēmu veido kaprona aukla ar diametru 2 cm (E=210 4kG/cm 2 ).Atrisinājums. Izgrieţot mezglu A un sastādot spēku līdzsvaravienādojumu uz horizontālo asiN1sin N2sin 0 , iegūstam, ka N1 N2.No spēku projekciju uz vertikālo asi līdzsvara vienādojumaN1 cos N2cos P 0iegūstam:N N / 2cos .1 2P2P2cosh cos EA Ph 2EA l,1 l2 N1lEA cosbet punktā A vertikālais pārvietojums h A ir70

5. STIEPE UN SPIEDE h A l1 cos Ph 2EAcos.Izmantojam sekojošas skaitliskās vērtības:4 24429 2E 210kG/cm 2109,81N/10 m 1,9610N / m 1,96GPa;AIegūstam:2242 1 3,14cm 3,1410m ; 0, 906cos25 0 .312 10 22l1 2,37 10m 2, 37 cm 49 223,14101,9610 0,906 h A 2,370,906 2, 15 cm .Tātad stiepes spēka P pielikšanas punkts A (sk att.) kaprona auklu pagarinājuma dēļpārvietosies uz leju par 2,15 cm.Nomainot auklu materiālu ar citu (piem. tērauda troses) varēsim analogā veidā noteiktpunkta A pārvietojumu. Pie dotās slodzes tas būs būtiski mazāks.5.2. Stiprības aprēķini stiepē un spiedēAksiālā stiepē vai spiedē stieľa stiprība ir nodrošināta, ja katrā stieľa šķērsgriezumāievērota prasībakurN A, (5.1)N — aksiālspēka absolūtā vērtība šķēlumā;A — šķērsgriezuma laukums; — stieľa materiāla pieļaujamais stiepes vai spiedes spriegums.Šajā formulā izteikts stiepta vai spiesta stieľa stiprības nosacījums:vislielākais faktiskais spriegums konstrukcijas elementā nedrīkst pārsniegt pieļaujamospriegumu [].Pamatojoties uz nosacījumu (5.1) risināmi trīs atšķirīgi uzdevumu tipi.1. Stiprības pārbaude (pārbaudes aprēķins). Dots ass spēks N un stieľa šķēlumalaukums A . Konstruktora uzdevums ir pārbaudīt, vai darba spriegums N A visosšķēlumos ir mazāks par pieļaujamo spriegumu .Tiek noteikta procentuālā atšķirība starp šiem spriegumiem. Gadījumos, kad darbaspriegums kaut vienā šķēlumā pārsniedz pieļaujamo par vairāk kā 5%, konstrukcijaselementa stiprību uzskata par nepietiekamu.Pārbaudes aprēķinu bieţi veic citādi — pēc zināmā bīstamā sprieguma bīst (stiprībasrobeţas vai tecēšanas robeţas) lieluma un aprēķinātā faktiskā sprieguma N Alieluma nosaka faktisko drošības koeficientu un salīdzina to ar normatīvo drošības koeficientun :71

5. STIEPE UN SPIEDEbistn n. (5.2)Ja atšķirība starp faktisko un normatīvo drošības koeficientu pārsniedz ±5%, konstrukcijair vai nu nepietiekami stipra ( n 0, 95 nn 1, 05 n . ), vai neekonomiska ( Drošības koeficientu [n] vērtības dotas attiecīgajās normās vai arī konstruktors tās izvēlas,vadoties no pieredzes analogu konstrukciju projektēšanā un ekspluatācijā.2. Šķērsgriezuma izvēle (projekta aprēķins). No stiprības nosacījuma iespējams noteiktnepieciešamos konstrukcijas elementu izmērus, kuri garantē konstrukcijas drošuekspluatāciju. Šķērsgriezuma laukumu jebkurā šķēlumā nosaka sakarībakurNA , (5.3) N – asspēka vērtība attiecīgajā šķēlumā.Veicot stiprības aprēķinu spiedē tiek pieľemts, ka nepastāv iespēja stienim zaudēt noturību.Noturības noteikšana ir svarīga, patstāvīga konstrukciju aprēķinu problēma.3. Pieļaujamās slodzes noteikšana. Pieļaujamā asspēka N lielumu nosaka sakarībaN A(5.4)un elementiem ar konstantu šķērsgriezumu tā viennozīmīgi nosaka pieļaujamās slodzeslielumu.Sareţģītāki ir gadījumi elementiem ar mainīgu šķērsgriezuma laukumu un nevienmērīguslodzes sadalījumu pa šķēlumu. Piemēram, ar kniedēm vai skrūvēm piestiprinātāmetāla strēmelē rodas ar caurumiem vājināti šķēlumi (att. 5.3), kuros iespējama strēmelespārtrūkšana. Stiprības aprēķinos jāizmanto visāstieľa garumā mazākais šķērsgriezuma laukums, kurvājinājums ir vislielākais. Att. 5.3 attēlotajam savienojumamšāds šķēlums ir m-m. Vietās, kur stienīizveidoti urbumi, iefrēzējumi u.c., spriegumi šķēlumānesadalās vienmērīgi. Ap tiem veidojas vietējiespriegumi, kuri būtiski pārsniedz šķēluma laukumamatbilstošos vidējos spriegumus N vidA . Šāduatt. 5.3situāciju sauc par spriegumu koncentrāciju. Kā rādateorija un prakse, plastisku materiālu gadījumosspriegumu koncentrācija stieľu stiprību neietekmēun aprēķinos to var neľemt vērā. Līdzīgi ir arī trauslu,bet neviendabīgu (čuguns) materiālu gadījumā. Toties trausliem un samērā viendabīgiemmateriāliem spriegumu koncentrācija jāievēro un jāpalielina drošības koeficients.Liela izmēra konstrukcijās no materiāla ar lielu īpatnējo svaru aktuāls kļūst stiprībasaprēķins, ievērojot stieľa pašsvaru. Stienim, kura garums ir l un šķērsgriezuma laukumsA, pilnais svars ir P sv = Al. Ievērojot stieľa pašsvaru, asspēks šķērsgriezumos irmainīgs lielums, kurš maksimālo vērtību sasniedz atbalsta vietā (sk. att. 5.1e). Ass72

5. STIEPE UN SPIEDEspēks jebkurā patvaļīgā šķēlumā attālumā x no balsta ir N = P ār + Ax, kur P ār – summārāārējā slodze attiecīgajā šķēlumā. Spriegums šai šķēlumā irN Pār xA AŠai sakarībā otrais saskaitāmais (pašsvara radītais spriegums) nav atkarīgs no šķēlumalaukuma lieluma.Stieľa stiprība jāpārbauda pēc lielākajiem spriegumiem, tātad pēc sprieguma balstā(att. 5.4). Tādā gadījumā stiprības nosacījums, ievērojot stieľa pašsvaru ir:maxP ārA lNo šīs sakarības izsakot parametru A, iegūstam nepieciešamostieľa šķērsgriezuma laukumu, kurš nodrošinastieľa stiprību, ievērojot stieľa pašsvaru:PārA lJa lielums l ir mazs salīdzinot ar [], to var vērā neľemt.Gadījumos, kad stieľu garums l ir liels vai arīliels ir īpatnējais svars , stieľu pašsvars ir vērā ľemams.Tērauda stieľiem to pašsvars atstāj iespaidu5.4. att.tikai tad, ja stieľi ir ļoti gari, piemēram, šahtu celtuvjuvai ķēţu aprēķinos. Vairumā gadījumu tērauda svaru var neievērot. Tas pats attiecas uzkoka stieľiem.Akmens celtnēs, kurās kolonas strādā uz spiedi, pašsvara ietekme ir ievērojama jaunelielā augstumā. Nemainīga šķērsgriezuma stieľi izrādās neekonomiski, jo stiprībaspārbaude veicama vienā šķēlumā (konstrukciju balstā), kur darba spriegums ir vislielākais.Visos citos šķēlumos šie spriegumi ir mazāki. Tādos gadījumos jāizmanto mainīgašķērsgriezuma stieľi. (sk. att. 5.4) Parasti stieľus veido pakāpjveida formā, pie kamikvienas pakāpes šķērsgriezuma laukumu izvēlas tā, lai vislielākais spriegums sakristuar pieļaujamo. Pirmās pakāpes šķērsgriezuma laukumu nosaka sakarībaPA1 h 1 Uz otrās pakāpes galu darbojas spēks P + A 1 h 1 .Tātad otrās pakāpes šķērsgriezuma laukumu nosaka sakarībaA2P A h11 h2Analogi nosakām šķērsgriezuma laukumu arī trešajai un ceturtajai pakāpei.Ja uz stieni neiedarbojas ārēji spēki, bet darbojas tikai pašsvars, tad stieľa patvaļīgāšķēlumā spriegums ir = x. No nosacījuma x = [] var aprēķināt stieľa kritisko ga-73

5. STIEPE UN SPIEDErumu x kr , pie kura stienis sabrūk (pārtrūkst) pašsvara dēļ.Tā, piemēram, tērauda troses kritisko garumu nosakot izmantojam sekojošus raksturlielumus:γ = 78 kN/m 3 un σ B = 400 MPa. Tādā gadījumāxkr3 400 MN mB 3 5,3310m 5, km78 10 m MN33 .32 Tātad iekārta vairāk kā piecus kilometrus gara tērauda trose pārtrūkst no pašsvara.Piemērs 5.3. Viendabīga sija AB iekārtatrijos apaļa šķērsgriezuma (d=2cm) tērauda stieľos. Sijas svarsQ=10kN. Noteikt vienmērīgi izkliedētasslodzes pieļaujamo intensitāti [q],ja stieľu materiālam pieļaujamaisspriegums []=160MPa. Aprēķinātstieľu pagarinājumu, ja E=2 10 5 MPa.Atrisinājums. Nosakām spēkus stieľos.Vienmērīgi izkliedētās slodzes, sijas svara Q un stieľos darbojošos spēku N 1 , N 2un N 3 iedarbības rezultātā sija atrodas līdzsvarā (att. 5.5).Sastādām līdzsvara vienādojumus:l lM A Q ql N3l 0 .2 2Lai aprēķinātu momentu, ko rada vienmērīgi izkliedēta slodze, jāpieľem, ka šīs slodzeskopspēks vienāds ar ql un pielikts noslodzes posma vidū, t.i., attālumā l/2 no punkta A.Arī spēks Q pielikts sijas vidū.Sastādot spēku projekciju līdzsvara vienādojumus uz horizontālu un vertikālu asi, iegūstam Pix 0 ; N2sin 30 N1sin30 0 ; Piy 0 ; N1cos 30 N2cos30 Q ql N3 0 .Atrisinot šos trīs vienādojumus nosakām piepūles tērauda stieľosN3ql Q ; N21ql Q ql Q N2 .4cos303,46Kā redzams, spēks N 3 ir lielāks nekā N 1 un N 2 . Tāpēc pieļaujamo slodzi ierobeţo stieľa3 stiprības nosacījumskuratt. 5.5N 3 , A74

5. STIEPE UN SPIEDEd 3,14 2F4 4Ievietojam N 3 vērtību:N3ql Q .A 2A22242 3,14cm 3,14 10m .No šīs nevienādības, zinot pieļaujamo spriegumu [], var aprēķināt vienmērīgi izkliedētāsslodzes pieļaujamo intensitāti [q] (pārejot uz kPa, kN un m):432 A Q 2 3,14 101601010q 9kN/ m .l10Nosakām spēkus stieľos:ql Q 9 1010N1 N2 28, 9kN;l 3,46ql Q 91010N3 50kN.2 2Aprēķinām stieľu pagarinājumus:1,5 1,5l1 l2 1, 73m;cos300,866N1l128,91,734l1 l2 810m 0, 8mm84AF 2 10 3,14 10;N3l350 1,54l3 12 10m 1, 2mm84AF 2 10 3,14 10.Piemērs 5.4. Tērauda strēmele ar kniedēm piestiprinātatērauda plāksnei. Savienojumā darbojas stiepesspēki P=160 kN. Strēmeles biezums =10 mm, knieţudiametrs d=20 mm, pieļaujamais stiepes spriegums[]=160 MPa. Cik lielam jābūt strēmeles platumamb?Atrisinājums. Aksiālspēks strēmeles šķēlumos ir N= P=160 kN. Atbilstoši formulai (5.3)A netoN160 1016031103m2210cm .Strēmeles laukumu vājina divi knieţu urbumi, kuriem šķēlumā atbilst divi taisnstūrid. Tāpēc (pēc noteikumiem =1 cm, d = 2 cm)75

5. STIEPE UN SPIEDEA neto b 2d ( b 2d) b 4 .Salīdzinot abas F neto izteiksmes, atrodam, kab 4 10 ,no kurienesb 10 4 14cm,t.i., strēmeles platumam jābūt vismaz 140 mm.Piemērs 5.5. Divi vienādsānu stūreľi,kuru izmēri ir 75X75X8 mm, ar kniedēm(d=20 mm) piestiprināti plāksnei. Stiepjošaisspēks (aksiālspēks) stūreľos ir N =310 kN. (Katra stūreľa bruto laukumsA bruto = 11,5 cm 2 . Pārbaudīt stūreľu stiprību,ja pieļaujamais spriegums [] =160MPa.Atrisinājums. Divu stūreľu šķērsgriezumalaukums, ievērojot divus kniedēšanas urbumus, kam šķēlumā ir taisnstūra forma(0,8x2,0 cm 2 ), ir2A neto 211,5 20,8 2,0 19,8cm.Vājinātajā šķēlumā darbojas spriegums3N 310 10 156,5MPa.4A 19,8 10netoŠis spriegums ir par 2,2% mazāks nekā pieļaujamais spriegums [] =160 MPa, tātadaprēķina rezultāti ir apmierinoši.Piemērs 5.6. Kādu spiedes spēku drīkst pielikt īsai čuguna caurulei, kuras ārējais diametrsir 20 cm un sieniľu biezums 2,5 cm, ja pieļaujamais spiedes spriegums [ sp ] =80 MPa?Atrisinājums. Caurules šķērsgriezuma laukums, jad iekš 20 22,5 15cm, ir2 2dārdiekš 2A ( dār d4 4 4Pēc formulas (7.4) pieļaujamā slodze2iekš2) 137,4cm.d ār 20cmun34P N F 8010137,4101100kN .76

5. STIEPE UN SPIEDE5.3. Spriegumi stieľa slīpos šķēlumosCentriski stiepta stieľa asij perpendikulāros šķēlumos rodas tikai normālie spriegumi.Toties slīpos šķēlumos darbojas gan normālie, gan tangenciālie spriegumi.Noslogotā elastīgā ķermenī caur jebkuru punktu iespējams novilkt bezgalīgi daudz šķēlumuun praktiski katrā tādā šķēlumā būs atšķirīgi normālie un tangenciālie spriegumi.Tādēļ runājot par spriegumiem kādā ķermeľa punktā svarīgi norādīt šķēluma stāvoklikurā darbojas spriegumi. Normālo un tangenciālo spriegumu kopums, kas darbojasvisos bezgalīgi daudzajos šķēlumos, kurus var novilkt caur punktu, nosaka spriegumstāvoklišajā punktā. Izpētīt spriegumstāvokli punktā nozīmē atrast sakarības kuras dotuiespēju noteikt spriegumus jebkurā caur šo punktu novilktā šķēlumā.Lai noteiktu spriegumus patvaļīgi orientētā stieľa šķēlumā sadalīsim stieni divās daļās(att. 5.6) ar plakni, kura pagriezta par leľķi pret stieľa asij perpendikulāro šķēlumu(leľķis tiek mērīts pretēji pulksteľa rādītāja kustības virzienam). Šķērsgriezuma ablaukums A vienāds ar slīpā šķēluma cd laukuma A projekciju uz stieľa asij perpendikulāroplakni, t.i.att. 5.6Pilnais spriegums p ir spriegumu un ģeometriskāsummaTātadA = A cos .A = A/cos .Atmetam stieľa augšējo daļu un atlikušajai daļaiplaknē cd pieliekam spēkus, kuri kompensē atmestāsdaļas iedarbību. Spriegumus p šajā šķēlumā,kuri nav tam perpendikulāri, bet vērsti stieľa assun tātad arī pieliktās slodzes virzienā, līdzsvaro šoslodzi un ir spēkā līdzsvara vienādojumsp A - P = 0.Tātad p = P / A un ievietojot A iepriekš noteiktoizteiksmi, iegūstamp = P cos /A.Tā kā P/A ir stieľa normālais spriegums šķērsgriezumaplaknē, tadp = cos.Pilno spriegumu p šķēlumā cd varam sadalīt normālajāun tangenciālajā komponentē. Tā iegūstam = p cos = cos cos == cos 2 (5.5) = p sin = cos sin== 0,5 sin2 (5.6)77

5. STIEPE UN SPIEDE22p .Analizējot spriegumu un izmaiľu mainoties šķēluma plaknes slīpumam pret stieľaasi, konstatējam:pilnais spriegums p α jebkurā slīpā šķēlumā (α ≠ 0) pēc absolūtās vērtībasvienmēr ir mazāks par spriegumu σ stieľa šķērsgriezumā;šķērsgriezumā pilnais spriegums ir vienāds ar normālo spriegumu šai šķēlumā;stieľa šķērsgriezumā tangenciālo spriegumu nav;normālais spriegums jebkurā slīpā šķēlumā (α≠0) vienmēr mazāks par normālospriegumu stieľa šķērsgriezumā (jo cos 2 α < 1);maksimālie normālie spriegumi σ max = σ ir stieľa šķērsgriezumā, bet maksimālietangenciālie spriegumi ir šķēlumos, kuri vērsti 45 0 leľķī pret šķērsgriezumu(ja sin2α = 1, tad α =45 0 ); maksimālā tangenciālā sprieguma vērtība šai plaknēir τ max = 0,5 σ max ; minimālā tangenciālā sprieguma vērtība ir šķēlumā, kas vērsts 135 0 leľķī pretšķērsgriezumu ( ja sin2α = - 1, tad α =135 0 ) un tā vērtība ir τ min = - 0,5 σ max ;Tātad τ max un τ min darbojas savstarpēji perpendikulāros šķēlumos un ir vērsti uz vienuvai pretējām pusēm (att. 5.7). Par tangenciālo spriegumu pozitīvo virzienu pieľem virzienu,kas sakrīt ar pulksteľa rādītāja kustības virzienu skaitot no ārējās normāles. Šimpieľēmumam nav būtiskas nozīmes.att. 5.7Tangenciālo spriegumu absolūto vērtību vienādībusavstarpēji perpendikulāros šķēlumos sauc partangenciālo spriegumu pāru likumu.Pētījumi apstiprina, ka vērtējot stieľa stiprībuaksiālā slogojumā (stiepē vai spiedē), noteicošieir spriegumi šķērsgriezumos.Vienasīgas stiepes vai spiedes gadījumā šajosšķēlumos darbojas tikai normālie spriegumi un tovērtības ir maksimālās attiecībā pret pārējiemšķēlumiem. Šos spriegumus sauc par galvenajiemspriegumiem, bet šķēlumus par galvenajiem šķēlumiemvai galvenajām plaknēm.Piemērs 5.7. Noteikt nepieciešamo ar spēku P=90 kN slogota stieľa šķērsgriezumadiametru, tā, lai maksimālais bīdes spriegums nepārsniegtu 80 MPa.Atrisinājums. Stieľa vienasīga centriska slogojuma gadījumā maksimālie bīdes spriegumiveidojas zem 45 0 pret stieľa asi orientētos šķēlumos un to vērtība ir σ 1 /2. Tātadpieļaujamajam bīdes spriegumam (80 MPa) atbilst galvenais spriegums σ 1 = 160 MPa.Saskaľā ar sprieguma definīciju šāds spriegums veidojas stieľa šķērsgriezumā, kuralaukums ir A = P/σ 1 = 9010 -3 /160 m 2 =0,5625∙10 -3 m 2 .Tātad stieľa diametru nosaka sakarība:78

5. STIEPE UN SPIEDE34A4 0,56251044d 7,164 10 2,6810m 2, 68cm. 3,14Piemērs 5.8. Noteikt maksimālos normālos un bīdes spriegumus spiestā stienī, ja zināms,ka kādā no šķēlumiem spriegumi ir: σ α = -60 MPa ; α = 24 MPa.Atrisinājums. Spriegumus slīpos šķēlumos nosaka sakarības:σ α = σ 1 cos 2 α, α = 0,5 σ 1 sin2α.No šīm sakarībām varam noteikt šķēluma, kurā darbojas dotie spriegumi σ α un τ α , orientācijupret stieľa asi. Izdalot šīs sakarības, iegūstam: α /σ α =0,5 sin2α/cos 2 α = tg α.Tātadtgα = 24/(-60)= -0,4 un cos 2 α = 1/(1+ tg 2 α) = 0,862.Maksimālais normālspriegums ir:σ 1 = σ α / cos 2 α = - 69,6 MPa.Ľemot vērā, ka maksimālais bīdes spriegums ir 0,5 no galvenā sprieguma, iegūstam:| max | = 0,5 | σ 1 | = 34,8 MPa.79

6. STIEĽA ŠĶĒRSGRIEZUMA LAUKUMA ĢEOMETRIS-KIE RAKSTUROTĀJI6.1. Plakanu figūru laukumu smaguma centri un statiskie momentiVeicot konstrukciju aprēķinus bieţi mehānikā nākas izmantot plakanu figūru laukumuģeometriskos raksturotājus. Līdzās stieľveida konstrukciju elementu garumiem unšķērsgriezuma laukumiem, kurus varam uzskatīt par izmantotā materiāla daudzumaraksturotājiem, svarīgi ievest parametrus, kuri raksturotu materiāla izvietojumu ap stieľaasi. Tātad jāatrod parametri, kuri ļautu raksturot stieľa šķērsgriezuma formu.Stieľa šķērsgriezuma formai nav nozīmes risinot tādus statikas uzdevumus kā balstureakciju un iekšējo piepūļu (statiski noteicamām sistēmām) noteikšana, bet forma unlīdz ar to arī figūru laukumu ģeometriskie raksturotāji ir būtiski, aprēķinot konstrukcijaselementu stiprību, stingumu un noturību.Šādi speciāli laukumu ģeometriskie raksturotāji ir vairāki. Laukumu ģeometrisko raksturotājuapgūšanu sāksim ar statiskajiem momentiem.Par figūras laukuma statisko momentu pret kādu no asīm, kas atrodas figūras plaknē,sauc lielumu, ko iegūst summējot, pa visu figūras laukumu elementāro laukumiņu reizinājumusar šo laukumiņu attālumiem līdz attiecīgajai asij (att. 6.1).kur ΔA i — vienkāršo figūru laukumi;y i un x i —. vienkāršo figūru laukumu smaguma centru koordinātes.Formulās (6.3) tiek summēti vienkāršo laukumu statiskie momenti:S x = S 1x + S 2x + . . . + S nx , (6.4)S y = S 1y + S 2y + . . . + S ny .Tātad sarežģītas figūras laukuma statiskais moments pret kādu no asīm ir tā at-Statisko momentu apzīmē ar S un indeksu, kurš norāda asi, pret kuru tiek sastādītsmoments. No definīcijas izriet, ka figūras laukuma statiskais moments ir noteiktais integrālis,veicot integrēšanu pa visu figūras laukumu.Tātad statiskais moments pret x asi irSx ydA , (6.1)Abet pret y asiSy xdA . (6.2)Aatt. 6.1Gadījumos, kad figūras laukums sastāv no vienkāršākāmģeometriskām figūrām — taisnstūriem, trīsstūriem,riľķiem, u.c., nosakot pilnā laukuma statisko momentu, integrēšanu var aizstātar summēšanu:S y A; S x A, (6.3)xAiiyAii80

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAsevišķo daļu statisko momentu algebriska summa pret to pašu asi.Šīs summas aizstājot ar visa laukuma statisko momentu pret tām pašām asīm, iegūstamS x = A·y c ; S y = A·x c , (6.5)kur: A — visas figūras laukums;y c un x c — pilnā laukuma smaguma centra koordinātes.Līdz ar to iegūstam sakarības saliktu figūru laukuma smaguma centra koordināšu noteikšanai:SyS1y S2y ... Snyxc A A1 A2 ... An, (6.6)SxS1x S2x ... Snxyc A A A ... A12nkur S x — visa šķērsgriezuma laukuma statiskais moments pret x asi;S 1x , S 2x ,... , S nx — kopējā laukuma atsevišķo daļu laukumu statiskie momentipret x asi.A 1 , A 2 , ..., A n — atsevišķo daļu laukumi, bet A= A 1 +A 2 +...+A n figūras pilnaislaukums.Daţi no taisnstūrveida laukumiem saliktišķēlumi parādīti att.6.2.Statiskā momenta vērtība ir atkarīga noasu stāvokļa, pret kurām nosaka statiskomomentu. Tā kā figūras laukumamatt. 6.2.vienmēr ir pozitīva vērtība, bet smagumacentra koordinātes var būt ganpozitīvas, gan negatīvas atkarībā no tā, kurā ass pusē atrodas laukuma lielākā daļa, tadstatiskie momenti var būt gan pozitīvi, gan negatīvi, gan arī nulle. Tātad jāeksistē vienainoteiktai asij, pret kuru laukuma statiskais moments ir nulle. Ja ľem vērā, ka statiskaismoments nosakāms reizinot figūras laukumu (un tas nav nulle) ar tā smagumacentra attālumu no konkrētās ass, varam secināt, ka statiskā momenta vērtība var būtnulle tikai tādā gadījumā, ja šķēluma smaguma centra koordināte pret attiecīgo asi irnulle.Tātad koordinātu asīs, kuras iet caur šķēluma smaguma centru statiskais momentsir nulle. Asi, kas iet caur figūras laukuma smaguma centru, sauc par centrālo asi.Simetriska laukuma statiskais moments pret simetrijas asi vienmēr ir vienāds ar nulli.Tas nozīmē, ka simetriskām figūrām smaguma centrs atrodas uz simetrijas ass.Statisko momentu mērvienības atbilst garuma mērvienību kubam (mm 3 , cm 3 , m 3 , u.c.).No sakarībām (6.5) secinām, ka, lai noteiktu figūras smaguma centra koordinātes izvēlētajākoordinātu sistēmā, jāzina šīs figūras laukums un tās statiskie momenti pret attiecīgajāmasīm.81

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAPiemērs 6.1 Noteikt pusriľķa ar rādiusu r smaguma centra koordinātes.Atrisinājums. Šim nolūkam izmantosim sakarības(6.5). Vispirms, izmantojot sakarībuSx ydA ,Anoteiksim šķēluma (pusrinķa) statisko momentupret x asi.Sadalām šķēlumu bezgalīgi plānās kārtiľās ar platumu2x un biezumu dy, kuras var uzskatīt par elementāriem taisnstūriem. Tādā gadījumādA 2xdy.Izsakot koordinātes x un y caur rādiusu R un leľķi :x Rcos,y Rsinnosakām, kaRsin Rcosddy d.Ievietojot attiecīgās sakarības S x izteiksmē, iegūstamS x 2R / 20 / 230Rsin 2Rcos cos2dR cos d 2R132333cos 2R R . / 230cos sin dZinot šķēluma statisko momentu S x un laukumu A=πR 2 /2, varam noteikt smagumacentra koordināti y c :Sx2 3 1 4Ryc R 0, 424R.2A 3 r/ 2 3Tā kā pusrinķim y ass ir simetrijas ass, tad smaguma centrs atrodas uz šīs ass. Tātadpusrinķa smaguma centrs atrodas 0,424R attālumā no tā pamata uz tā simetrijas ass.Piemērs 6.2. Noteikt taisnlenķa trīsstūra smagumacentra koordinātes asīs, kuru virzieni sakrīt ar trīsstūrakatetēm.Atrisinājums. Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā nosakāmdA = xdy.Trīsstūra hipotenūzu nosaka sakarība(taisne caur diviem punktiem).Tātad y x b1 h 82

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBASx bh02 y bhy1 dy . h 6Trīsstūra smaguma centra koordināti y c nosaka attiecībaS x/ A un tātad2bh bh hy c .6 2 3Analogā veidā (tikai elementārlaukumiľu orientējot paralēli y asij) iegūstam, kabx c .3Tātad taisnleľķa trīsstūrim smaguma centra koordinātes attiecīgi ir 1/3 daļa no katešugarumiem. (Var pierādīt, ka smaguma centrs ir šāda trīsstūra mediānu krustpunkts).Līdzīgā veidā varam noteikt smaguma centrakoordinātes jebkura veida trīsstūrim.Studentam iesakām patstāvīgi noteikt smagumacentra koordinātes attēlā parādītajiemtrīsstūriem.Piemērs 6.3. Noteikt vienādsānu trapeces smaguma centra koordinātes.Atrisinājums. Veiksim šo uzdevumu divos atšķirīgos veidos.Pirmajā gadījumā (att. a) papildināsim trapeci abcd līdz vienādsānu trīsstūrim aod.Nosakot divu trīsstūru aod un boc statiskos momentus, varam iegūt trapeces abcd statiskomomentu kā šo divu figūru statisko momentu starpību:Sx Sxaod Sxboc2h h1 b1h h1h1b2 h1 h h ( b1 2b2) .2 3 2 3 6Tā kā trapeces laukums A tr ir nosakāms kā divu trīsstūra laukuma starpība, tad83

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAAtr A aod Aboc h /2b 1b 2Trapeces smaguma centra koordināti y nosaka sakarība:ySAh b213 b1 bxC.tr2Tā kā trapece ir vienādsānu, tad y ass ir tās simetrijas ass un x C = 0.Trapeces statisko momentu var noteikt arī kā to veidojošo vienkāršāko figūru statiskomomentu summu (att. b). Šai nolūkā sadalām trapeci trīsstūrī , kas apvieno divus trīsstūrusabe un fcd un taisnstūrī ebcf. Tā kā šo figūru smaguma centru koordinātes irzināmas, tad arī to statisko momentu noteikšana nerada grūtības.Trapeces statiskais moments ir21 h h hS x b1 b2h b2 h 2b2 b1.2 3 2 6Tātad izteiksmes kas iegūtas ar abiem paľēmieniem ir identiskas.Trapeces laukums ir viduslīnijas un augstuma reizinājums un līdz ar to tās smagumacentra koordināti y nosaka sakarībay C232b 2 b1h h b2h b2b11 1b1 b2h 3 b1 b2 3 1b2b1Tā kā trapece ir simetriska attiecībā pret vertikālo asi, tad tās smaguma centram jāatrodasuz šīs ass (y ass) un līdz ar to x C = 0.Pie nosacījuma, ka 0 b2 b1varam konstatēt, ka trapeces smaguma centra attālumsy c no trapeces pamata var mainīties intervālāhh 3 2 , t.i. y c mainās starptrīsstūra un taisnstūra smaguma centrunovietojumiem, pie kam šī izmaiľa navlineāra (sk. att.), jo sakarībah b 2/ b1 13 1b2/ b1nav lineāra attiecībā pret parametru b 2 /b 1 .Studentiem iesakām patstāvīgi noteikt smaguma centra koordinātes neregulārai trapecei.y cPiemērs 6.4. Noteikt Z veida šķēluma laukuma smaguma centra koordinātes. Koordinātuasu novietojums un šķēluma izmēri doti attēlā.Atrisinājums. Šķēlumu sadalām trijās daļās, kuru laukumi ir A 1 , A 2 un A 3 . Aprēķināmšo taisnstūru laukumus un nosakām to smaguma centru koordinātes:84

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAkoordinātes:xyA 1 =l0·2=20cm 2 ; x 1 =5cm; y 1 =19cm;A 2 =16·2=32cm 2 ; x 2 =9cm; y 2 =10cm;A 3 =14 2=28cm 2 ; x 3 =15cm; y 3 =lcm.Aprēķinām taisnstūru laukumu statiskosmomentus:S 1y = A 1 x 1 = 205 =100cm 3 ;S 1x = A ļ y l = 20 19 = 380cm 3 ;S 2y = A 2 x 2 = 32 9 = 288cm 3 ;S 2x = A 2 y 2 =32 10 = 320cm 3 ;S 3y = F 3 x 3 = 28 1 5 = 420cm 3 ;S 3x = F z y 3 =281 = 28cm 3 .Atbilstoši formulām (6.6) nosakāmšķēluma laukuma smaguma centraS1y S2y S3y100 288 420 808 10, cm ;A A A 20 32 28 80C11 2 3S1x S2x S3x380 320 28 728 9, cm .A A A 20 32 28 80C11 2 3Tā kā figūra nav simetriska pret izvēlētajām asīm xy (un asis xy neiet caur figūrassmaguma centru), tad neviena no smaguma centra koordinātēm nav nulle.rA1 28222 6, cm ; x C5cm2A2 33cm ; x C 25, 5cm; y cmC2 7, 5 ;2A3 16cm ; x C 34cm; y cmC3 5 ;Piemērs 6.5. Noteikt smaguma centra koordināteskoordinātu asīs xy attēlā parādītajai figūrai(izmēri doti cm).Atrisinājums. Vispirms izvēlamies dotās figūrassadalījumu vienkāršās elementārās figūrās, kurāmviegli nosakāms laukums un smaguma centranovietojums (izvēle nav viennozīmīga). Viensno sadalījuma variantiem parādīts attēlā.Vispirms nosakām katras elementārās figūraslaukumu un smaguma centra koordinātes. Iegūstamsekojošas vērtības: 1 ; y cmC1 9 0,4242 9, 848 ;85

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA862A4 3cm ; x C 49cm; y cmC4 5, 33 ;2A5 8cm ; x C 51cm’ y cmC5 2 .Izmantojot sakarības (6.6), iegūstam6,285 335,5164 39 81x C 4, 71 cm6,28 33 16 3 86,289,848 337,5165 35,33 82y C 6, 36 cm6,28 33 16 3 8Noteiktais dotās figūras smaguma centrs C parādīts zīmējumā un tā koordinātes dotajāsasīs ir x C 4, 71cm, y C 6, 36cm.6.2. Laukumu inerces momentiNosakot stieľu lieces vai vērpes izraisītos pārvietojumus, nākas izmantot speciālusstieľu šķēluma ģeometriskos raksturotājus – inerces momentus.Par figūras laukuma aksiālo inerces momentu sauc lielumu, ko iegūst, pa visu figūraslaukumu A summējot elementāro laukumiņu dA reizinājumus ar šo laukumiņu attālumulīdz dotajai asij kvadrātiem (att. 6.1).Tātad aksiālos inerces momentus pret asīm x un y nosaka integrāļi:2Ix y dA ;A2Iy x dA . (6.7)AAksiālie inerces momenti neatkarīgi no koordinātu asu izvietojuma vienmēr ir pozitīviun nevar būt vienādi ar nulli. Aksiālos inerces momentus mēra vienībās, kas atbilst garumamērvienību ceturtajai pakāpei (mm 4 , cm 4 , m 4 , u.c.).Nesimetriska šķērsgriezuma siju liecē sastopams parametrsko iegūst, pa visu figūras laukumu summējotelementāro laukumiņu reizinājumus ar attālumiem līdzdivām savstarpēji perpendikulārām asīm. Šo lielumusauc par laukuma centrbēdzes inerces momentu un tonosaka sakarība:Ixy xydA . (6.8)ACentrbēdzes inerces momenta mērvienība arī ir garumamērvienība ceturtajā pakāpē. Atšķirībā no aksiālajieminerces momentiem centrbēdzes inerces moments varbūt gan pozitīvs, gan negatīvs vai arī nulle. Figūrai atrodotiesx un y asu pozitīvajā kvadrantā vai kvadran-att. 6.3tā tās centrbēdzes inerces moments I xy ir pozitīvs,

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAxybet kvadrantos un negatīvs. Pagrieţot asis ap koordinātu sākumpunktu O dotāfigūra var nonākt jebkurā no kvadrantiem un līdz ar to centrbēdzes inerces momentsI var mainīt zīmi (att. 6.3). Tā kā pagrieţot asis centrbēdzes inerces momenta izmaiľair nepārtraukta, tad eksistē divas tādas asu pagrieziena leľķa vērtības pie kurām.Daţām figūrām ļoti vienkārši noteikt asu orientāciju, kurās I 0 .Ja y ass ir figūras simetrijas ass (sk.att. 6.4), centrbēdzesinerces moments pret centrālajām x un y asīmvienāds ar nulli. Ikvienam laukumiľam dA, kas atrodaspa labi no y ass atbilst tāds pats laukumiľš pakreisi no y ass. Pirmajā gadījumā laukumiľa novietojumuraksturo pozitīva x koordinātes vērtība, betotrajā - tik pat liela pēc absolūtās vērtības, bet negatīvakoordināte.Katram pret y asi simetriski novietotam laukumiľupārim reizinājumu xydA summa ir vienāda ar nulli;att. 6.4tātad simetriskas figūras laukuma centrbēdzes inercesmoments pret divām savstarpēji perpendikulārām centrālajām asīm, no kurām vienair simetrijas ass, vienmēr vienāds ar nulli.Par polāro inerces momentu sauc figūras elementāro laukumiņu dA reizinājumu arattālumu ρ kvadrātu līdz uzdotam punktam (polam O) summu, veicot summēšanu pavisu šķēluma laukumu A.2 2 2Tā kā x y (att. 6.1), tad varam pierādīt sekojošu īpašībuIpA2 22 x y dA x dA 22 dA y dA I I(6.9)A A A(polārais inerces moments ir vienāds ar divu aksiālo inerces momentu summu ortogonālāsasīs, kuras iet caur polu O). Polārā inerces momenta mērvienība arī ir garumamērvienība ceturtajā pakāpē un tas vienmēr ir pozitīvs.Izmantojot polāro inerces momentu, varam pierādīt vēl vienu īpašību. Tā kā izdarot asupagriezienu attiecībā pret polu O par patvaļīgu leľķi, piem. att. 6.6 tas ir , ir atkal2 2 2spēkā sakarība x1 y1, tad varam secināt, ka Ip Ix1 Iy1un līdz ar to spēkāapgalvojums: neatkarīgi no ortogonālu asu pagrieziena plaknē ap to sākuma punktuaksiālo inerces momentu summa ir konstanta:Ix Iy Ix1 Iy1 const . (6.10)6.3. Sakarības starp laukuma inerces momentiem savstarpēji paralēlās asīsSaskaľā ar aksiālo inerces momentu definīciju un sakarībām (6.7), varam noteikt šosinerces momentus jebkurās patvaļīgās koordinātu asīs x, y. Tomēr būtiskākās aksiāloinerces momentu vērtības konkrētiem stieľu šķēlumu laukumiem ir tās, kuras iegūtascentrālajās asīs. Veidojot stieľus ar sareţģītākas konfigurācijas šķērsgriezumu rodasnepieciešamība noteikt atsevišķu šos šķērsgriezumus veidojošo figūru inerces momen-yxyx87

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAiegūstamunIx2tus citās koordinātu asīs. Tādēļ rodas nepieciešamībaiegūt sakarības, kuras saista inerces momentus jebkurāsdivās savstarpēji paralēlās asīs. Šādas asis parādītas att.6.5.Tās ir asis x 1 un y 1 un asis x 2 un y 2 . Pieľemam, kas asīsx 1, y 1 visi šķēluma ģeometriskie parametri ir zināmi.Tādā gadījumā elementārlaukumiľa dA koordinātesasīs x 2 , y 2 nosaka sakarībasx212 1x b, y y a .Ievietojot šīs sakarības aksiālo momentu izteiksmēs22Ix y2dAun I 2y x dA2 2AA222 y1 a dA y1dA2a y1dAa dA A A A A2 I 2aSa A(6.11)Iy2x1 xA2x1 b dA Iy 2bS1y2 b A .Analogi iegūstam centrbēdzes inerces momenta vērtību koordinātu asīs x 2 y 2 .Izmantojot asu transformācijas sakarības, iegūstamIx y2 2 bAx a y b 1 1dA x1y1dA aA A Ax dA ab1AdA Ix y1 1 aSx1 bSy1y dA 1 abA(6.12)Tātad „jaunajās asīs‖ (asis x 2, y 2 ) inerces momenti nosakāmi izmantojot šķēluma ģeometriskosparametrus I x1 , I y1 , I x,y , S x1 , S y1 ―vecajās asīs‖ (asis x 1 y 1 ). Ja ―vecās asis‖ ircentrālās (apzīmēsim ar x 10 un y 10 ), tad, kā jau esam pierādījuši, statiskie momenti pretšīm asīm ir vienādi ar nulli, t.i. S x un S 0. Tādā gadījumā sakarības (6.11)100y10un (6.12) vienkāršojas un iegūst sekojošu veidu:Ix222 I a A I I b A;I I abA.(6.13)x10; y2y10x2y2x10y10Šīs formulas (6.13) sauc par pārejas formulām no centrālām asīm uz jebkurāmtām paralēlām asīm. Gadījumā, ja nepieciešams pāriet no jebkurām patvaļīgām asīmx un y uz tām paralēlām centrālām asīm, lietojam sakarībasIatt. 6.5x1022 I a A I I b A;I I abA.(6.14)x2; y10y2x10y10x2y2Svarīgi atcerēties, ka asu pārbīdes koeficienti a un b sakarībās (6.11) – (6.14) jālietoľemot vērā to zīmes koordinātu asīs x 2, y 2 .88

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAIzmantojot sakarību (6.13), varam izdarīt secinājumu, ka aksiālā inerces momenta vērtībasjebkurās pārbīdītās asīs ir lielākas par attiecīgo aksiālo inerces momentu vērtībāmcentrālās asīs. Tātad asīs, kuras iet caur figūras smaguma centru ir minimāliešķērsgriezuma aksiālie inerces momenti.Centrbēdzes inerces moments jebkurās centrālajām asīm paralēlās asīs ir vienāds arcentrbēdzes inerces momentu centrālajās asīs plus šķērsgriezuma laukuma reizinājumsar tā smaguma centra koordinātēm jaunajās asīs.Gadījumos, kad šķērsgriezumam ir simetrijas ass, centrbēdzes inerces moments centrālajāsasīs ir vienāds ar nulli un centrbēdzes inerces moments jebkurās paralēli pārbīdītāsasīs ir abA.I x y2 2Izmantojot sakarību (6.9) un paralēlas asu pārbīdes sakarības, varam pierādīt, ka2 2I I bSyaSxa b A2 2 2 111,bet, ja asis x 1 y 1 dotajam šķērsgriezumam ir centrālās, ir spēkā sakarība2 2I2 I a b A10 .6.4. Vienkāršu plakanu figūru laukumu inerces momentiNosakot figūru inerces momentu vērtības līdzīgi kā smaguma centra gadījumā svarīgiir pievērst uzmanību tam, kurās asīs tiek veikts aprēķins. Šī paragrāfa ietvaros noteiksimvienkāršāko plakano figūru inerces momentus šo figūru centrālajās asīs (koordinātusākumpunkts figūras smaguma centrā).Taisnstūris.Nosakot taisnstūra aksiālos inerces momentus centrālāsasīs, kuras vērstas taisnstūra malu virzienos visu taisnstūralaukumu sadalām elementāros slānīšos, kuru augstumsir dy , bet platums b . Tādas josliľas laukums irdA bdy , bet tās attālums no x ass vienāds ar y, pie kamy mainās no h 2 līdz h 2 .Ixh2h2hIevietojot integrālīdA izteiksmi, iegūstamIxAy2dA22 3 2 32 22bhy bdy b y dy 2by dyy 2b .3 12h2h0h0integrēšanas robeţas unAnalogā veidā visu taisnstūra laukumu varam sadalīt elementārslānīšos paralēli y asij.Veicot integrēšanu pa x asi robeţās no b 2 līdz b 2 , iegūstam vērtību3hbI y .1289

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBASvarīgi ľemt vērā, ka šīs taisnstūra veida figūras aksiālo inerces momentu vērtībasattiecas tikai uz centrālām, taisnstūra malu virzienos orientētām asīm. Šīs asisir dotās figūras simetrijas asis.Piemērs 6.6 Noteikt inerces momentus taisnstūrveida šķēlumam asīs, kuras vērstas pataisnstūra malām.Atrisinājums. Tā kā ir zināms, ka centrālajās asīs (x , y) figūras3bhinerces moments ir Ix C , bet tās laukums A bh un x12ass tiek pārbīdīta par a = h/2 izmantojot sakarību (6.12), iegūstamI x3 23bh h bh bh .12 4 33hbLīdzīgā veidā varam iegūt sakarību I y , bet centrbēdzes3b2 h 2inerces moments x un y asīs ir I xy .4Tātad aksiālo inerces momentu vērtības asīs x, y ir četras reizes lielākas kā centrālajāsasīs.Rinķis.Nosakot rinķa laukuma aksiālos inerces momentus pret centrālāmasīm ērti rīkoties sekojošā veidā – ľemot vērā, ka rinķaaksiālie inerces momenti pret jebkuru centrālo asi ir vienādiI I ) un izmantojot sakarību (6.9), iegūstam izteiksmes(x yIx Iy Ip2 . Atliek noteikt rinķa polāro inerces momentuIp. Šai nolūkā varam izmantot polārās koordinātes un .Veicot elementārlaukumiľu dA d dun to attāluma līdz polam O kvadrātareizinājumu summēšanu pa visu rinķa laukumu A , nonākam pie sekojoša rezultāta:I2RR4 4233 RDp dA d d 2 d .2 32a0 00Tātad aksiālie inerces momenti rinķim pret jebkuru centrālo asi irIx4 4 4Ip DDR Iy .2 2 32 64 490

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAGredzens.Gredzena polārais inerces moments pret centrālāmasīm nosakāms kā starpība starp ārējā diametra riľķapolāro inerces momentu un iekšējā riľķa polāro inercesmomentu:kur:Ip d32diekša .dār4ār d324iekš 0,1 dIyār.2p4Gredzena aksiālie inerces momenti ir I I 0,05d4 1 a x4ār1aTrīsstūris.Trīsstūra ar augstumu h un pamata malu blaukumu sadalām elementārlaukumiľos dA ,kuri paralēli trīsstūra pamatam. Viena tādaelementārlaukumiľa laukums ir dA b dy . 1 1Garumu b1nosakām no trīsstūru ABC unDBE līdzības: b1 bh y1/h . TātaddA b h y dy / . hIzmantojot sakarību (6.7), nosakām trīsstūra ABC aksiālo inerces momentu pret tā pamatamalu, tātad asīs x 1 , y 1 :Ix1Ay21Izmantojot sakarībudA bIh20y21 y11 dy h 13bh12x1 x2 I a A un ľemot vērā, ka a h 3 aksiālais inerces momentspret trīsstūra centrālo asi x ir:I22x Ix a .13bhA 12 h - 3 bh23bh361Tātad aksiālā inerces momenta vērtība pret centrāloasi ir trīs reizes mazāka, kā pret asi, kura sakrīt ar trīsstūramalu.Studentiem ieteicam patstāvīgi pierādīt, ka trīsstūraaksiālais inerces moments pret asi x 2 , kura ir paralēlagalvenajai asij x un iet caur trīsstūra virsotni B, ir3bh 4 .Vienādsānu trīsstūrim aksiālais inerces moments pret simetrijas asi (ass y) nosakāmskā divu taisnlenķa trīsstūru (BDA un BDC) inerces momentu summa:14,91

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAI y3h b/2 hb 2 .12 483Pusriľķis.Pusriľķa aksiālais inerces moments pret asi, kuravērsta pa rinķa diametru, ir puse no riľķa inercesmomenta, t.i.:4RI x .8Aksiālo pusrinķa inerces momentu pret centrālo asi x nosakām izmantojot asu paralēlāspārbīdes principu. Tā rezultātā iegūstam aksiālā inerces momenta vērtību pret centrāloasi, kura paralēla pusrinķa pamatam.:Ix C Ix2 R a A 84 4R 32R228 R 8 94 0,11RPusriľķa aksiālo inerces momentu pret y asi varam noteikt izmantojot sakarību4 4 4RRRIp Ix Iy. Tādā gadījumā Iy Ip Ix un esam konstatējuši,ka pusriľķa aksiālais inerces moments pret simetrijas asi ir puse no aksiālā inerces2 2 8 8momenta pilnam riľķim, kā tas bija arī sagaidāms.Dubult-T veida laukums.Nestandarta dubult-T profila laukuma inerces momentupret x asi atrodam kā taisnstūra (ar pamatu bun augstumu h) un divu savstarpēji vienādu taisnstūru(ar augstumiem h 1 un kopējo platumu b 1 = b — taksiālo inerces momentu starpību.Ass x iet caur visu taisnstūru laukumu smagumacentriem, līdz ar to varam izmantot formulu (6.13):bh b1h1 bh b t h1I x 12 12 12Gadījumos, kad figūras laukumu var sadalīt atsevišķās daļās, kuru inerces momentipret to centrālajām asīm nosakāmi pēc gatavām formulām (sk. pielikumā) vai doti sortimentatabulās (velmētie profili), visa laukuma inerces momentu pret centrālo asi aprēķina,summējot atsevišķo daļu inerces momentus. Bieţi nākas pielietot teorēmu parinerces momentiem pret paralēlām asīm.Sarežģīta laukuma atsevišķo daļu inerces momentus drīkst summēt tikai pēc toreducēšanas uz kopīgu asi.3334392

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAIzmantojot iepriekš teikto, noteiksim T veida profila laukuma inerces momentu pretcentrālo asi x. Kopējā laukuma smaguma centra attālumu no apakšējās malas y c nosakāmatbilstoši sakarībām (6.6). Sadalām figūru divostaisnstūros, kā attēlots zīmējumā. Šo taisnstūru smagumacentru attālumus no x ass apzīmējam ar a 1 una 2 . Taisnstūru laukumu inerces momenti pret šo laukumucentrālajām asīm, kuras paralēlas x asij, saskaľāar formulu (6.13) ir33b1 h1b2h2un .12 12Kopējā laukuma inerces momentu pret x asi aprēķinām,izmantojot formulu (6.7):33b1h12 b2h22I x a1b1h1 a2b2h 2.12 12Piemērs 6.7. Noteikt vienādsānu trapeces aksiālo inerces momentu pret pamatiem paralēlucentrālo asi.Atrisinājums. Vienādsānu trapeces gadījumāpiem. 6.3 tika konstatēts, ka tās smaguma centrsh b2atrodas augstumā y c1no trapecespamata. Trapeces aksiālo inerces momentu pret3 b1 b2centrālo asi x noteiksim kā taisnstūra un divu taisnleľķatrīsstūru aksiālo inerces momentu starpību.Atsevišķo figūru aksiālo inerces momentu vērtībaspret to lokālajām centrālajām asīm, kuras ir paralēlasasij x, jau esam noteikuši. Tās ir33b1hb1 b2hIt st , ; I trst, .1272Nepieciešams noteikt atsevišķo figūru lokālo smaguma centru C 1 un C 2 attālumus nodotās trapeces smaguma centra C.Attālums starp centriem C 1 un C irah y 21 C, bet starp centriem C 2 un C tas ir2ha2 y c. 3Tātad, lai reducētu atsevišķo figūru aksiālos inerces momentus uz x asi, izmantojamparalēlās pārneses formulas (6.13), kā rezultātā iegūstam:93

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAII33 2b 1h2 b1hb1 b1b2 b a1b1h 12 9 b1 b22t stx22;3b b hb b hb b 3 222 1 2 1 2h 3b1 b1b a2 72 2 2 72 b1 b22122 b2tr stx.2Izmantojot sakarībuItrap,x I 2Itst,x trstxpēc matemātiskiem pārveidojumiem iegūstam:hb 5bb 5b b b3 3 22 3 3 221 1 2 1 2 2 1 1 2 2I trap .236 b36b1b21 b2hb 4b bŠī sakarība pierāda, ka trapeces aksiālais inerces moments centrālajās asīs atkarībā notrapeces pamatu b 1 un b 2 attiecības var mainīties starp divām robeţvērtībām – analoga3baugstuma trīsstūra ar pamata malu b 1 inerces momenta vērtību 1hun taisnstūra ar363baugstumu h un platumu b, inerces momenta vērtību 1h. Tātad trapeces centrālā12inerces momenta vērtība var mainīties trīs reizes. bPiemērs 6.8. Aprēķināt galvenos centrālos inerces momentus figūrai, ko veido taisnstūris,no kura izgriezts riľķis.un riľķī, kuram94d 3,14 12A2 1132 4222 cm ;Atrisinājums. Vispirms atrodam galvenās centrālāsinerces asis. Šķēlums ir simetrisks pret yasi un tātad tā ir viena no galvenajām asīm.Otra galvenā ass ir asij y perpendikulāra un ietcaur šķēluma laukuma smaguma centru. Pataisnstūra apakšējo malu novelkam palīgasi x 1un nosakām attālumu y c no šīs ass līdz šķēlumalaukuma smaguma centram. Figūras sķēlumusadalām divās daļās - taisnstūrī, kuram2A bh 20 30 600 cm ;1hy1 15cm;2

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAy f 20cm.2Riľķa laukuma statisko momentu uzskatam par negatīvu, jo tas izgriezts no taisnstūra.Aprēķinām statiskos momentus un nosakām v c :SS1xy12xc13 A y 600 15 9000cm;121 A y23 11320 2260cm;S1x S29000 2260 67401 x 1 13,8cm.A A 600 11348712Attālums no x ass līdz taisnstūra laukuma smaguma centram ira 15 13,81, 2cm ;1attiecīgais attālums riľķima 20 13,86, 2cm .2Nosakām visa šķēluma inerces momentus kā taisnstūra un riľķa laukumu inerces momentustarpību. Attiecībā pret x asi iegūstamkurIx I I ,xtbh12xr20 30123224I xt bha1 20 301,2 45000 865 45865 cm ;4 2dd2 3,14 12I xr a264 4 6441010 4350 5360 cm .43,14 1242 6,2Tātad dotās figūras aksiālais inerces moments pret šīs figūras centrālo asi ir:I x =45865 –5360=40505 cm 4Attiecībā pret y asi varam veikt analogu aprēķinu un tā rezultātā iegūstamkurIyI ytI yr I I ,ytyr3 3b h 20 30 20000cm12 124d 643,14 1264441010cmTātad pret figūras simetrijas asi y aksiālais inerces moments ir4I y 20000 101018990cm.4295

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA6.5. Sakarības starp inerces momentiem pie asu pagriešanasIzmantosim divas koordinātu sistēmas: xy (vecā sistēma)un x y (jaunā sistēma), kuras atšķiras ar to, kajaunā sistēma ir pagriezta pret veco par leľķi virzienā,kurš pretējs pulksteľrādītāja kustības virzienam(att. 6.6).Tādā gadījumā asu transformācijas sakarības irxy y sin x cos; y cos x sin.Lai noteiktu aksiālo inerces momentu pret x asi, izmantojam sakarībuIx cosA2y dA 2Tātad esam ieguvuši izteiksmiIAy cos x sin22 y dA 2sin cos xydA sin x2dA A A A2dA.22 I cos I sin I sin . (6.15)x2 xyxyAnalogā veidā iegūstamI22 I sin I cos I sin . (6.16)y2 xyxySaskaitot izteiksmes (6.15) un (6.16) nonākam pie jau iepriekš pierādītā, kaI I I Ix y x y,un tātad aksiālo inerces momentu summa divās savstarpēji perpendikulārās asīs navatkarīga no šo asu pagrieziena ap sākumpunktu.Lielumus, kuri nemainās veicot asu pagriezienu, tiek saukti par invariantiem. Tātadsumma I I ir invariants lielums.xyVeicot līdzīgus aprēķinus kā iepriekš izklāstītie, nosakām arī centrbēdzes inerces momentavērtību pagrieztajās asīs x y . Šo vērtību nosaka sakarībaIatt. 6.6Ix Iy sin 2 Ixycos (6.17)2x2 y6.6. Galvenās asis un galvenie inerces momentiSakarības (6.15) – (6.17) rāda, ka pagrieţot koordinātu asis, inerces momentu vērtības izmainās,bet tai pat laikā aksiālo inerces momentu summa paliek nemainīga. Tātad, ja kādāasu orientācijas stāvoklī vienam no aksiāliem inerces momentiem (piem. I x ) ir tā maksimālāvērtība, tad otram aksiālajam inerces momentam (I y ) ir tā minimālā vērtība. Šādas asiszīmīgas arī ar to, ka šajās asīs centrbēdzes inerces moments ir vienāds ar nulli.Turpmāk tiks izmantoti sekojoši jēdzieni:96

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAasis, kurās figūras centrbēdzes inerces momenta vērtība ar nulle, sauksim pargalvenajām asīm;gadījumos, kad šo asu sākumpunkts sakrīt ar figūras smaguma centru, asissauksim par galvenajām centrālajām asīm ( bieţi vien šīs asis apzīmē ar u unv);figūru inerces momenti pret šīm asīm attiecīgi tiks saukti par galvenajieminerces momentiem vai galvenajiem centrālajiem inerces momentiem.Iegūtās inerces momentu izmaiľassakarības (6.15 – 6.17) ērti attēlotgrafiski. No att. 6.7 redzamajāmlīknēm varam spriest par inercesmomentu izmaiľas likumsakarībāmun to savstarpējām attiecībāmjebkurai asu pagrieziena leľķa vērtībai.Visām trim līknēm ir sinusoidālsraksturs. Leľķa vērtībām 1 , 2 un 1 +180 0 līknes Ivērtības ir nulle un šīm leľķa vērtībām atbilst maksimālās un minimālās aksiālo inercesmomentu vērtības. Leľķu vērtībām 1 +45 0 un 2 +45 0 atbilst maksimālā centrbēdzesinerces momenta vērtība, bet aksiālo inerces momentu Ixun Iyvērtības ir vienādas.Tātad, lai noteiktu galveno asu stāvokli attiecībā pret jebkurām patvaļīgi izvēlētāmasīm x, y, kurās inerces momentu vērtības I x , I y , I xy ir zināmas, nepieciešams noteikt topagrieziena leľķa g vērtību, pie kuras izpildās nosacījums ( I 0 ):Ix Iysin 2g Ixycos 2g 02Šo vērtību nosaka izteiksme:2Ixytg 2g (6.18)I IxySaskaľā ar izteiksmi (6.18) iegūstam divas leľķa g vērtības, kuras viena no otras atšķiraspar 90 0 . Tātad galvenās asis ir savstarpēji perpendikulāras.Pierādīsim, ka galvenajās asīs aksiālo inerces momentu vērtības ir ekstremālas. Lai toveiktu, pielīdzinām aksiālā inerces momenta I atvasinājumu nullei. Tādā veidā iegūstamsakarībuundIx I dexatt. 6.7 I2y2sin 2 Iexyx 2cos 2 0ex y x y 97

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAtg2Ixy2e .Ix Iykur e - leľķis, kas nosaka koordinātu asu stāvokli, kurās aksiālie inerces momenti irekstremāli. Salīdzinot iegūto izteiksmi ar izteiksmi (6.18), varam secināt, ka leľķis e= g . Tātad galvenās un inerces momenta I ekstremālo vērtību asis sakrīt. Lai noteiktugalveno inerces momentu vērtības, sakarībā (6.15) ievietojam ar izteiksmi (6.18)noteiktās leľķu g vērtības. Tādā veidā iegūstam sakarībuIx IyIx IyIg Imax cos 2 g Ixysin 2g(6.19)min 2 2Šo sakarību varam pārveidot izslēdzot no tās leľķi g .Veicot analītiskus pārveidojumus, jāizmanto sakarības:IxyItg 2αgx I2y Isin 2g;cos 22Ixxy Iy.g1cos 2gx 1tg22;Rezultātā iegūstam formulu, kura nosaka galveno inerces momentu vērtības:Ix Iy 12 2Imax Ix Iy 4Ixy, (6.20)min 2 2(―+‖zīme attiecas uz maksimālo galvenā inerces momenta vērtību, bet ―- ― uz minimālo.Bieţi vien galveno asu stāvokļa noteikšanai formulas (6.18) vietā izmanto formulasIxyIxytg 1 un tg 2 . (6.21)I II ImaxyminLeľķi 1 veido sākotnējā ass un ass, pret kuru inerces moments ir I max , bet leľķi 2 tāmperpendikulārās asis, pie kam 1 < 2 .ygPiemērs 6.9. Noteikt attēlā redzamo šķērsgriezumu galveno centrālo asu stāvokli.Atrisinājums.1. Tā kā figūrai att. 6.8a y ir simetrijas ass, tad I xy = 0, bet I x un I y nav nulle un arī98

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAI I 0 , tad saskaľā ar formulu (6.18) tg2 0 .x yg00Šim nosacījumam atbilst leľķu vērtības 0 ; 90 . Tātad asis x un y ir galvenāscentrālās asis.2. Att. 6.8b redzamajai figūrai (vienādmalu leľķa profils) ir spēkā nosacījumiI 0,I I 0 , jo malām paralēlajās asīs I x = I y .xyxy00Tātad no formulas (6.18) seko, ka tg2 g un līdz ar to 45 ; 135.x y 3. Att. 6.8c un d attēlotajām figūrām ir spēkā nosacījumi Ixy 0 , Ix Iyun līdz ar to0iegūstama nenoteiktību tg 2g . Izmantojot sakarību (6.17), konstatējam, ka0I 0 pie jebkuras leľķa vērtības. Tātad jebkuras ap smaguma centru C pagrieztasasis ir galvenās. Tātad kvadrātam, riľķim jebkuras caur centru C ejošas ortogonālaskoordinātu asis ir galvenās centrālās asis.ggggPiemērs 6.10. Aprēķināt nesimetriskas figūras šķēluma galvenos centrālos inercesmomentus.Atrisinājums. Šķēlumu sadalām vienkāršāsfigūrās — trijos taisnstūros.1. Aprēķinām šo taisnstūru laukumus un nosakāmto smaguma centru koordinātes palīgasux 1 un y 1 sistēmā:2A 16 6 cm ;yyy11A21A33 7,5 cm; 16 6 cm 4 cm;Aprēķinām taisnstūru laukumu statiskos momentus:SSS1x12x13x1 A y1 A231y A y23 6 7,5 45 cm 6 4 24 cm 8 0,5 4 cm333;;; 18 8 cm 0,5 cm.SS1y1S2 y13y1 A x1321 A x A x322;;x 3 cm;x1x32 0,5 cm; 4 cm; 6 3 18 cm2 6 0,5 3 cm 8 4 32 cmPēc formulām (6.6) nosakām profila laukuma smaguma centra koordinātes:xcatt. 6.9S1y S2y S11 3y18 3 32 53 2,65 cm ;A A A 6 6 8 201233;3.3;99

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA100ycS1x S2x S3x45 24 4 731 11 3,65 cm .A A A 6 6 8 20123Caur smaguma centru novelkam x 0 un y 0 asis, kuras ir attiecīgi paralēlas x 1 un y 1 asīm.2. Aprēķinām šķēluma laukuma aksiālos un centrbēdzes inerces momentus pret x 0 un y 0asīm, izmantojot pārejas formulas uz paralēlām asīm. Inerces moments pret x 0 asi irIIx01x0I2xI3xI x I1x06 112 I32x0 I3x0; 6 13,852 0,5 89 89,5 cm16cm012324 160,35 18 0,7 18,7;81cm012324 813,15 0,7 79,3 80 ;4 89,5 18,7 80 188,2.0cmInerces moments pret y 0 asi irIIy01y0 I1y01612 I32 yo I3y0;16 0,35218 0,7 18,7cm3122 0 6 12,15 0,5 27,8 28,3 cm12I y6 43823 0 181,35 42,8 14,6 57,4 cm12I yI y1 44 18,7 28,3 57,4 104,4.0cmCentrbēdzes inerces moments irIx I I I .0 y0x0y02x0y03x01 y0Šajā gadījumā katra taisnstūra centrbēdzes inerces momentu pret visa šķēluma centrālajāminerces asīm, kas paralēlas taisnstūru simetrijas asīm, nosaka kā taisnstūra laukumareizinājumu ar tā smaguma centra koordinātēm x 0 un y 0 asu sistēmā (šo pieľēmumunepierādām).Aprēķinot centrbēdzes inerces momentus, jāievēro taisnstūru laukumu smaguma centrukoordinātu zīmes:I43,850,35 8,1 ;6 1cm0 y 1x0II40,352,15 4,5;6 1cm0 y 2x043,151,35 34;8 1cm0 y 3x044;;;;

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAI x y 8,1 4,5 34 30,4cm0 03. Izmantojot formulu (6.18) nosakām galveno centrālo asu stāvokli:2Ix 2 30,40 y 0tg 2 0 0,726 .I I 104,4 188,2y0x04No trigonometriskajām tabulām atrodam, ka 2 0 = 36°, tātad 0 =18°. Galvenās centrālāsasis x un y parādītas att. 6.9.4. Izmantojot formulas (6.15) un (6.16), nosakām galvenos centrālos inerces momentus:sin 0 =0,309; cos 0 = 0,951; sin 2 0 =0,588;Ix Ix0cos104,4 0,309Iy Ix0sin22 I002 I2104,4 0,951 y0sin2 I0x0y02sin 2188,2 0,951 0430,4 0,588 1701, 9,9 17,9 197,9 cm ;y0cos6.7. Šķēluma inerces rādiuss.2 I0x0y0sin 2188,2 0,309430,4 0,588 17,9 94,3 17,9 94,3 cm .Šķēluma inerces rādiuss ir vēl viens ģeometriskais šķēluma raksturlielums, kuru bieţinākas izmantot kā teorētiskos, tā praktiskos aprēķinos. Par šķēluma inerces rādiusuattiecībā pret kādu no asīm, piemēram x, sauc lielumu i x , kuru nosaka sakarībaIxix .ATātad zinot stieľa šķēluma inerces momentu un tā šķērsgriezuma laukumu varam noteiktinerces rādiusu pret attiecīgo asi.Galvenajām asīm atbilstošos inerces rādiusus sauc par galvenajiem inerces rādiusiemun nosaka ar sakarībām:Imaximax ,A0Iminimin . (6.22)AŠķēluma inerces rādiusa mērvienības sakrīt ar garuma mērvienībām (mm, cm, m).6.8. Saliktu laukumu inerces momentu noteikšanaLiektu elementu izgatavošanai būvpraksē bieţi vien izmanto metāla standarta velmējumusar stūreľu, dubult-T un U veida šķērsgriezumiem. Velmētu profilu visi izmēri,kā arī to šķēlumu laukuma inerces momentu un daţu citu ģeometrisko raksturotāju vērtībasapkopotas sortimentu tabulās.Tā kā Latvijas būvpraksē liels ir to velmējumu īpatsvars, kuri veidoti atbilstoši NVS(sk. Pielikumu) standartiem, šīs grāmatas pielikumā doti atbilstoši dati par karsti velmētometāla profilu ģeometriskajām īpašībām. (Eiropas standartiem atbilstošu profilu2101

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAīpašības dotas grāmatā - BŪVMEHĀNIKA - statiski nenoteicamas sistēmas).Aplūkosim tabulā atrodamo izrakstu no vienādsānustūreľu (att. 6.10) sortimenta tabulām. Pirmajāskolonnās doti profilu numuri, viena tekošā metramasa, šķērsgriezuma izmēri un laukums. Nākamajāskolonnās dotas inerces momentu un inercesrādiusu vērtības centrālajās un galvenajās asīs. Iruzrādīts galvenās centrālās ass orientācijas leľķis(tgα) attiecībā pret vienu no stūreľa malām. Izmantojotšos datus iespējams noteikt analogusparametrus jebkurās patvaļīgi orientētās asīs. Tādanepieciešamība rodas nosakot saliktu, no vairākiemsavā starpā saistītiem stieľiem veidotu lau-6.10. att.kumu ģeometriskos raksturotājus.6.9. Galveno inerces momentu noteikšanas kārtībaNosakot sareţģītas šķērsgriezuma formas figūras galvenos inerces momentus, mērķtiecīgiievērot sekojošu aprēķinu secību:1. Izvēlamies patvaļīgu taisnleľķa koordinātu sistēmu un sadalām doto šķērsgriezumuvienkāršākās figūrās, kuru inerces momenti nosakāmi ar zināmām formulāmjeb iegūstami no tabulām. Pēc sakarībām (6.6) nosakām dotās figūrassmaguma centra koordinātes.2. Nosakām vienkāršo figūru inerces momentus to centrālajās asīs un, izmantojotsakarības starp inerces momentiem paralēlās asīs, nosakām vienkāršo figūruinerces momentus dotās figūras centrālās asīs. Summējot iegūto atsevišķo figūruinerces momentus, nosakām summārās figūras inerces momentus tās centrālajāsasīs xy.3. Izmantojot sakarību (6.18) nosakām galveno centrāloasu uv stāvokli pret brīvi izvēlētajām centrālajāmasīm xy.4. Nosakām galveno centrālo inerces momentu vērtībasI max un I min (sakarība (6.20)).Ar saliktas formas šķēlumu laukumu inerces momentunoteikšanu izmantojot sortimentu tabulas iepazīsimiessekojošos piemēros.102Piemērs 6.11. Noteikt attēlā redzamā šķēluma laukumaaksiālos inerces momentus pret šķēluma galveno centrāloasi x. Šķēlums sastāv no vertikālas plāksnes (sieniľas),kurai h = 400mm, = 10 mm, un četriem vienādsānu stūreľiem75X75X8 mm.Atrisinājums. Šķēluma laukuma aksiālais inerces moments ir plāksnes inerces momentaun četru stūreľu inerces momentu summa:

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAI I 4I.xxplxstAprēķinām vertikālās plāksnes inerces momentu:33h 1404I xpl 5330cm.12 12Izmantojot teorēmu par inerces momentiem pret paralēlām asīm, iegūstam stūreľainerces momentu:Ixst2 I a A.x st1I x1st vērtību ľemam no sortimenta tabulām; tas ir stūreľa laukuma aksiālais inercesmoments pret stūreľa centrālo asi, kas paralēla vienam pamatam, tātad I x1st =59,8 cm 4(attēlā šī ass apzīmēta ar x 1 ).Attālumu starp paralēlajām asīm x 1 un x a nosaka izteiksmeh 40a z 0 2,15 17,85cm,2 2kur z 0 — stūreľa laukuma smaguma centra attālums no pamata (att. 6.10) — arī ir dotssortimentu tabulās.Ievietojot skaitliskās vērtības stūreľa inerces momenta formulā un ievērojot, ka stūreľašķērsgriezuma laukums A=11,5 cm 2 (no sortimentu tabulām), iegūstam24I xst 59,811,517,85 59,8 3670 3730 cm .Tātad saliktās figūras aksiālā inerces momenta vērtība pret galveno centrālo asi x ir:I4x Ixpl 4Ixst 5330 43730 20250 cm .att. 6.11pret y asiI ypl33b 1,2 20 12 12Piemērs 6.12. Noteikt galvenos centrālos inercesmomentus un inerces rādiusus šķēlumam, kas sastāvno četriem stūreľiem 100X100X10 mm un divām horizontālāmplāksnēm, kuru izmēri ir b = 200 mm, =12 mm.Atrisinājums. Šķēluma galvenās centrālās inercesasis ir tā simetrijas asis x un y. Šķēluma aksiālie inercesmomenti summējas no divu plākšľu un četru stūreľuinerces momentiem:I 2I 4I;Ixy 2Ixplypl 4INosakām plāksnes aksiālos inerces momentus: 800 cm4;xstyst.103

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBApret x asikurIaAxplplpl3b2 Aplapl,12δ 10 10 0,6 10,6 cm;22 20 1,2 24 cm .Ievietojot skaitliskās vērtības, iegūstam20 1,212324I xpl 24 10,6 3 2690 2693cm.Plāksnes laukuma aksiālais inerces moments pret centrālo asi x 1 , kas paralēla plāksnesgarumam ir ļoti mazs lielums (3 cm 4 ) un to dotā gadījumā var neievērot.Aprēķinot stūreľu aksiālos inerces momentus, ľemam vērā, ka stūreľi attiecībā pret yun x asīm izvietoti simetriski un tādēļIxst I ; I I I a A ,ystxstystkur Ix2- stūreľa aksiālais inerces moments pret tā centrālo asi x 2 .x22stNo sortimenta tabulām (sk. Pielikumā) iegūstam:I x2 =179 cm 4 ; A st = 19,2 cm 2 ; z 0 = 2,83 cm;a st =10 –z 0 = 10 – 2,83 = 7,17 cmun līdz ar to stūreľu aksiālo inerces momentu skaitliskās vērtības attiecībā pret saliktāsfigūras galvenajām centrālajām asīm irI24xst Iyst179 19,27,17179 985 1164cm ,bet visa šķēluma galveno centrālo inerces momentu vērtības irIIyx 2I 2Iyplxpl 4I 4Iystxstst 2 800 4 11641600 4656 6256 cm 2 2693 4 1164 5386 4656 10042cmŠķēluma inerces radusi pret x un y asīm nosakāmi atbilstoši sakarībām (6.22).Izmantojot iepriekš noteiktās šķēluma aksiālo inerces momentu vērtības, iegūstamIx10042 10042ix 8, 97 cm ;A 2 20 1,2 4 19,2124,8Iy 6256iy 7, 08cm.A 124,8No iegūtajiem rezultātiem varam secināt, ka , ja dotā šķērsgriezuma aksiālie inercesmomenti atšķiras 1,6 reizes, tad inerces radusi atšķiras tikai 1,27 reizes.4;4.104

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAPiemērs 6.13. Noteikt dotajam šķēlumam galveno centrālo asu stāvokli un galvenocentrālo inerces momentu vērtības. Visi ģeometriskie izmēri doti attēlā milimetros.Atrisinājums. Salikto šķērsgriezumu veido U profilsNr. 40, taisnstūris 25 x 400 un dubult-T profils Nr. 30.Atbilstoši sortimentu tabulu datiem (sk. Pielikumā) irzināmi sekojoši izejas dati:U profilam Nr. 40:A 1 = 61,5 cm 2 , I x1 = 642 cm 4 , I y1 = 15220 cm 4 ;taisnstūrim:A 2 = 100 cm 2 , I x2 = 52 cm 4 , I y2 = 13300 cm 4 ;dubult-T profilam Nr. 30:A 3 = 46,5 cm 2 , I x3 = 7080 cm 4 , I y3 = 337 cm 4 ;1. Izmantojot sakarības (6.6) nosakām saliktā šķēlumasmaguma centra koordinātes asīs, kuras sakrīt ar U profilagalvenajām centrālajām asīm x 1 y 1 :A1 x1 A2x2 A3x361,5 0 100 0 46,5 ( 13,25)X C 2,96cm;A A A61,5 100 46,25Y C112233A1 y1 A2y2 A3y361,5 0 100 4 46,5 20,25 6,45cm.A A A 61,5 100 46,25Novelkam saliktā šķēluma centrālās asis x y.2. Nosakām saliktā šķēluma centrālos inerces momentus centrālās asīs x y, izmantojotpārejas formulas (6.13) pie asu paralēlās pārneses un salikto figūru veidojošo figūrucentrālo momentu vērtības. TātadIIIxCyCxCyC I Ix1yC a1121 b21 a b A1A I112x2A Iy2 a b A2 a A2222232 b A2 I a b A33x3 Iy3 a A23233 b A3 8557,2. 35205,2; 19888,9;3. Nosakām saliktā šķēluma galveno asu pagrieziena leľķi 0. Tā kā2Ix 2( 8557,2)C yCtg2 0 1,12,I I 35205,2 19888,9x CyCtad 0. =-24,5°. Tātad galvenās asis u,v ir pagrieztas attiecībā pret centrālajām asīm x,ypretēji pulksteľrādītāja kustības virzienam par 24,5°.4. Izmantojot sakarības (6.20), nosakām galveno centrālo inerces momentu vērtībasIuIx I2y122 2I I 4Ixyxy105

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA35205,219888,9224 15316,3 4( 8557,2) 16063,45cm,2Ix Iy 12 2Iv Ix Iy 4Ixy2 235205,2 19888,9224 15316,3 4( 8557,2) 39030,65cm.2(Zīmi pirms kvadrātsaknes izvēlas saskaľā ar nosacījumu: ja Ix Iy, tad Iunoteikšanaiizmantojam mīnus zīmi un otrādi).Izdarot aprēķinu pareizības pārbaudi konstatējam, ka I I I I , jo39030,65 + 16063,45 = 19888,9 +35205,2.5. Nosakām šķēluma galvenos inerces rādiusus un pēc to vērtībām konstruējam inerceselipsi..Galveno inerces rādiusu vērtības, saskaľa ar formulām (6.22), ir:Iu16063,45iu 8, 787 cm ;A 208Iv39030,65iv 13,698 cm .A 2086.10. Pretestības momentsKonstrukciju mehānikā, sevišķi liektu elementu stiprības aprēķinos, plaši tiek lietotsvēl viens elementa šķēluma ģeometriskais raksturotājs – pretestības moments.Aksiālais pretestības moments ir figūras laukuma galvenā centrālā inerces momentadalījums ar figūras attālākā punkta attālumu līdz galvenajai centrālajaiinerces asij.Aksiālos pretestības momentus pret x un y asīm apzīmē ar W x un W y . Saskaľā ar aksiālāpretestības momenta definīciju varam rakstīt, kaIIxyWx , Wy .ymaxxmaxPretestības momenta mērvienība ir garuma mērvienība kubā (m 3 , cm 3 , u.c.).Nesimetriskam šķersgriezumam katram pretestības momentam ir divas atšķirīgas vērtības,kuras iegūstam par y max un x max ľemot lielākos attālumus no centrālajām asīm y unx asu pozitīvajos un negatīvajos virzienos (liecē šādiem šķērsgriezumiem ir atšķirīgipretestības momenti stieptajai un spiestajai zonai).Taisnstūrim, kura malas ir b un h figūras attālākā punkta atstatums līdz galvenajaiinerces asij y max = h/2. Tātad pretestības moments pret x asi irIWxyxmax3bh 2 bh 12h 62,uvxy106

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAbet pret y asi2hbW y .6Kvadrātam, kura mala ir a un y max = a/24 3Ixa 2 aWx Wy .ymax12a 6Riľķim, kura diametrs ir d un tātad y max = d/2 aksiālie pretestības momenti pret x un yasīm ir vienādiWx WyIyxmax43d 2 d ;64d 32polārais pretestības moments ir ( max = d/2)Wp43Ip d 2 d . 32d 16maxRiľķa gredzenam (att. 6.7b) izmantojot iepriekš noteiktās inerces momentu izteiksmesun ľemot vērā, ka y max = D/2, iegūstam:aksiālais pretestības momentsWxIyxmax43 41 a 2 D1 a ;4D64 Dpolārais pretestības momentsWpIpmax4D32 D3243 41 a 2D1 a 16.a=h/2+1/2=10+0,5=10,5 cm=10,510 -2 m;y max = h/2 + 1 = 100 + 1=11 cm = 1110 -2 m;Piemērs 6.14. Aprēķināt galvenos inerces momentusun pretestības momentus dotajai figūrai.No sortimenta tabulām dubult-T profilam Nr. 20I x =1840 cm 4 , I y = 115 cm 4 , h = 20 cm. Aprēķinājālieto SI mērvienību sistēma.Atrisinājums. Pārveidojam no tabulām iegūtosizejas lielumus SI sistēmā:I 1x =184010 -8 m 4 ; I 1y =11510 -8 m 4 ; h=2010 -2 m.Taisnstūra laukumsA 2 = A 3 = 12 1 cm 2 = 12 10 -4 m 2 ,attālumi107

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAx max =12/2= 6 cm =610 -2 m.Taisnstūru inerces momenti pret to centrālajām asīm x 2 , x 3 un y irII2x22 y I I3x33y1102212 101101223 1108231210 84 144 1012Taisnstūra inerces momentu pret figūras centrālo asi x nosakām izmantojot asu paralēlāspārbīdes sakarības. Tā rezultātā iegūstam:II2x3x I I2x2x2 A a221324101108m8412104m4,m 10,5 1022132410Aprēķinām visas figūras inerces momentus pret tās galvenajām centrālajām asīm x un y :IIxy I I1x1y I I2x2 y I I3x3y184010115108813241014410Tātad aksiālie pretestības momenti pret x un y asīm ir:WWxyIyxmaxIxymax4488 1021110403106 10828 408 10 67,17 10668mm81324101441033,.88 4031088m 448810Redzams, ka inerces un pretestības momenti pret x un y asīm nav vienādi. Attiecībāpret x asi tie ir vairākkārt lielāki. Šāda situācija izskaidrojama ar to, ka figūras elementārlaukumiľiattiecībā pret x asi izvietoti tālāk nekā pret y asi.m44.8m4.Piemērs 6.15. Noteikt attēlā dotās figūras pretestībasmomentus.Atrisinājums. 1. Nosakām figūras smaguma centrakoordinātes. Tā, kā dotā figūra ir simetriska attiecībāpret y asi, tad smaguma centrs atrodas uz šīs ass. Atlieknoteikt smaguma centra koordināti y C . Šai nolūkānosakām figūras statisko momentu pret asi x 1 .Statiskā momenta noteikšanai sadalām doto figūruvienkāršās, piemēram, taisnstūrī ebcf (1) un trīsstūrosaeo un ofd (2 un 3). Katras vienkāršās figūrasstatiskais moments (atbilstoši sakarībai S A y )pret x 1 asi irxiici108

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAS x 122b h h bh1 b h h bh ; Sx2 Sx3 .2 4 82 2 2 6 48Tātad dotās figūras statiskais moments pret x 1 asi ir2 2 2 2bh bh bh bhSx Sxi .8 48 48 12Tā kā kopējais dotās figūras laukums irtadA ycbh 3Ai bh bh ,2 2 42Sxb h 4 h .A 12 b h 39Līdz ar to koordinātu asīs x 1 y 1 dotās figūras smaguma centra koordinātes ir (0, h/9).Tas arī ir dotās figūras galveno asu x un y sākumpunkts.2. Lai noteiktu dotās figūras galvenos inerces momentus (asīs x, y), vispirms nosakāmatsevišķo figūru inerces momentus to centrālajās asīs (asīs, kuru sākumpunkts ir konkrētofigūru smaguma centros). Mūsu gadījumā par atsevišķām figūrām ērti uzskatītpilno taisnstūri (abcd) un trīsstūri aOd). Jau noteicām, ka taisnstūra inerces moments3bhpret tā centrālo asi ir I . Trīsstūrim aOd tā centrālajās asīs pret asi inerces momentsir I . Mūsu gadījumā b b un h h/ 2.Tātad I .1233bhbh36288' ' 22Pielietojot asu pārbīdīšanas formulas I x I a1A1un I x I a 2A2un ľemoth 2 h h 4h1 h bhvērā, ka a1 , bet a2 , pie kam A1 bh , bet A2 b 9 3 2 9 92 2 4varam noteikt taisnstūra abcd un trīsstūra aOd inerces momentus attiecībā pret x asi.Šīs vērtības irbh12h81313243 223I x I a1A1 bh bh ;bh2881681bh413725923223I x I a2A2 h bh .Tā kā dotās figūras šķēluma laukumu veido abu analizēto figūru laukumu starpība, tadšīs figūras šķērsgriezuma inerces moments pret x asi ir31 3 137 3 37 3Ix Ix I x bh bh bh .324 2592 8643. Tā kā dotajai figūrai attiecībā pret galveno asi x ir divi atšķirīgi maksimāli attālināto109

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBApunktu attālumi līdz šai asij, tad, lai noteiktu pretestības momentus pret x asi, iegūtāinerces momenta vērtība jādala ar šiem attālumiem. Figūras augšējās malas attālums7līdz asij x ir ymin h,bet apakšējo punktu attālumi ir y h18 11max. Līdz ar to iegūstam1818Ix18372 37 22Wxmin bh bh 0, 07bh;11h1186452818Ix18372 37 22Wxmax bh bh 0, 11bh.7h7 8643364. Analogu metodiku varam izmantot galveno inerces un pretestības momentu noteikšanaipret y asi. Tātad Iy333 3hb hbhb , bet I y (ľemot vērā, ka -im I ).12 9612Tātad3 3 3hb hb hb 7I y Iy Iy .12 96 12 8Tā kā y ass ir dotās figūras simetrijas ass, tad galvenā pretestības momenta W y vērtībapret y asi ir tikai viena un tā irW v maxmin3hb 1227 2 7hb 8 b 48 0,146hbTātad pretestības momentu vērtības dotās formas figūrai ir atkarīgas no izmēru b un hvērtībām.2.Uzdevums 6.1. Novērtēt pretestības momenta izmaiľu, pastiprinot dubult-T profiluN20 ar U-profilu N10 un taisnstūri ar izmēriem 12x2 cm att. a dotajā veidā.Uzdevums 6.2. Aprēķināt pretestības momentus att. b dotajam šķēlumam. Šķēlumspastiprināts ar diviem vienādmalu leľķiem N5.110

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAIepriekšējās nodaļās aplūkoti konstrukciju elementu stiprības un stinguma aprēķini. Šieaprēķini neievēro bīstamos gadījumus, kad konstrukcijas elements var zaudēt noturību,t.i., spēju saglabāt savu sākotnējo formu vai līdzsvara stāvokli, kuri piešķirti elementaizgatavošanas procesā un kuriem izdarīts stiprības aprēķins. Praksē mācībai par elastīgusistēmu noturību ir visai būtiska nozīme.Visvienkāršākais gadījums, kad jānovērtē stieľa noturība, ir tāda stieľa spiedes gadījums,kura šķērsgriezuma izmēri ir mazi salīdzinājumā ar stieľa garumu. Spiedes spēkamsasniedzot noteiktu vērtību, stieľa ass taisnlīnijas forma var izrādīties nenoturīga— stienis saliecas. Šādu parādību sauc par ļodzi.Pieľemsim, ka garš un tievs taisns stienis noslogots ar centriskipieliktu spiedes spēku P (att. 7.1). Pieliksim stienim šķērsslodzi,t.i., nedaudz izlieksim stieni. Ja spiedes spēks ir mazs,pēc šķērsslodzes noľemšanas stienis ieľem sākotnējo stāvokli.Tas nozīmē, ka stieľa ass taisnlīnijas forma ir noturīga (līdzsvarastāvoklis ir stabils). Lielāku spiedes spēka vērtību gadījumāar šķērsslodzi viegli izliekts stienis pēc šīs slodzes noľemšanassākotnējā stāvoklī atgrieţas lēni, «negribīgi». Tomērstieľa ass taisnlīnijas forma vēl ir noturīga. Spiedes spē-att. 7.1kam sasniedzot noteiktu vērtību P kr , stieľa ass taisnlīnijasforma kļūst nenoturīga (stienis nonāk labilā līdzsvara stāvoklī). Stienis izliecas (att.7.1b). Pēc šķērsslodzes noľemšanas saglabājas jauna noturīga stieľa ass forma — līklīnijasforma.Tātad, ja spiedes spēks ir mazāks par kritisko P kr , stienis strādā spiedē, ja spēks lielākspar kritisko, stienis pakļauts vienlaicīgai spiedei un liecei. Spiedes spēkam pat ļoti nedaudzpārsniedzot vērtību P kr , stieľa izliece strauji palielinās un stienis vai nu sagrūstvārda tiešā nozīmē, vai arī iegūst nepieļaujami lielas deformācijas, kuras padara konstrukcijupar ekspluatācijai nederīgu. Tāpēc no praktiskā viedokļa kritiskais spēks jāuzskatapar graujošo slodzi (robeţslodzi).Ja spiedes spēks sasniedzis kritisko vērtību, pie kuras stieľa ass taisnlīnijas forma kļūstnenoturīga, pārejai uz līklīnijas formu šķērsslodze vairs nav nepieciešama — stieľasaliekšanās notiek bez redzamiem ārējiem cēloľiem.Pamatojoties uz teikto, var apgalvot, ka kritiskais spēks P kr ir centriska spiedes spēkavislielākā vērtība, līdz kurai stieľa ass taisnlīnijas forma ir noturīga.Sākotnējās formas noturības zudums, slodzei sasniedzot kritisko vērtību, novērojamsne tikai spiestiem stieľiem, bet arī citiem konstrukciju elementiem. Piemēram, gredzena(vai plānsienu čaulas) radiālā spiedē, spēkiem sasniedzot noteiktu vērtību (kritiskovērtību), gredzena apaļā forma kļūst nenoturīga — gredzens saplacinās. Apstākļi būtiskiizmainās — ja slodze mazāka par kritisko, gredzens strādā spiedē, bet pēc noturībaszuduma — spiedē un liecē.Konsolveida sija, kura pakļauta liecei maksimālā stinguma plaknē, lieces spēkam sasniedzotkritisko vērtību, savērpjas un vienlaikus sāk strādāt liecē un vērpē.111

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBATātad visi noturības aprēķini raksturīgi ar to, ka, slodzei sasniedzot kritisko vērtību,notiek konstrukcijas elementa deformācijas rakstura krasa kvalitatīva izmaiľa. Jāievēro,ka līdzsvara stāvoklis, kas atbilst slodzēm, kuras pārsniedz kritisko vērtību, saistītsar nepieļaujami lielām deformācijām — konstrukcija kļūst nederīga ekspluatācijai. Tāpēcnoturības aprēķinam jānodrošina konstrukcijas elementa darbība, saglabājot sākotnējolīdzsvara stāvokli, t. i., slodzēm jābūt mazākām par kritiskajām.No teiktā izriet, ka spiestu stieľu aprēķinos starp stieľa izmēriem, materiāla raksturotājiemun pielikto slodzi jānodrošina tādas attiecības, lai būtu garantēta stieľa darbībaspiedē (ļodze nebūtu iespējama). Tātad pieļaujamam spēkam jābūt vairākkārt mazākampar kritisko. Šo stieľa ass taisnlīnijas formas noturības nosacījumu raksturo sakarība:PkrP (7.1)nnotkur[P] — spiedes spēka pieļaujamā vērtība;P kr — spiedes spēka kritiskā vērtība;[n not ] — normatīvais (nepieciešamais) noturības drošības koeficients.Atzīmēsim, ka noturības aprēķinos drošības koeficientu pieľem lielāku nekā attiecīgāmateriāla stieľa stiprības aprēķinos. Tas saistīts ar to, ka stieľa noturību iespaido spēkapielikšanas nejaušas ekscentrisitātes, stieľa sākotnējās izlieces un daţi citi faktori, kuriaprēķinu sakarībās netiek ľemti vērā.Celtniecībā daţādiem materiāliem izmanto atšķirīgas noturības drošības koeficientavērtības:tēraudam – 1,8... 3;čugunam – 5... 5,5;kokam – 2,8... 3,3.No sakarības (7.1) varam secināt, ka noturības aprēķina pamatā ir kritiskā spēka vērtībakonkrētam būvelementam. Kritiskā spēka noteikšana ir noturības aprēķinu pamatproblēma.7.1. Eilera formula kritiskā spēka noteikšanaiNoteiksim kritiskā spēka lielumu spiestam stienim,kura abi gali nostiprināti ar locīklām un kurš ir nedaudzizliekts (att. 7.2). Pieľemam, ka noturībazūd, spriegumiem nepārsniedzot stieľa materiālaatt. 7.2proporcionalitātes robeţu P . Ja stieľa šķēlumainerces momenti pret galvenajām asīm nav vienādi, tad stienis izliecas plaknē ar mazākostingumu, t.i. stieľa šķēlumi pagrieţas ap asi pret kuru ir minimālā inerces momentavērtība - min . Izmantojam liektas sijas ass tuvināto diferenciālvienādojumu (pret asi ar min ):EI y Mmin.112

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBALieces momenta absolūto vērtību brīvi izraudzītā stieľa šķērsgriezumā nosaka izteiksmeM = P kr y, tāpēc stieľa liektās ass diferenciālvienādojumu var pārveidot šādi:kur2y y 0 ,2 P kr .EIminHomogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma atrisinājums iry Asinz Bcosz,kur A un B — integrācijas konstantes.A un B vērtības nosaka no stieľa pārvietojumu robeţnosacījumiem. Gadījumā, ja z = 0,arī y = 0. Ievietojot šīs vērtības izlieces y izteiksmē, iegūstam, ka B = 0. Līdz ar toelastīgās izlieces līnijas vienādojums iry Asinz,t.i., stieľa liektajai asij ir sinusoīdas forma.Izmantojot otru robeţnosacījumu, saskaľā ar kuru arī otrā sijas galā izliece ir nulle, t.i.,ja z = l, izliece y = 0, iegūstam, kaAsin l 0 .Neatkarīgi no (tātad arī P) lieluma A = 0 atbilst stieľa neizliektajai formai (y=0). Jastienis zaudējis noturību, y0 un arī A0. Tātadsin l 0 ,no kurienesl 0, ,2,...n, n – vesels skaitlis.att. 7.3P kr2 2n2 n Tātad, vispārīgā gadījumā vai . Ľemot vērā iepriekš ievesto ap-2llzīmējumu 2 un pielīdzinot abu izteiksmju labās puses, iegūstam sakarībuEIminkritiskā spēka noteikšanai113

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA2 2n P kr EI2 min. (7.2)lIegūstam virkni kritiskā spēka vērtību, kuras atbilst daţādam sinusoīdas pusviļľu skaitamn (att. 7.3), pie kam kritiskais spēks ir proporcionāls n 2 . Kritiskā spēka vērtība pien=4 (att. 7.3d) ir 16 reizes lielāka kā viena pusviļľa gadījumā (att. 7.3a).114att. 7.5Stieľiem, kuru gali ir nekustīgi nostiprināti, liektāsatt. 7.6 ass forma (zaudējot noturību) parādīta att. 7.6. Šajāgadījumā sinusoīdas pusvilnis atbilst stieľa garumapusei, tāpēc formulā (7.3) faktiskā garuma vietā jāizmanto stieľa garuma puse.Rezumējot iepriekš teikto varam konstatēt, ka neatkarīgi no spiesta stieľa galu nostiprinājumaveida kritiskais spēks nosakāms ar sakarību analogu sakarībai (7.3), kurā fakatt.7.4Šo īpašību izmanto, piemēram, uzstādot radiorelejastaciju antenas (att. 7.4).Tomēr visbieţāk realizējas gadījums, kad stieľaliektā ass ir sinusoīda ar vienu pusvilni (n=1), t.i.gadījums, kuram atbilst minimālā kritiskā spēka P krvērtība2P kr EI2 min. (7.3)lŠo gadījumu pieľemts saukt par ļodzes pamatgadījumu.Formulu (7.3), kas atbilst ļodzes pamatgadījumamsauc par Eilera formulu.7.2. Stieľa galu iestiprinājuma veida ietekme uz kritisko spēkuEilera formula (7.3) tika iegūta spiestam stienim, kura abi gali nostiprināti ar locīklām.Arī cita galu nostiprinājuma veida gadījumā kritiskā spēka vērtību var noteikt izmantojotstieľa liektās ass diferenciālvienādojumu, to atrisinot pie atšķirīgiem robeţnosacījumiem.Daţiem vienkāršākajiem gadījumiem kritiskā spēkaformulu var iegūt, salīdzinot stieľa liektās ass formuar formu, kuru ļodzes gadījumā iegūst ar locīklāmnostiprināta stieľa ass. Piemēram, stienis, kura apakšējaisgals ir nekustīgi iespīlēts, bet augšējais gals irbrīvs, zaudējot noturību, izliecas kā parādīts att. 7.5.Tas atrodas tādā pašā situācijā kā puse stieľa ar locīklāmgalos, un liektā ass ir sinusoīdas viļľa ceturtdaļa.Tātad kritiskā spēka lielumu var noteikt pēc pamatgadījumamatrastās Eilera formulas (7.3), stieľa faktiskāgaruma vietā ievietojot tā divkāršu garumu:P kr2 EI2l 2 min

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAtiskā stieľa garuma l vietā izmantots tā saucamais reducētais stieľa garums l red :Pkr2 El2redmin.Stieľa reducēto garumu ērti izteikt ar faktisko garumu un kādu koeficientu , kurš atkarīgsno stieľa galu nostiprināšanas veida:l red l.Koeficientu sauc par stieľa garuma redukcijas koeficientu; tā vērtības bieţāk sastopamajiemstieľa galu nostiprināšanas veidiem parādītas att. 7.7.Tātad Eilera formulu vispārīgam gadījumam var uzrakstīt šādi:P kr2 EI . (7.4)l 2 minKritisko spriegumu kr nosaka sakarība:kuratt. 7.7Tātad, jo mazāks , jo lielākakritiskā spēka un tātadarī pieļaujamā spēkavērtība. Tā, piemēram,abos galos iespīlētam stienimvar pielikt 16 reizeslielāku slodzi nekā vienāgalā iespīlētam stienim.Normālo spriegumu, kasstieľa šķērsgriezumā atbilstspiedes spēka kritiskajaivērtībai, sauc parkritisko spriegumu.22 222P kr EImin Eimin E Ekr , (7.5)222 2A l A l limin A – stieľa šķērsgriezuma laukums;Iminimin - stieľa šķērsgriezuma laukuma minimālais inerces rādiuss;Al - stieľa slaidums.i minStieľa slaidums raksturo stieľa izmēru (l, i min ) un galu stiprinājuma veida () iespaiduuz kritiskā spēka un tātad arī kritiskā sprieguma lielumu.Kā divu tādu lielumu dalījums, kuriem katram ir garuma mērvienība, slaidums ir bezdimensionālslielums. Jo lielāks ir stieľa slaidums , jo mazāks ir kritiskais spriegums115

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAun jo mazāks spiedes spēks ir vajadzīgs, lai radītu stieľa maksimāli pieļaujamo izliekšanos.7.3. Kritisko spriegumu noteikšanas empīriskās formulasSvarīgi ľemt vērā, ka Eilera formula ir pielietojama tikai materiāla proporcionalitātes(elastības) robeţās. Ja kritiskais spriegums kr pārsniedz proporcionalitātes robeţu P ,Eilera formula zaudē reālu jēgu.Noteiksim, kādiem stieľa slaidumiem Eilera formula ir pielietojama.Tā kā jāizpildās nosacījumamtadkr P,2 E2 P.Līdz ar to2 E .PTātad Eilera formula ir pielietojama tikai tad, ja stieľa slaidums ir lielāks par robeţslaidumurob2 E ,Pkurš atkarīgs no stieľa materiāla fizikāli mehāniskajām īpašībām (E un P ).Mazoglekļa tēraudam E = 210 5 MPa, P = 200 MPa. Pieľemot 2 10, iegūstam510 2 10rob 100 .22 10Tātad, mazoglekļa tērauda stieľiem Eilera formula pielietojama tikai tad, ja stieľa slaidumslielāks par 100, t.i., stieľiem ar lielu garumu un maziem (salīdzinājumā arrobgarumu) šķērsgriezumu izmēriem. Koka stieľiem 80 ... 100 ; čuguna stieľiemrob 80 , utt. Katram materiālam robeţslaiduma vērtību varam aprēķināt zinot materiālaelastības moduli un proporcionalitātes robeţu.Praksē bieţi vien spiestu stieľu slaidums ir mazāks par robeţvērtību, t.i., kritiskiespriegumi lielāki par proporcionalitātes robeţu. Tādos gadījumos Eilera formulu izmantotnedrīkst un jāpielieto empīriskas formulas, kuras atrastas eksperimentālu pētījumurezultātā.F. Jasinskis, pēc daudzu zinātnieku iegūto eksperimentālo datu apstrādes, kritiskāsprieguma izskaitļošanai tērauda stieľos ieteica formulurob116

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBA a b , (7.6)krkur a un b — parametri, kas raksturo materiāla īpašības. Šo parametru vērtības atrodamastehniskajās rokasgrāmatās.Mazoglekļa tēraudam, ja slaidums 60 100, Jasinska formula ir šāda:kr 304 1, 12 (MPa).Ja kritiskais spriegums, kas aprēķināts pēc formulas (7.6), izrādās augstāks par tecēšanasrobeţu T , tērauda stienim bīstama ir nevis noturības zušana, bet gan ievērojamu paliekošodeformāciju rašanās. Šai gadījumā par kritisko spriegumu jāuzskata tecēšanas robeţa,t.i., . Tas raksturīgi tērauda stieľiem ar mazu slaidumu ( 60 ).krTAtt. 7.8 parādīts grafiks, kasraksturo kritiskā spriegumaatkarību no slaiduma mazoglekļatērauda stieľiem.Stieľus, kuriem pielietojamaEilera formula, sauc par lielaslaiduma stieľiem.Stieľus, kuriem pareizus rezultātusdod Jasinska formula,sauc par vidēja slaiduma stieľiem.Stieľus, kuriem kritiskie spriegumi,kas izskaitļoti pēc Jasinskaformulas, pārsniedz tecēšanasrobeţu, sauc par maza slai-att. 7.8duma stieľiem. Tiem kritiskie spriegumi ir vienādi ar tecēšanas robeţu.Koka stieľiem Šveices zinātnieks Tetmaijers piedāvā formulu, kura ir pareiza, ja 80 :kr 28,3 0, 19 (MPa).Var secināt, ka kritiskais spriegums noteiktam materiālam ir atkarīgs tikai no stieľaslaiduma .Gadījumos, kad Eilera formulu nevar lietot un kritisko spriegumu aprēķina pēc empīriskāmsakarībām, spiedes spēka pieļaujamo lielumu nosaka formulaP Ankr ,notkur [n not ] — nepieciešamais noturības drošības koeficients.Piemērs 7.1. Noteikt pieļaujamo spiedes spēku čuguna kolonnai (l = 3 m), ja tās viensgals iespīlēts, bet otrs — brīvs. Kolonnas šķērsgriezums — gredzens, kura ārējais diametrsd ār = 20 cm, iekšējais diametrs d iekš = 16 cm. Čuguna elastības modulis E = 10 5117

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAMPa, drošības koeficients ļodzē [n not ]=5.Atrisinājums. Aprēķinām kolonnas šķērsgriezuma inerces momentu:da diekšār4d ār 6416 0,820,(1 a43,14 20) 64Kolonnas šķērsgriezuma laukums2 2dārdiekš3,14A 4 4 4Šķērsgriezuma laukuma inerces rādiuss444(1 0,8 ) 4640cm.2 222016113cmI 4640i 6,42 cm 0, 0642 m .A 113Kolonnas reducētais garums, ja = 2 (sk. att. 7.7), irl=23=6 m.Kolonnas slaidumsl6 93, 5 i 0.0642jo robčugunam ir 80.rob,Tātad kolonnas pieļaujamā spiedes spēka aprēķinu var veikt izmantojot Eilera formuluP22 58Pkr EI 3,14 10 4640 10 0, 254 MN .26 52n l nnotnot.Piemērs 7.2. Aprēķināt pieļaujamo spiedes spēku apaļa šķērsgriezuma stienim, kura d= 8 cm, garums l = 1,8 m. Stieľa materiāls — mazoglekļa tērauds (CT. 3). Stieľa galinostiprināti ar locīklām (= l). Nepieciešamais drošības koeficients [n not ] = 2.Atrisinājums. Izskaitļojam šķērsgriezuma laukuma inerces rādiusu:4dI ;64Stieľa slaidums2A d4I d 4 d 8 ; i 2 cm 0, 02 m .24 A 64 d4 4l11,8 90 i 0,02rob.Tātad Eilera formulu šeit nevar lietot, jo stieľa slaidums ir mazāks par robeţslaidumu( 100 ). Kritisko spriegumu izskaitļojam pēc Jasinska formulasrob118

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAkr 304 1,12 304 1,1290 304 101 203MPa.Pieļaujamo spiedes spēku nosakām pēc formulasP A d4krkr 4 0, 51n nnotnot23,14 0,082037.4. Spiestu stieľu šķērsizmēru noteikšana ļodzē22MN .Lai nezustu noturība, spriegumi spiestos stieľos nedrīkst sasniegt kritisko vērtību.Spiestu stieľu noturības nodrošināšanai stieľa izmēri jāizvēlas tādi, lai faktiskie spriegumi,kas rodas stieľa šķērsgriezumos, būtu tikai daļa no šo spriegumu kritiskās vērtības.Tātad pieļaujamam spriegumam [ not ], aprēķinot stieni ļodzē, jābūt tikai daļai nokritiskā sprieguma, t.i.kr not ,nkurnot[n not ] — normatīvais (nepieciešamais) drošības koeficients ļodzē.Pieļaujamo spiedes spriegumu stiprības aprēķinos [], tam trausliem materiāliem nosakasakarība nB ,bet plastiskiem materiāliem nBTT ,kur B — stiprības robeţa; T — tecēšanas robeţa;[n B ] un [n T ] — atbilstošie drošības koeficienti spiedē.Ar apzīmējam noturības un stiprības aprēķinos lietojamo pieļaujamo spriegumu attiecību,t.i.,not ,no kurienes not.Plastiskam materiālam nnkr TnotTkrnB, bet trauslam materiālam .n not BkrPieļaujamo spriegumu not katram konkrētam materiālam (ja drošības koefi-nnot119

Slaidums TēraudiCT.2;3;4TēraudsCT. 5ČugunsKoksSlaidums TēraudiCT.2;3;4TēraudsCT. 5ČugunsKoks7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAcients ir nemainīgs) nosaka tikai stieľa slaidums , tāpēc arī attiecība atkarīga tikaino šī lieluma.Tā kā kr vērtība ir mazāka par T vai B vērtību, bet [n not ] vērtību pieľem nedaudzlielāku par [n T ] vai [n B ] vērtībām, vienmēr izpildās nosacījums

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAIzmantojot formulu (7.7), var tikt risināti trīs tipu uzdevumi:1. Spiesta stieľa noturības pārbaude (pārbaudes aprēķins), kad zināms šķērsgriezumalaukums A bruto , spiedes spēks P, kā arī stieľa garums un tā galu nostiprināšanasveids, kas nosaka slaidumu un tātad arī koeficientu . Sprieguma novērtējumam izmantoformulu (7.7).2. Šķērsgriezuma izvēle pēc noturības nosacījuma (projekta aprēķins), kad dotsspiedes spēks P un pieļaujamais spriegums []. Parasti zināms arī stieľa garums, tāgalu nostiprināšanas veids un šķērsgriezuma forma (bet ne izmēri). No formulas (7.7)iegūstamPA bruto . (7.8) Izmantojot formulu (7.8), nedrīkst aizmirst, ka koeficientu nav iespējams noteiktkamēr nav zināms šķērsgriezuma laukums. Tādēļ vispirms pieľem aptuvenu vērtību,bet pēc tam, pielietojot pakāpenisku tuvinājumu metodi, tiek panākta šķērsgriezumaizmēru un koeficienta atbilstība.Tabula 7.2Īpatnējie inerces rādiusiŠķērsgriezumsa=0,7 – 0,9 min0,2040,2890,360,27 – 0,410,38 – 0,450,4 – 0,60,86 – 1,533. Pieļaujamās slodzes noteikšana pēc noturībasnosacījuma. Šai gadījumā zināms šķērsgriezumalaukums A bruto , pieļaujamais spriegums [], stieľagarums un tā galu nostiprināšanas veids. Pārveidojotformulu (7.7), iegūstamPAbruto . (7.9)Tātad, noturības aprēķinu veic izmantojot formulas,kuras analoģiskas stiprības aprēķina formulāmvienasīgas spiedes gadījumā. Tomēr starpaprēķinu ļodzē un aprēķinu spiedē ir principiālaatšķirība. Praktiskos aprēķinos šī atšķirība izpauţasapstāklī, ka jāpielieto pieļaujamā spriegumasamazināšanas koeficients (ļodzes iespaida koeficients). Tātad koeficients ievērtē ļodzes rašanāsiespējamību stieľu spiedes gadījumā.Virknē gadījumu noturības aprēķinus veic neizmantojotkoeficientu . Pieļaujamo slodzi vaipieļaujamo spriegumu nosaka, pēc Eilera vai empīriskajāmformulām aprēķināto kritisko slodzivai kritisko spriegumu dalot ar doto drošības koeficientu.Tā rīkojas, pārbaudot noturību daţiemmašīnu elementiem, piemēram, darbmašīnu vadvārpstām,kad koeficientu tabulas sastādīšanaipieľemtās noturības rezerves izrādās nepietiekamas.Tā kā kritiskā spēka un pieļaujamā spriegumavērtības ir atkarīgas no slaiduma , tad, izvēloties121

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAspiesta stieľa šķērsgriezuma formu, jācenšas palielināt šķērsgriezuma laukuma minimāloinerces rādiusu. Cauruļveida šķērsgriezumi vienmēr izrādās izdevīgāki nekā pilniešķērsgriezumi — ja laukumi vienādi, cauruļveida šķērsgriezumiem ir lielāks inercesmoments un līdz ar to arī inerces rādiuss.Bez tam spiestu stieľu šķērsgriezumi ir racionāli tikai tad, ja tie ir pēc iespējas vienlīdznoturīgivisos virzienos, t.i., šķērsgriezumu laukumu inerces momentiem pret jebkurāmcentrālajām asīm jābūt vienādiem vai vismaz maz atšķirīgiem. No šī viedokļaracionālākie spiestu stieľu šķērsgriezumi ir riľķis un gredzens, kuri ir vienlīdznoturīgivisos virzienos. Velmētiem tērauda dubult-T un U veida profiliem, kā arī stūreľiemvislielākie un vismazākie inerces momenti pret centrālajām asīm ir pēc lieluma krasiatšķirīgi, tāpēc šie šķērsgriezumi ir neracionāli no ļodzes viedokļa. Tomēr no velmētiemprofiliem iespējams konstruēt saliktus šķērsgriezumus, kuri ir vienlīdznoturīgivisos virzienos.Lai salīdzinātu savā starpā daţādas formas šķērsgriezumus izmantojam bezdimensionālulielumu – īpatnējo inerces rādiusu i Imin minmin . Jo lielāka inerces rādiusaA Avērtība, jo izdevīgāks šķērsgriezums (tabula 7.2).Kā jau norādīts, spiestu stieľu šķērsgriezumu aprēķinā jāpielieto mēģinājumu metode.Var rekomendēt šādu aprēķina gaitu. Iepriekš brīvi pieľem vērtību (no 0,4 līdz 0,6)Pun nosaka nepieciešamo laukumu A bruto . Pēc tam, izvēloties šķērsgriezumaformu un izmērus, aprēķina stieľa faktisko slaidumu . 7.1. tabulā atrod atbilstošo vērtību un pārbauda stieľa noturību pēc formulas (7.7). Ja šķērsgriezums neapmierinanoturības nosacījumu, šķērsgriezums attiecīgi jāizmaina. Ar atkārtotiem mēģinājumiemvar panākt not un [] ļoti tuvas vērtības, atšķirība starp tām nedrīkst pārsniegt 5%.Spiestu stieľu noturības aprēķina gaitu, izmantojot koeficientu tabulu (tab. 7.1), paskaidrosimar piemēru.Piemērs 7.3. Aprēķināt kvadrātiska šķērsgriezuma izmērus koka statnei, kuras garums3 m, ja spiedes spēks P = 60 kN. Pieļaujamais spriegums spiedē [] = 9 MPa. Statnesgali nostiprināti ar locīklām (=1).Atrisinājums. Orientējoši pieľemam, ka = 0,5. Tad nepieciešamais šķērsgriezumalaukums irA brutoP 60 10 0,5 9 3Šķērsgriezuma laukuma malai jābūt2 0,0133 m .a A 0,0133 0, 115 m .Pieľemsim, ka sijas šķērsgriezuma izmēri ir 12X12 cm. Tādam šķērsgriezuma laukumam122

7. SPIESTU STIEĽU NOTURĪBAIInerces rādiuss44 a 12 1728cm ;I 1728i 3, 46 cm .A 144Stieľa slaidums, ja =1, irl1300 87 .i 3,46No 7.1. tabulas (kokam) interpolējot iegūstam7 0,48 0,48 0,38 0, 41 .10Pieļaujamais spriegums ļodzē 0,419 3, MPa .Faktiskais spriegumsnot7A2 22 a 12 144cm .360 10not 4,16 MPa 3, 7 MPa ,4144 10t.i., par 13% lielāks nekā pieļaujamais. Šķērsgriezuma laukums jāpalielina.Pieľemam, ka šķērsgriezuma izmēri ir 12,5X12,5 cm. TadI12,51244 2034 cm ;2034i 3, 6 cm ;156,25300 83,33,6A22 12,5156,25cm ;3,3 .10 ; 0,48 0,48 0,38 0, 447Pieļaujamais spriegums 0,4479 MPa .Faktiskais spriegumsNovirzenot4360 10not 3,84 MPa 4MPa.4156,2510notnot100 4%not.Šķērsgriezums 12,5X12,5 cm apmierina uzdevuma noteikumus.123

8. LIECEPar lieci sauc slogojuma veidu, kad stieľa šķēlumos rodas lieces momenti. Lieci saucpar tīru, ja stieľa šķēlumos rodas tikai lieces momenti, un par šķērslieci, ja bez liecesmomentiem rodas arī šķērsspēki.8.1. Vienlaiduma sijas un to balstiStieni, kurš slogots liecē, sauc par siju. Vienkāršākā sija ir prizmatisks stienis ar taisnuasi. Par sijas asi sauc sijas šķērsgriezumu smaguma centru ģeometrisko vietu. Parastisiju attēlo, parādot tikai tās asi. Sija ir viens no būvniecībā visbieţāk sastopamajiemkonstrukciju elementiem un tās uzdevums ir uzľemt lietderīgo (arī pašsvara) slodzi unpārnest to uz konstrukcijas balstiem.Par balstiem sauc darinājumus (veidojumus), kuru dēļ sija atrodas miera stāvoklī. Sijuatbalstīšanai pielieto trīs balstu veidus:Kustīgais locīklas balsts ļauj sijas galam pagriezties ap cilindriskās locīklas asi unpārvietoties paralēli atbalsta plaknei, bet neļauj pārvietoties perpendikulāri tai. Tā kāšis balsts aizkavē tikai vienu kustību, tad kinemātiskā shēmā to attēlo ar vienu balstastieni. Kustīgo balstu lieto tur, kur sijas galam jāļauj pārvietoties paralēli atbalsta plaknei,piemēram, izliecoties no slodzes vai mainot garumu, ja mainās temperatūra.Nekustīgais locīklas balsts pieļauj sijas gala pagriezienuap cilindriskās locīklas asi, bet nepieļauj pārvietojumusdivu asu virzienos, tātad nepieļauj virzeskustību. Sakarā ar to kinemātiskā shēmā šo balstuattēlo ar diviem balsta stieľiem, kuri nepieļauj kustībuhorizontālā un vertikālā virzienā.Iespīlējums nepieļauj nekādu sijas gala kustību, t.i.,sijas gals nevar pagriezties, nedz ari pārvietoties horizontālāun vertikālā virzienā.Aprēķina shēma ir reālās konstrukcijas vienkāršotsattēlojums. Siju aprēķinos lieto tikai siju aprēķinushēmas.Ja sijas gali nav iespīlēti, tad pieľem, ka, siju slogojot,tā var izliekties un slīdēt pa atbalstvirsmu. Tādēļaprēķina shēmā pieľem, ka viens sijas gals atbalstāsuz nekustīga locīklas balsta, bet otrs — uz kustīgalocīklas balsta. Šādu siju sauc par brīvi balstītu sijuatt. 8.1(att. 8.1a). Vismaz vienam balstam vienmēr jābūtnekustīgam, lai sija brīvi nepārvietotos ass virzienā.Sijas daļu, kas sniedzas pāri balstam, sauc par konsoli. Siju, kuras viens gals balstās uznekustīga locīklas balsta, bet otrs — uz kustīga locīklas balsta un kurai ir viena vai divaskonsoles, sauc par siju ar konsolēm (att. 8.1b).Ja sija iestiprināta ar vienu pašu iespīlējumu, tad siju sauc par konsolsiju vai iespīlētusiju (att. 8.1c).124

8. LIECEAtstatumu starp balstu locīklu centriem, vai no iespīlējuma līdz sijas galam iespīlētaisijai, sauc par sijas laidumu. Jāatzīmē, ka visām šīm sijām pie vertikālas slodzes rodastikai vertikālas balstu reakcijas.Sijas balstu reakciju noteikšanai izmanto statikas līdzsvara vienādojumus, kas izsakavisu ārējo spēku, kas darbojas uz siju, ieskaitot balstu reakcijas, līdzsvara nosacījumus.Sistēmai, kas sastāv no viena stieľa (diska) un tai pieliktā slodze darbojas vienā plaknē,var uzrakstīt trīs neatkarīgus statikas līdzsvara vienādojumus un, tātad, noteikt trīs nezināmassijas balsta reakcijas.Sijas, kuru balstos rodas ne vairāk par trim balsta reakcijām, sauc par statiski noteicamāmsijām. Sijas, kuru balstu reakciju noteikšanai nepietiek ar statikas vienādojumiem,sauc par statiski nenoteicamām sijām (balsta reakciju skaits lielāks par trim). Lai noteiktustatiski nenoteicamu siju balsta reakcijas, jāieved papildus vienādojumi.8.2. Iekšējo piepūļu noteikšana liecēkurPēc tam, kad ir noteiktas balstu reakcijas, varamaprēķināt sijas iekšējās piepūles. Šķērslieces gadījumārodas divas iekšējās piepūles – liecesmoments M un šķērsspēks Q (ass spēks N varrasties, ja sijai bez vertikālās slodzes ir pieliktakāda slīpa vai horizontāla slodze). Attēlā 8.2 parādītajaisijai noteiksim iekšējās piepūles patvaļīgāšķēlumā a-a attālumā z no sijas kreisā galaizmantojot šķēlumu metodi: atmetam sijas daļupa labi no šķēluma un tās iespaidu uz sijas kreisodaļu aizstājam ar iekšējām piepūlēm M un Q.Tas dod iespēju sijas kreisajai pusei sastādīt līdzsvaravienādojumus (var arī labajai). Vispirmssastādām projekciju summu uz vertikālo asi unto pielīdzinām nullei. Tā iegūstam vienādojumu:Y V P P R 0A 1 2 qzQ ,R qz qz ir kopspēks izkliedētās slodzes daļai, kas atrodas pa kreisi no šķēluma a-a, pielikts posma, kurā darbojas izkliedētā slodze q, vidū, tas ir attālumā z/2 no kreisābalsta.To atrisinot iegūstamQatt. 8.2VA P1 P2 R qz.Vispārinot šo rezultātu varam rakstīt:Q , (8.1) iP iykur P i ietver sevī kā ārējos spēkus un balsta reakciju tā arī izkliedētās slodzes kopspēku.Šķērsspēks Q sijas šķēlumā skaitliski vienāds ar visu spēku, kas darbojas uz vienu pusino šī šķēluma, projekciju uz asi, kas perpendikulāra sijas asij, algebrisku summu.125

8. LIECETo spēka projekciju, kura cenšas atšķelto stieľa daļu pagriezt pulksteľa rādītāja virzienāpret šķēluma smaguma centru, pieľemam par pozitīvu (pretējā gadījumā par negatīvu).Ja sijai pielikta izkliedēta slodze, to izkliedētās slodzes daļu, kura darbojas uz atšķeltostieľa posmu, aizstājam ar kopspēku un turpmāk ar to rīkojamies kā ar koncentrētuspēku.Sastādām uz sijas atšķelto daļu darbojošos momentu summu pret šķēluma smagumacentru un pielīdzinām to nullei:zMa VA z P 1 2 2M2no kurienes126z a P z a qz m 0a 1 ,zM V A z P 1 2 22vai vispārīgajā gadījumā pi Pi z a P z a qz m1,M m , (8.2)ijjkur p i = z – a i – attālums no šķēluma smaguma centra līdz spēka P i darbības līnijai(P i ietver sevī kā balstu reakciju tā arī izkliedētās slodzes kopspēku), m j – apskatāmajaisijas daļai pieliktie spēkpāri (koncentrēti momenti).Lieces moments M sijas šķēlumā skaitliski vienāds ar visu uz vienu pusi no šķēlumaizvietoto spēku momentu pret šī šķēluma smaguma centru un spēkpāru algebriskusummu.Ja spēka darbības rezultātā atšķeltās sijas daļas apakšējā josla tiek stiepta, tad šī spēkaradīto momentu uzskatām par pozitīvu, pretējā gadījumā par negatīvu.Ja sijai pielikta izkliedēta slodze, lietojam izkliedētās slodzes kopspēka radīto momentu.Spēkpāri (koncentrētu momentu) lietojam ľemot vērā pieľemto zīmju likumu.Speciālā gadījumā, kad q darbojas tikai posmā argarumu b un koordināte z tiek atskaitīta no sijassākumaMVz Ra a A qb. z b 2Bieţi nosakot piepūles sijas posmos ērtāk koordinātesatskaitīt no katra posma sākuma. Šādāgadījumā šķēlumā a-a otrajā sijas posmā, attālumā z 2 no šī posma sākuma, lieces momentalielumu nosaka sakarībaMz bR z / 2a aVA2 qb 2b .Lieces momentu un šķērsspēku epīru konstruēšanaVispārīgā gadījumā lieces momenti un šķērsspēki ir mainīgi lielumi un atkarīgi no šķēlumaatrašanās vietas. Uzskatāmības dēļ tos mēdz attēlot grafiski, konstruējot pieľemtāmērogā piepūļu M un Q diagrammas jeb epīras. Šim nolūkam nosaka piepūļu M un Qvērtības sijas daţādos šķēlumos un atliek tās perpendikulāri epīras asij. Pozitīvās Qvērtības atliek virs ass, bet negatīvās vērtības atliek zem ass. Pozitīvas M vērtības at-

8. LIECEliek zem ass, bet negatīvās — virs ass (līdz ar to M epīra būs sijas stieptajā pusē). ŠādsM epīru attēlošanas princips ir dziļi iesakľojies būvspeciālistu praksē, jo uzskatāminorāda uz būvelementa stiepto zonu, kura lielākajā daļā gadījumu ir atbildīga par būvdarinājumudrošumu (nestspēju) un kur dzelzsbetona konstrukcijās ir jāizvieto nesošāarmatūra.Piemērs 8.1. Uzkonstruēt šķērsspēku Q un lieces momentu M epīras zīmējumā attēlotajaisijai.Atrisinājums. Sastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu B, nosakām reakcijuV A :M q 7 P 5 P 3 q 31,5V6 0 ,BV A 61,16(6)kN.121 2 2ASastādot momentu līdzsvara vienādojumu pret punktu A, nosakām reakciju V B :M P P 3 q 34,5 q 21V6 0 ,AV B 34,83(30)kN.112 21BPārbaudei izmantojam projekciju vienādojumu uz vertikālu asi:Y q1 2 P1 P2 q23V AVB 0un pārliecināmies, ka reakcijas aprēķinātas pareizi.Sadalām siju posmos tā, lai katra posmarobeţās iekšējās piepūles mainītos pēcviena noteikta likuma. Dotajai sijai jāapskatačetri posmi.Pirmajā posmā (šķēlums 1-1) iekšējāspiepūles nosaka izkliedētā slodze q 1 , otrajāposmā (šķēlums 2-2) tai pievienojasbalstu reakcija V A , trešajā posmā (šķēlums3-3) papildus jāľem vērā arī spēksP 1 . Ceturto posmu (šķēlums 4-4) izdevīgākanalizēt no labās puses, jo tad varamaprobeţoties ar mazāku ārējo slodţu (ieskaitotbalstu reakciju) skaitu. Šķēlumuatrašanās vietu raksturo koordinātes z 1 ,z 2 , ..., kuras atskaitām no katra posmasākuma.Sāksim ar šķērsspēku Q epīras konstruēšanu.Lai iegūtu šķērsspēka vērtību šķēlumā,varam summēt spēku projekcijasgan pa kreisi, gan pa labi no šķēluma.Pirmajā šķēlumā ērtāk summēt spēku projekcijas no kreisās puses, jo tur darbojas tikaiizkliedētā slodze q 1 . Tā kā izkliedētā slodze pret šķēlumu 1-1 darbojas pretī pulksteľa127

8. LIECErādītāja virzienam, kopspēks no tās izkliedētās slodzes daļas, kas atrodas pa kreisi nošķēluma 1-1 q1 z1, jāľem ar negatīvu zīmi. Izteiksme šķērsspēka aprēķināšanai būsspēkā visā pirmajā posmā, t.i. z 1 vērtībām no 0 līdz 2 m. TātadQ1 1 q1 z1, 0 z 12 .Ievietojot z 1 = 0 (atbilst posma kreisajam galam), iegūstam Q 1-1 =0, ievietojot z 1 = 2(atbilst posma labajam galam), iegūstam Q 1-1 = -16 kN. Šos divus punktus savienojamar taisni, jo Q 1-1 ir argumenta z 1 lineāra funkcija. Analogi pārējiem posmiem iegūstam:QQ2 2 q1 2 V A, 0 21 3 3q 12 V AP1, 0 324 4 V q2z4, 0 43QB z (Q ir konstants); z (Q ir konstants); z (Q mainās pēc lineāra likuma).Momentu epīras konstruēšanai attiecīgajos posmos iegūstam sekojošas izteiksmes:M1 1 q1 z1 z1/ 2 , 0 z 12 ;M 2 2q 12 z 21 V Az2, 0 z 21 ;M3 3 q1 2z3 2VA z31 P1 z3, 0 z 32 ;M4 4VB z4 q2 z4 z4/ 2 , 0 z 43 .Sijas stiprības aprēķinos būtiska ir maksimālā lieces momenta vērtība. Šķēlumu, kurādarbojas maksimālais lieces moments, sauc par bīstamo šķēlumu. Dotajai sijai bīstamaisšķēlums ir ar maksimālo momenta vērtību 59,4 kN·m.8.3. Diferenciālās sakarības liecēDabā eksistējošo ārējo slodţu daudzveidību parasti izdodas novest uz trim vienkāršākajiemslodţu veidiem (att. 8.3) – vienmērīgi izkliedētu slodzi ar intensitāti q , koncentrētuspēku P un spēkpāri M0.Atradīsim daţas svarīgas sakarībasstarp šķērsspēku Q , lieces momentuM un ārējām slodzēm (tab. 8.1). Javisa sistēma atrodas līdzsvarā, tad jābūtatt. 8.3līdzsvarā arī jebkurai tās daļai, tātadmēs varam no sijas izgriezt elementusar garumu dz vietās, kur darbojas slodzes q , P un M0un apskatīt šo elementu līdzsvaru.Vispārīgā gadījumā iekšējās piepūles mainās pa sijas garumu. Tāpēc, ja uz elementakreisās skaldnes darbojas iekšējās piepūles Q un M , uz labās skaldnes attālumādz tās var būt izmainījušās par lielumiem dQ un dM . Tā kā gadījumā b (tab.8.1), kad uz elementu darbojas koncentrēts spēks P , šķērsspēks mainīsies par šī spēkalielumu, ir lietderīgi bezgalīgi mazo izmaiľu dQ aizstāt ar galīgu šķērsspēka izmaiľu Q . Tāpat gadījumā c ir lietderīgi dM aizstāt ar M .a) Ja uz elementu ar garumu dz darbojas tikai izkliedēta slodze ar intensitāti q, tad128

8. LIECEšīs slodzes kopspēks, ir qdz un spēku projekciju līdzsvara vienādojums apskatāmajamelementam uz vertikālu asi irQ - (Q dQ) - qdz 0 .No šī vienādojuma iegūstam sekojošu diferenciālo sakarību:dQdz q .Tātad izkliedētas slodzes gadījumā šķērsspēka Q epīras slīpumu (šķērsspēka atvasinājumupēc koordinātes) nosaka izkliedētās slodzes intensitāte q .Integrējot iepriekšējo izteiksmi pēc z , iegūstam sakarību šķērsspēka noteikšanai (vajadzīgirobeţnoscījumi)Q qdz qz C ,no kuras seko, ka izkliedētās slodzes darbības zonā, šķērsspēks ir lineāra z funkcija(epīras raksturs ir slīps).Ja q 0 , tad Q const , tātad posmos, kur nedarbojas izkliedētā slodze, šķērsspēkamir jābūt konstantam.Summējam momentus pret apskatāmā elementa kreiso skaldnidz M qdz ( Q dQ)dz M dM 02un atmetot locekļus, kas satur diferenciāļu reizinājumus, iegūstamdM Q . dzTabula 8.1Diferenciālās sakarības liecēa) b) c)dQ q Q PQ constdzdM dM Q P M M0dz dz Tātad izkliedētas slodzes gadījumā lieces momenta M epīras slīpumu (momenta atvasinājumupēc koordinātes) nosaka šķērsspēks Q . Lieces momentu varētu iegūt pie noteiktiemrobeţnosacījumiem integrējot iepriekšējo izteiksmi.Tā kā šķērsspēks ir lineāra z funkcija, tad integrēšanas rezultātā momenta izmaiľas129

8. LIECEfunkcijai būs kvadrātisks raksturs.Posmos, kuros nav izkliedētas slodzes, šķērsspēks ir konstants un lieces moments maināspēc lineāra likuma.Posmos, kuros šķērsspēks ir 0, lieces moments ir konstants.No iepriekš teiktā varam izdarīt arī sekojošu secinājumu: ja kādā stieľa šķēlumā šķērsspēksQ maina zīmi (šķērsspēka epīra iet caur 0), tad momenta epīrai šajā šķēlumājābūt ekstrēmam (maksimumam vai minimumam).b) Koncentrēta spēka P darbības gadījumā no spēku līdzsvara vienādojuma vertikālāvirzienāQ P ( Q Q) 0 seko130 Q P ,tas ir šķērsspēka Q izmaiľa ir vienāda ar spēku P ľemtu ar pretēju zīmi.Tātad šķērsspēku epīrā vietā , kur darbojas koncentrēts spēks, ir jābūt lēcienam par pieliktāspēka vērtību.Lieces momenta atvasinājuma vērtība, ejot caur šķēlumu, kurā darbojas koncentrētsspēks, mainās lēcienveidīgi par lielumu Q P(samazinās). Uz kreisās skaldnesdM dM Q , uz labās skaldnes Q Q . Izmaiľa, ejot caur šķēlumu, kurā darbojaskoncentrēts spēks ir vienādadzdzar dM Q P. dz Tātad šķēlumā, kurā darbojas koncentrēts spēks, momentu epīras pieskares virzienslēcienveidīgi mainās, tas ir, momentu epīrai ir lūzums.c) Spēkpāra M 0 darbības gadījumā no spēku līdzsvara vienādojuma vertikālā virzienāQ ( Q Q) 0seko sakarībaQ 0 , tas nozīmē, kaQ const .Tātad, šķēlumā, kur darbojas spēkpāris, šķērsspēku epīrā nebūs nekādu izmaiľu.Sastādot momentu summu pret elementa kreiso skaldniM Mo ( Q dQ)dz M M 0un ľemot vērā, ka lielums Q dQdzir bezgala mazs salīdzinot ar spēkpāri M 0 ,iegūstam M M 0.Tātad šķēlumā, kurā darbojas spēkpāris Mo, lieces moments lēcienveidīgi mainās parpieliktā spēkpāra lielumu un momentu epīrā šajā vietā parādās atbilstošs lēciens.

8. LIECEPiemērs 8.2. Uzkonstruēt šķērsspēku Q un lieces momentu M epīras zīmējumā attēlotajaisijai.Atrisinājums. Sastādot momentulīdzsvara vienādojumus pret balstiemA un BM A q 40 P 4 M2 M V60 ,1 BM B q 46 M1 P 2 M V60,2 Anosakām balstu reakcijas V B un-V A :V B 11, 67kN ; V A 24, 33kN.Pārbaudei izmantojam projekcijusummu uz vertikālu asi:Y q 4 V AV B0.Sadalām siju posmos tā, lai katraposma robeţās iekšējās piepūlesmainītos pēc viena noteikta likuma. Dotajai sijai jāapskata pieci posmi.Pirmajā posmā (šķēlums 1-1) iekšējās piepūles nosaka izkliedētā slodze q, otrajā posmā(šķēlums 2-2) tai pievienojas balstu reakcija V A . Pārējos sijas posmus ērtāk rēķinātno labās puses. Trešajā posmā (šķēlums 3-3) iekšējās piepūles nosaka spēkpāris M 2 ,ceturtajā posmā (šķēlums 4-4) tam pievienojas balsta reakcija V B , piektajā posmā papilduspievienojas arī spēks P. Šķēlumu atrašanās vietu konkrētajos posmos raksturokoordinātes z 1 , z 2 , ..., kuru atskaites punkts ir katra posma sākums.Veiksim šķērsspēku Q epīras konstruēšanu:Q1 qz 1 1, 0 12 z VA z ;Q2 2 q22, 0 z 22 ;Q 0 , 0 z 32 ;33Q4 4 V B, 0 z 42 ;Q V 5 5 BP , 0 z 52 .Atbilstoši iegūtajām sakarībām uzkonstruētā šķērsspēku Q epīra parādīta attēlā. Atbilstošidiferenciālajām sakarībām, Q epīrā šķērsspēks mainās pēc lineāra likuma posmos,kur darbojas izkliedētā slodze q, ir konstants posmos kur nav izkliedētas slodzes. Šķēlumos,kuri atbilst koncentrētu spēku (balstu reakciju) pielikšanas vietām, Q epīrā ir?131

8. LIECEatbilstoši lēcieni.Lieces momentu vērtības sijas posmos nosaka sakarības:2M1 1 qz1/ 2 , 0 z 12 ;MMM22 z2 / VAz2, 0 z 22 ;2 2 q2, 0 z 32 ;3 3 M24 4VBz4, 0 z 42 ;z5 5M5 5VB 2 Pz , 0 z 52 .Momentu epīrai M ir kvadrātisks raksturs posmos, kur darbojas izkliedētā slodze q unlineārs visos pārējos. Šķēlumos, kur pielikti spēkpāri, M epīrā parādās tiem atbilstošilēcieni.8.4. Piepūļu epīras vienkāršākajiem siju slogojuma gadījumiemPamatojoties uz spēku darbības neatkarības principu, jebkuru sijas slogojumu varamsadalīt atsevišķos slogojumos, katram atsevišķajam slogojumam uzkonstruēt liecesmomentu un šķērsspēku epīras un galīgās epīras iegūt kā atsevišķo slogojumu epīrusummu. Nākošajā tabulā 8.2. apkopoti daţādu vienlaiduma siju slogošanas rezultāti arvienkāršām slodzēm.Tabula 8.2Vienlaiduma siju vienkāršākie slogojumi132

8. LIECEPiemērs 8.3. Izmantojot spēku darbības neatkarības principu, uzkonstruēt lieces momentuun šķērsspēku epīras attēlā dotajai sijai.Atbilstoši iepriekšējā tabulā dotajām sakarībām konstruējam epīras no atsevišķajām133

8. LIECEslodzēm. Galīgās epīras iegūstam kā atsevišķo epīru summu.Uzdevums 8.1 Uzdevums 8.2Uzkonstruēt iekšējo piepūļu epīras attēlā dotajai sijai.Ne vienmēr konstrukcijai pielikto ārējo izkliedēto slodzi var pieľemt par vienmērīgiizkliedētu. Tādas ir birstoša materiāla kaudzes radītā slodze, slīpu pārsegumu sniegaslodze un citas slodzes.Piemērs 8.4. Noteikt balstu reakcijas, šķērsspēku un lieces momentu epīras attēlā redzamajaisijai.Atrisinājums. Tā kā sija ir slogota simetriski, tadacīm redzot abas balstu reakcijas ir vienādas unkatras vērtība ir puse no pieliktās slodzes. Sijaipieliktā slodze (izkliedētās slodzes kopspēks) irq / 2. Tātad katras reakcijas vērtība ir0 lVA V q l 0/ 4 .Pie šāda rezultāta var nonākt arī sastādot momentulīdzsvara vienādojumus pret balstiem A un B. Tādāgadījumā iegūstamq0ll MA VBl 0 ;2 2q0ll MB VAl 0 .2 2Slodzes simetrijas dēļ šķērsspēku un lieces momentu epīras jākonstruē tikai vienai sijaspusei, otrā pusē tās būs simetriskas (šķērsspēku epīrai apgriezti simetriskas). Tā kā izkliedētāsslodzes intensitāte sijas kreisajā pusē mainās atbilstoši sakarībai q 2q0z / l ,tad šķērsspēku jebkurā sijas šķēlumā attālumā z no balsta A nosaka sakarībaQ Vbet lieces momentu sakarībaA22z q 0lq0zl z ( 2q0z/ l) q0 ,2 4 l 4 l B134

8. LIECE32qz z z q0lzq0zM VAz0 l 2 3 4 .3lŠīm sakarībām atbilstošās epīras parādītas attēlā.Piemērs 8.5. Noteikt šķērsspēkus un lieces momentuspatvaļīgā šķēlumā ar koordināti x no konsolsijasbrīvā gala, ja sija slogota ar lineāri mainīguizkliedētu slodzi.Atrisinājums. Izkliedētas slodzes lielumu jebkurāšķēlumā x nosaka sakarība q q0z/ l . Līdz ar tošķērsspēka vērtība šai šķēlumā, ievērojot, ka kopspēksno izkliedētās slodzes ir funkcijas q(x) ierobeţotaislaukums, ir21 q0zq0zQ z , (8.3)2 l 2lbet tā maksimālā vērtība iespīlētajā sijas galā irQ q l / 2Lieces momentu patvaļīgā šķēlumā nosaka atšķeltāssijas daļas slodzes izraisītais moments pret asi,kura iet caur šķēluma smaguma centru.Ľemot vērā ka izteiksme (8.3) vienlaicīgi izsakaarī kopspēka lielumu izkliedētajai slodzei pa kreisino šķēluma (ar plus zīmi) un faktu, ka šis kopspēksir pielikts attālumā z/3 no šķēluma, iegūstam sakarībumax23q z / 2lz3 q z / lM 60Maksimālā lieces momenta vērtība veidojas sijas iespīlējumā un tā ir2M q l /6 .max0Tātad konkrētajā slogojuma gadījumā šķērsspēks monotoni mainās pēc kvadrātiskāsparabolas, bet lieces moments pēc kubiskās parabolas likuma.8.5 Epīru konstruēšana rāmjiemStieľu sistēmu, kuras visi vai tikai daļa savienojumu ir stingi, sauc par rāmi. Stingie savienojumipilnībā nodrošina leľķu nemainību starp savienojamo stieľu asīm. Rūpniecībasun civilās būvniecības objekti lielā mērā tiek veidoti kā rāmjveida konstrukcijas.Plakaniem statiski noteicamiem rāmjiem balstu reakcijas nosakāmas no statikas līdzsvaravienādojumiem (sk. 2. nodaļu).Tipiskākie vienkāršu rāmju veidi ir: rāmji ar diviem balstiem (att. 8.4a), no kuriemviens ir kustīgs, bet otrs nekustīgs locīklas balsts; rāmji ar vienu iespīlētu balstu (att.8.4b) un rāmji ar diviem nekustīgiem locīklas balstiem, pie kam rāmja divas daļas savā00135

8. LIECEstarpā savienotas ar locīklu (att. 8.4c). Komplicētāku rāmju struktūru aprēķinu metodestiek apgūtas būvmehānikas pamatkursā.att. 8.4Katru rāmi var pieľemt par stieľu sistēmu. Līdz ar to konstruējot kādu no rāmja piepūļuepīrām, var konstruēt šo epīru katram rāmi veidojošajam stienim atsevišķi. Svarīgiľemt vērā, ka rāmja gadījumā katrā tā elementā var darboties ne tikai lieces momentsM, šķērsspēks Q, bet arī assspēks N.Iekšējo piepūļu noteikšanai katrā rāmja stieľa šķēlumā izmantosim trešajā nodaļā plakanaistieľu sistēmai iegūtās vispārīgās likumsakarības:Šķērsspēks Q izvēlētajā šķēlumā ir visu uz vienu pusi no šķēluma pielikto ārējo spēkuprojekciju uz stieņa asij perpendikulāru asi algebriska summa.To spēka projekciju, kas grieţ apskatāmo stieľa daļu pulksteľa rādītāja kustības virzienāattiecībā pret šķēluma smaguma centru, uzskatīsim par pozitīvu, bet pretējā virzienā– par negatīvu.Rīģelim pozitīvās Q vērtības tāpat kā sijai tiek atliktas uz augšu no stieľa ass, negatīvās– uz leju. Statam pozitīvo un negatīvo Q vērtību novietojums nav stingri noteikts.Lieces moments M izvēlētajā šķēlumā ir vienāds ar visu uz vienu pusi no šķēluma pieliktoārējo spēku (spēkpāru, izkliedēto slodžu) momentu algebrisku summu pret šķēlumasmaguma centru.Rāmja gadījumā atšķirībā no sijas lieces momentam netiek definēts nekāds zīmju likums.Jāievēro nosacījums, ka M epīrai visiem stieľiem jābūt attēlotai stieľa stieptajāpusē.att. 8.5Nosakot stienim stiepto pusi stieľa sākumā (pie z 1 =0) vislielākais iespaids ir spēkpārimM (att. 8.5a), jo spēkpāris lieces momentu epīrā dod lēcienu par pieliktā momenta vērtību,mazāks spēkam P (att. 8.5b) - lieces moments palielinās pēc lineāra likuma un136

8. LIECEvismazākais izkliedētai slodzei q (att. 8.5c), jo momentam palielinoties pēc kvadrātiskalikuma, sākuma punktā momentu epīras pieskare ir paralēla stieľa asij. Attālumā z 1aprēķināto lieces momenta vērtību zīmes maiľa liecina arī par stieľa stieptās pusesmaiľu (att. 8.5d).Ass spēks N izvēlētajā šķēlumā ir visu uz vienu pusi no šķēluma pielikto ārējo spēkuprojekciju uz stieņa asi, algebriska summa.To spēka projekciju, kura izraisa atšķeltās stieľa daļas stiepi, uzskata par pozitīvu (lietoar plus zīmi), bet to, kura izraisa spiedi – par negatīvu (lieto ar mīnus zīmi).Konstruējot asspēku epīru rāmim pieľemts asspēka vērtības atlikt simetriski uz abāmpusēm no stieľa ass.Rāmjos ar vienu stingu balstu epīru konstruēšanu var sākt no brīvā gala. Tādā gadījumā,konstruējot epīru, iepriekš nav jānosaka balstu reakcijas. Rāmjiem ar vairāk kāvienu balstu, aprēķinus sāk ar balstu reakciju noteikšanu.Piemērs 8.6. Attēlā 8.6 dotajam rāmim pie dotās slodzes uzkonstruēt piepūļu M, Q unN epīras.att. 8.6Atrisinājums. Izmantojot momentu līdzsvara vienādojumus pret balstiem A un B nosakāmvertikālās balstu reakcijas V A un V B , bet no spēku līdzsvara vienādojuma horizontālāvirzienā reakciju H A . Ja kāda no reakcijām aprēķina rezultātā ir negatīva, sākotnējipieľemtais reakcijas virziens jāmaina uz pretēju. Rāmja slogojuma shēma parādītaatt. 8.6b (var attēlot arī atmetot balstus un parādot tikai balstu reakcijas). Rāmi nosacītivar sadalīt četros posmos. Ar posmu saprotam sistēmas daļu, kurā meklējamāpiepūle mainās pēc viena noteikta likuma. Jauns posms sākas slodţu pielikšanas (noľemšanas)punktos, kā arī mainoties stieľa virzienam. Turpmāk koordinātes z n , kasraksturo šķēluma atrašanās vietu posma robeţās atskaitīsim no katra posma sākumapunkta.1. posms (AC).Šajā posmā vienīgais spēks, kas darbojas perpendikulāri stieľa asij un, tātad, var atstātkādu iespaidu uz šķērsspēku, ir balsta reakcija H A . Izdarām patvaļīgi izvēlētu stieľašķēlumu 1-1. Tā kā balsta reakcija pret apskatāmo šķēlumu 1-1 darbojas pretēji pulk-137

8. LIECEsteľa rādītāja kustības virzienam, tā jāľem ar negatīvu zīmi. Šķērsspēka aprēķinamiegūstam sakarībuQ1 1 H A, 0 z 110 .Tā kā mainīgā koordināte x1neparādās Q 1-1 aprēķina izteiksmē, Q 1-1 visos posma šķēlumosir nemainīgs lielums vienāds ar -30 kN.Lieces momenta vērtību nosaka sakarībaM 1H z 1 A 1, 0 z 110 .Tātad šķēlumā A momenta vērtība ir nulle, bet šķēlumā C tā ir maksimāla, t.i.M1C 30kN10m 300kNm. Visā posma garumā lieces moments mainās pēclineāra likuma. Epīra tiek konstruēta stieľa stieptajā pusē. Stienim AC stiepta ir kreisāpuse, jo piepūles H A iedarbības rezultātā stieľa AC gals A noliecas pa labi.Šajā posmā vienīgais spēks, kas darbojas pa stieľa asi un, tātad, var atstāt kādu iespaiduuz asspēku, ir balsta reakcija V A . Tā kā balsta reakcija spieţ apskatāmo stieľa daļu,tā jāľem ar negatīvu zīmi. Asspēka aprēķinam iegūstam sakarībuN1 1 V A, 0 z 110 .Tā kā mainīgā koordināte x1neparādās N 1-1 aprēķina izteiksmē, N 1-1 visos posma šķēlumosir nemainīgs lielums vienāds ar N 1-1 = -61 kN.Piepūles posmā CD vieglāk aprēķināt summējot ārējos spēkus pa labi no kāda šķēluma(pa kreisi – V A , H A , m, q; pa labi – V B , P, q), tāpēc kā otro apskatīsim posmu BK.2. posms (BK).Šim rāmja posmam raksturīgs tas, ka šajā posmā vienīgā piepūle ir ass spēks N. Izdarotšķēlumu 2-2 konstatējam, ka stienis BK tiek slogots ass virzienā ar spēku N 2-2 = - 19kN.Stieľa asij perpendikulārā virzienā ārējās slodzes nav, tātad visā stieľa garumā Q = 0.Arī par lieces momentu varam secināt, ka M = 0.3. posms (KD).Iekšējo piepūļu izmaiľas stieľī nosakām izmantojot sakarībasQM33 P;;3 3 Pz3 0 35N3 V B3, z ;no kurām seko: Q 3-3 = 30 (kN); N 3-3 = -19 (kN), M 4-4 = 30·z 3 .Tātad konstatējam, ka posmā KD šķērsspēks ir konstants un pozitīvs, ass spēks negatīvs(stieľa posms DK ir spiests), bet lieces moments mainās lineāri virzienā no K uzD. Pie tam konstatējam, ka posmā KD stiepta ir stieľa labā puse.4. posms (DC).Konstruējot šķērsspēka Q epīru vadamies pēc definīcijas (šķērsspēks jebkurā šķēlumāir visu uz vienu pusi no šī šķēluma perpendikulāri stieľa asij vērsto spēku summa).Šķērsspēka vērtību jebkurā stieľa DC šķēlumā, kurš atrodas attālumā z4no šķēluma138

8. LIECED, nosaka sakarība:Q4 4 VB qz4; 0 z 48 .Tātad Q 4-4 epīru ierobeţo slīpa taisne, kuras ordināte labajā galā (punkts D) ir –19,kreisajā galā (punkts C) 61. Atbilstoši diferenciālajām sakarībām, šķēlumā, kur šķērsspēkuepīra krusto asi (Q 4-4 =0), momentu epīrā jābūt maksimumam vai minimumam.Atrodam atbilstošo z 0 4 vērtību no nosacījuma Q VB qz 0. Iegūstam0z VB q 1, 9 m.4444Konstruējot lieces momenta epīru posmam DC, iegūstam otrās kārtas līkni atbilstošisakarībaiMz2244 4 P3q VB z4; 0 48 z .Šī sakarība ietver sevī balstareakcijas V B un ārējās slodzes Pun q radītās lieces momentaizmaiľas.Slodzes P un q stiepj posma DCaugšpusi, bet balsta reakcija V Bapakšpusi. Tā kā šķēlumā D irstiepta stieľa augšpuse (M 4-4 =150kNm) un visā stieľa garumāmomenta M 4-4 zīme nemainās(z 0 4 =1,9 m; M 4-4 =131,95 kNm,z 4 =8 m; M 4-4 =318 kNm) tad visāposmā DC lieces momentu epīraattēlojama stieľa augšpusē.Lai noteiktu ass spēka N vērtību,summējam visu pieliktospēku projekcijas uz horizontāluasi pa labi no šķēluma 4-4.Tā rezultātā iegūstam N 4-4 = -Patt. 8.7un līdz ar to N 4-4 = - 30 kN.Iegūtie piepūļu aprēķina rezultātidod iespēju konstruēt attiecīgo piepūļu epīras, katram rāmja posmam. Apvienojotšīs epīras visiem rāmja posmiem, iegūstam attiecīgās piepūles epīru dotajam rāmim piedotā ārējā slogojuma. Šīs epīras parādītas attēlā 8.7.Samērā izplatīts paľēmiens iekšējo piepūļu epīru konstruēšanai parādīts att. 8.8.Pēc balstu reakciju noteikšanas, rāmis tiek sadalīts posmos un katram rāmja posmampiepūles tiek aprēķinātas neatkarīgi. Posmam AC noteiktās piepūļu vērtības punktā C(pie z 1 =10 m) tiek pieliktas posma CD punktā C kā ārējās slodzes. Piepūļu virzieni tiekmainīti uz pretējiem. Mainoties stieľu virzienam, šķērsspēks posma AC beigās izsaucasspēku stieľa CD sākumā, savukārt asspēks posma AC beigās kļūst par šķērsspēku139

8. LIECEposma CD sākumā. Stieľa CD galam C ir pielikts moments, kuru veido ārējais momentsm 18kNmun balsta reakcijas H A radītais moments no iepriekšējā posma ACM C 300kNm . Tāpat tiek sadalīti arī pārējie posmi.att. 8.8Iekšējo piepūļu epīras tiek konstruētas katram posmam atsevišķi un pēc tam apvienotaskopējās iekšējo piepūļu epīrās. Šī metode ir darbietilpīgāka par iepriekš aprakstīto, jopirms epīru konstruēšanas, jānosaka ne tikai balstu reakcijas, bet arī iekšējo piepūļuvērtības katra posma sākumā un beigās.Piemērs 8.7. Uzkonstruēt piepūļu Q, M, N epīras dotajamrāmim.Atrisinājums. Rāmja nostiprinājuma veids – iespīlējumspunktā A, dod iespēju konstruēt piepūļu epīras bez iepriekšējasbalstu reakciju noteikšanas. Epīras ērti konstruēt virzotiesno rāmja brīvajiem galiem virzienā uz balstu (jāatzīmē,ka posmos AK un KC piepūles vienkāršāk būtu aprēķinātzinot balstu reakciju vērtības).Epīru konstruēšanai izmantojam šķēlumu metodi, t.i., piepūlesvērtība jebkurā šķēlumā ir visu attiecīgo ārējo slodţuprojekciju vai momentu summa uz vienu (jebkuru) pusi nošī šķēluma.Piepūles jānosaka sešos posmos:Posmā BC šķērsspēka vērtība mainās lineāri no vērtības 0 punktā B līdz vērtībai q 1 punktā C atbilstoši sakarībai:Q1 1 qz1, 0 z 11 ;Lieces momentu nosaka sakarība:2M1 1 qz 2 (stiepta augšpuse).140

8. LIECEHorizontālu slodţu nav un asspēksN 0 .11Līdzīgā veidā varam konstatēt, ka posmā EF iekšējās piepūles nosaka sakarības:Stienī DE:Stienī CD:Q2 qz 22; 0 21M2 qz22 2;N 0 .22 z ;Q 0 ; 0 z 32 ;33M q10,5 (stiepta labā puse);33N q 1.33Q4 1 z 4 q q4; 0 42M4 4 q1(z4 0,5) qz2 4;N 0 .44 z ;2Stieľa AC posmā CK:Q 0 ; 0 z 52 ;55M q41;55N q 4 .55Posmā KA:Q6 6 P 20kN; 0 z 62 ;M5 5 q41Pz6;N q 4 .55Atliekot rāmja raksturīgajos punktos aprēķinātās piepūļu vērtības uz rāmja ass un tāssavienojot ar līnijām, iegūstam sekojošas iekšējo piepūļu epīras.141

8. LIECESvarīgi ľemt vērā, ka lieces momentu epīrā jebkurā mezglā jāizpildās līdzsvara nosacījumam,t.i. momentu summai mezglā jābūt nullei.Momentu un šķērssspēku epīrās jebkurā rāmja posmā jāizpildās piepūļu diferenciālosakarību nosacījumiem.No iegūtajiem rezultātiem varam secināt, ka balstā A darbojas trīs piepūles – balstareakcijas: vertikāli uz augšu vērsts spēks V A =24 kN, horizontāli pa kreisi vērsts spēksH A = 20 kN un pretī pulksteľrādītāja kustības virzienam vērsts moments M A = 84 kNm.Piemērs 8.8. Uzkonstruēt piepūļu epīras stienim ar lauzītu asi un noteikt to spēka P xvērtību, kura dod iespēju samazināt lieces momenta vērtību iespīlējumā divas reizes.Atrisinājums. Izmantojot iepriekš izklāstīto metodiku, iegūstam epīras, kuras parādītasattēlā. Lai samazinātu maksimālo lieces momenta vērtību M A =54 kNm divas reizes,punktā B jāpieliek spēks, kurš rada balstā momenta vērtību 27 kNm. Tātad jāizpildāsnosacījumam P x 3m 27kNmun līdz ar to P x = 9 kN.Izmainītās lieces momentu un šķērsspēku epīras parādītas attēlā:142

8. LIECE8.6. Normālspriegumi liektās sijāsViendabīga materiāla stieľos stiepes un spiedes gadījumā rodas tikai normālspriegumi,kas pa stieľa šķērsgriezumu sadalās vienmērīgi (tā tiek pieľemts).Liektās sijās šķērslieces gadījumā (darbojas Q unM) rodas divu veidu spriegumi: normālie (ass)(izsauc lieces moments M) un tangenciālie (bīdes)(izsauc šķērsspēks Q). Svarīgi noskaidrot, kāšie spriegumi sadalās pa sijas šķērsgriezumu unkā tos aprēķināt.Lai noskaidrotu normālspriegumu sadalījumu pasijas augstumu un aprēķinātu to lielumu, siju apskatāmtīrās lieces stāvoklī, tas ir gadījumā, kadsijas šķēlumos darbojas tikai lieces moments M.Šādā stāvoklī attēlā 8.9 parādītā sija ir posmāstarp balstiem: M=Pa, Q=0.att. 8.9Pakļaujot tīrai liecei siju, uz kuras uznests taisnstūrveidatīkls, var konstatēt sekojošas īpašības:1. Taisnes 1-1 un 2-2 pagrieţas par kādu leľķi d paliekot par taisnēm. Tātad irspēkā plakano šķēlumu hipotēze – sijas šķēlumi pēc pagriešanās paliek plakani;2. Tā kā taisnleľķa tīkls pēc deformēšanās paliek par taisnleľķa tīklu, tad bīdesspriegumus sijas šķēlumos var pieľemt par nulli;3. Sijā lieces gadījumā var izdalīt stiepto zonu un spiesto zonu.Sijai eksistē slānis, kurš atdala spiesto zonu no stieptās. Šo slāni sauc par neitrālo slāni.Šī slāľa garums nav mainījies, tas ir tikai izliecies. Neitrālā slāľa krustošanās līnijuar šķērsgriezuma plakni sauc par neitrālo asi. Sijas spriegumstāvokļa noteikšanai tiksizmantotas sekojošas hipotēzes:1. Materiāla fizikāli – mehāniskāsīpašības visos sijas punktos unvirzienos ir vienādas (materiāls irizotrops);2. Garenšķiedras neizdara spiedienuuz blakus esošajām;3. Normālie spriegumi ir proporcionālideformācijām (ir spēkāatt. 8.10143

8. LIECEHuka likums).Aprēķina gaitā izmantotās asis parādītas att. 8.11.Tā rezultātā, ka liektas sijas augšējāsšķiedras saīsinās, bet apakšējās pagarinās,izmainās arī sijas šķērsgriezuma sākotnējāforma (šķērsdeformāciju dēļ). Šoefektu neapskatīsim.Tīrās lieces gadījumā lieces momenta Miespaidā sija izliecas, veidojot riľķa līnijasloku, kura centrs ir punkts O – divublakus šķēlumu 1–1 un 2-2 krustpunkts.To sauc par sijas ass liekuma centru.Leľķi starp abiem šķēlumiem apzīmē aratt. 8.11d, bet neitrālā slāľa liekuma rādiusu ar. Liekuma rādiusa apgriezto lielumu æsauc par sijas liekumu. Attēlā 8.11 ab ir neitrālais slānis, y – attālums no neitrālā slāľalīdz slānim, kurā tiek rēķināts spriegums.No att. 8.11 seko, ka dz = ·d undæ 1 . (8.4)dzNoteiksim relatīvo pagarinājumu slānim cd attālumā y no neitrālā slāľa ab:ddddy dyz æy . (8.5)cdab dTātad lineārā deformācija z ir tieši proporcionāla liekumam un attālumam no neitrālāsplaknes. Šķiedras zem neitrālās plaknes ir stieptas (to deformācijas skaitīsim pozitīvasun tādēļ y asi vērsīsim uz leju no neitrālās plaknes). Izteiksme (8.5) ir iegūta izmantojottīri ģeometriskas sakarības un tādēļ nav atkarīga no materiāla īpašībām. Tātad šī sakarībair spēkā jebkurai sijas materiāla spriegumu - deformāciju diagrammai.Līdzīgi kā vienasīgas stiepes vai spiedes gadījumā, šķērsajos virzienos rodas šķēsdeformācijas,kuras ir ar pretēju zīmi. Tās nosaka sakarība æyx z.Puasona koeficients μ ir neatkarīga materiāla deformatīvā konstante, kuru nosaka eksperimentālivai arī izmantojot sakarībuE 1,2 Gkur: E – sijas materiāla elastības modulis;G - sijas materiāla bīdes modulis.Normālspriegumus liektās sijās z ass virzienā elastīga, lineāri deformējama materiālagadījumā nosaka Huka likums:144

8. LIECE æEy. (8.6)zE zŠie spriegumi ir proporcionāli attiecīgajām deformācijām un tātad mainās atkarībā no yvērtības. Normālspriegumu sadalījums pa sijas augstumu parādīts att. 8.12a.Tātad sijas virsējā daļā (virs neitrālāsplaknes) normālspriegumi ir negatīviun sija tiek spiesta, bet apakšējā daļāsija tiek stiepta.Uz jebkuru sijas šķēluma elementārlaukumiľudA (att. 8.12b) darbojaselementārs ass spēks dN= z dA. Tā kāass spēks sijai nav pielikts, visu šāduelementārspēku summai lieces gadījumājābūt vienādai ar nulli: dN zdA æEydA 0 .AAATā kā liekums æ tīrās lieces gadījumā un elastības modulis E ir konstantes, tad no pēdējāssakarības iegūstamAydA 0 . (8.7)Šis integrālis nosaka sijas šķēluma laukuma statisko momentu pret neitrālo asi x unsakarība (8.7) rāda, ka tam jābūt vienādam ar nulli. Secinām, ka neitrālā ass iet cauršķēluma smaguma centru. Šī īpašība var tikt izmantota patvaļīgas formas sijas smagumacentra koordināšu noteikšanai.Katrs elementārspēks dN attiecībā pret neitrālo asi rada elementārmomentu dM=ydN=y z dA. Visu šo elementārmomentu summai pa visu šķēluma laukumu A jābūtvienādai ar sijas lieces momentu M. TātadIntegrālisMI 2 zydA æE y dA A æEI . (8.8)Fatt. 8.12A2y dAir sijas šķēluma inerces moments pret asi x, t.i. – neitrālo asi.No sakarības (8.6) varam izteikt sijas liekumu:1 Mæ . (8.9) EITātad liektas sijas ass liekums ir tieši proporcionāls lieces momentam M un apgrieztiproporcionāls lielumam EI, ko sauc par sijas lieces stingumu.Izmantojot sakarības (8.6) un (8.9) iegūstam izteiksmi normālspriegumu noteikšanailiecēM yz . (8.10)I145

8. LIECEMaksimālie stiepes un spiedes spriegumi atbilst maksimālām attāluma y vērtībām noneitrālās ass. Apzīmējot šīs maksimālās vērtības ar c 1 un c 2 (att. 8.12-b) no sakarības(8.10) iegūstam146z,maxz,minMcI1Mc I2MW1;M .W2(8.11)Parametri W 1 = I/c 1 un W 2 = I/c 2 ir sijas šķērsgriezuma pretestības momenti liecei.Sijām, kuru šķērsgriezums pret y asi ir simetriska figūra izpildās nosacījums c 1 = c 2 unekstremālie stiepes un spiedes spriegumi ir vienādi.Ja sijas šķērsgriezums ir taisnstūris ar augstumu h un platumu b, galveno inerces unpretestības momentu vērtības nosaka sakarības32bh bhI , W ,12 6bet, ja šķērsšķēlums ir pilns aplis, tad43ddI , W .64 32No ekonomiskuma viedokļa aktuāla problēma ir atrast izdevīgāko liektas sijas šķērsgriezumaformu.Pretestības momenta izteiksmi taisnstūra šķēluma gadījumā varam uzrakstīt sekojošāveidā2bh AhW 0, 167 Ah , (8.12)6 6kur A bh – šķēluma laukums.Taisnstūra šķēlums ar fiksētu šķērsgriezuma laukumu A kļūst arvien izdevīgāks pieaugotaugstumam h. Diemţēl h pieaugumam eksistē robeţa sakarā ar sijas noturības zudumušķērsā virzienā, ja tā kļūst pārmērīgi plāna. Tad sabrukuma cēlonis vairs navmaksimālie ass spriegumi, bet gan lieces plakanās formas noturības zudums (sāniskāizkļaušanās).Sijām ar riľķveida šķērsgriezuma formu ir spēkā3dAdW 0, 125Ad . (8.13)32 8Gadījumā, ja riľķa un kvadrātveida šķēlumu laukumi ir vienādi, tad h d / 2 unsaskaľā ar izteiksmi (8.12) kvadrātveida šķērsgriezumam iegūstamW 0 , 148Ad . (8.14)Salīdzinot izteiksmes (8.13) un (8.14), konstatējam, ka kvadrātveida sijas ir ekonomiskākaspar apaļstieľa sijām, jo to pretestības momenti pie vienāda materiāla patēriľa ir

8. LIECElielāki un līdz ar to maksimālie spriegumi mazāki. Tātad sijas ar kvadrātveida šķērsgriezumuJāatceras, ka bīdes spriegumiem ir spēkā to pāralikums, tas nozīmē, ja uz elementa vienas skaldnesdarbojas bīdes spriegumi, tad tādi paši bīdes spriegumidarbojas arī tai perpendikulārā plaknē. Tādāveidā liektā sijā veidosies garenbīdes spriegumineitrālai plaknei paralēlās plaknēs un šķērsbīdesspriegumi šķērsšķēluma plaknē. Uz sijas ārējāmplaknēm bīdes spriegumu nav. Tātad arī šķērsšķēlumospie sijas ārējām malām to nav.att. 8.14Garenbīdes spriegumu būtību uzskatāmi demonstrēsekojošs eksperiments. Liecot ar koncentrētu spēku P divas vienādas brīvi balstītas sijas,tās deformējas nobīdoties viena pret otru, kā tas parādīts att. 8.14.Katrā no sijām ir stieptās un spiestās šķiedras. Ja divu neatkarīgo siju vietā liecam vieatt.8.13ass (sk. att. 8.13a). Tad iegūtu2iztur 1,2 reizes lielāku lieces slodzi kā sijas arapaļu šķērsgriezumu (pie vienādiem šķērsgriezumalaukumiem).Spriegumu sadalījums liecē pa sijas augstumuļauj secināt, ka visizdevīgākais konstrukcijasveids ir tāds, kad sijas materiāls izvietots pēciespējas tālāk no neitrālās ass.Visizdevīgāk būtu visu materiālu sadalīt divāsdaļās un izvietot attālumā h/2 no neitrālās2 A h AhI 2 , W 0 , 5Ah ; (8.15) 2 2 4Praksē šim ideālajam stāvoklim var tuvoties, izmantojot šķēlumus ar platiem plauktiľiem(att. 8.13b). Tā kā daļa no materiāla jāizmanto sieniľai, tad nosacījums (8.15)nekad nevar tikt realizēts. Standarta dubult-T profila šķēlumiem ir spēkā sakarībaW 0 , 35Ah .Šī sakarība norāda, ka dubult-T profils divas reizes ekonomiskāks par taisnstūra šķēlumuar analogu augstumu h. Dubult-T profila priekšrocība ir arī tā, ka tiek nodrošinātasāniskā noturība.8.7. Bīdes spriegumu aprēķinsKonstrukciju aprēķinu pieredze rāda, ka sijas lieces gadījumā katrā šķērsšķēlumā parastirodas kā lieces moments M, tā arī šķērsspēks Q. Apskatīsim siju ar taisnstūra veidah x b škērsgriezumu. Dabīgi ir pieľemt, ka bīdes spriegumi šādā sijā ir paralēlišķērsspēkam Q, tātad darbojas sijas šķērsšķēlumā. Kā otru pieľēmumu izmantosimnosacījumu, ka bīdes spriegumi ir vienmērīgi izkliedēti visā sijas platumā.147

8. LIECEnu siju ar dubultu augstumu 2h, tad neitrālā plaknē jārodas bīdes spriegumiem pēc lielumatādiem, lai tiktu aizkavēta (nepieļauta) zīmējumā parādītā nobīde. Novērstās nobīdesdēļ, sija kļuvusi stingrāka un izturīgāka nekā divas neatkarīgas sijas ar augstumu h.Horizontālos bīdes spriegumus nosaka spriegumu līdzsvars uz izgriezta elementa abcdvirsmām (att. 8.15). Elements raksturīgs ar to, ka tā garums ir dz, apakšējā mala sakrītar sijas ārmalu, bet augšējā atrodas attālumā y no neitrālās plaknes. Uz šīs malas darbojasbīdes spriegums . Uz elementa galiem darbojas lieces izraisītie normālspriegumi.Galu plaknēs darbojas arī vertikālie bīdes spriegumi , bet to projekcija uz z asi ir nulle.Ja lieces momenti šķēlumos ac un bd ir vienādi, t.i., ja sija ir tīrās lieces stāvoklī, tadnormālspriegumi z uz šīm virsmām ac un bd arī būs vienādi, elements atradīsies līdzsvarastāvoklī un bīdes spriegumu nebūs.Vispārīgā gadījumā lieces moments sijas ass virzienā ir mainīgs un pieľemsim, ka attālumādz tas izmainās par lielumu dM.att. 8.15Šķēlumā ac uz elementāru laukumu dA darbojas ass spēksMyzdA dA. (8.16)IVisu šo elementāro spēku summa uz skaldnes ac irh / 2yMydA .IAnalogi uz skaldnes bd summārais ass spēks irh / 2yM dMydA .IUz elementa augšējās skaldnes ab darbojas horizontāls spēks, kuru izteiksim sekojošāveidā b dz .Visu uz elementu darbojošos spēku projekcijām uz z asi jābūt līdzsvarā. Tātadh 2h 2M M dM b dz ydA ydA 0 .IINo šīs sakarības iegūstamyy148

8. LIECE2 dM ydAdz Ib. (8.17)1 h yIntegrālis izsaka att. 8.15 ieēnotā elementa abcd statisko momentu pret neitrālo asi x C .Citiem vārdiem sakot, šis integrālis izsaka šķērsšķēluma laukuma daļas, kura atrodaszemāk par koordināti y, statisko momentu, tas ir, nošķeltās daļas statisko momentu.Apzīmējot statisko momentu ar S un ľemot vērā, ka lieces momenta atvasinājums pēckoordinātes ir šķērsspēks Q, izteiksmi (8.17) var pārrakstīt sekojošā veidā:QS nošķx . (8.18)IbSvarīgi uzsvērt, ka ir integrālis ar mainīgu apakšējo robeţu, tātad mainīgs lielums pasijas augstumu. Šajā izteiksmē lielums b ir šķērsgriezuma šķērsizmērs attālumā y noneitrālās ass, kur tiek rēķināts bīdes spriegums (vispārīgā gadījumā b var mainīties pasijas augstumu).Taisnstūrveida sijas šķēlumam parametri Q, I un b ir konstanti lielumi, tādēļ bīdessprieguma izmaiľa pa sijas augstumu ir proporcionāla statiskā momenta S izmaiľaiatkarībā no koordinātes y.Att. 8.15-b sijas taisnstūra šķēluma nošķeltās daļas statiskais moments pret x C ir2 h h 2 y b h 2 x b y y . (8.19) 2 2 2 4 S nošķIevietojot sakarību (8.19) formulā (8.18) iegūstam2Q h 2 y . (8.20)2I 4 Saskaľā ar izteiksmi (8.20) bīdes spriegumu izmaiľa pa sijas augstumu y atbilst paraboliskaisakarībai. Taisnstūrveida sijas gadījumā tātadun 0 , jay h22Qh 3Qmax , ja y 0.8I2ATātad max bīdes spriegums ir uz neitrālās plaknes un tas pārsniedz vidējā spriegumavērtību Q vidA par 50 %. Spriegumu izmaiľas forma parādīta att. 8.15-c.Izteiksmes (8.10) un (8.11) normālspriegumu aprēķinam tīrās lieces gadījumā tika iegūtaspieľemot, ka sijas šķērsgriezuma laukums nedeformējas (att. 8.10), bet tikai pagrieţasap neitrālo asi. Tā kā šķērslieces gadījumā ( Q 0 ) spriegumi pa sijas augstumuy mainās pēc paraboliska likuma, tad līdzīgi, jāmainās arī atbilstošajām bīdesdeformācijām. Līdz ar to sijas šķērsšķēlumi, kuri sākumā bija plakani, izliecas, pie kamto deformācijas nav vienādas, bet pieaug virzoties no sijas virsmām uz neitrālo plakni.nošķx149

8. LIECEGadījumos, ja šķērsspēks ir konstants(att. 8.16a) visu šķēlumu izliekšanāsir vienāda un tātad tā praktiskineietekmē spiesto un stieptoslāľu deformācijas un līdz ar to arīnormālspriegumus. Lielāks iespaidsbīdes spriegumiem ir šķēlumos, kuršķērsspēks mainās lēcienveidīgiatt. 8.16(balstos, koncentrētu spēku pielikšanasvietās). Att. 8.16b redzam, ka, šķēlumam zem spēka paliekot plakanam, bīdesdeformāciju izsauktie normālspriegumi samazina lieces momenta radītos normālspriegumusgan stieptajā, gan spiestajā zonā. Maksimālās normālspriegumu vērtības uz ārējāmvirsmām paliek nemainīgas.Precīzāki pētījumi rāda, ka plakano šķēlumu izliekšanās bīdes dēļ būtiski neietekmēgarendeformācijas kā koncentrēta, tā arī izkliedēta slogojuma gadījumos. Tātad šķērsliecesgadījumā visai pamatoti normālspriegumu noteikšanai var izmantot jau iepriekšiegūtās sakarības tīrai liecei (8.10) un (8.11).Piemērs 8.9. Noteikt to T veida profila plauktiľa platumu b, kurš nodrošina, ka maksimālaisstiepes spriegums sastāda 1/3 no maksimālā spiedes sprieguma. Sijas augstumsh = 10 cm, sieniľas un plauktiľa biezumi t = 2,5 cm.150Sy xcA, betS xh t 2 t h t h b t ; A bt h ttt2Atrisinājums. Uzdevuma nosacījumspar spriegumu attiecību1 izpildīsies gadījumā,ja šķērsgriezuma smaguma3centrs atradīsies attālumā h/4.Pēc definīcijas .Tātad atbilstoši uzdevuma nosacījumiem ir spēkā vienādojums:th2t2 t2 btb h t 4h .Atrisinot šo vienādojumu iegūstam2hb t .h 2tIespējams arī cits risinājuma variants.

8. LIECETā kā figūras smaguma centra C atrašanaās vieta ir zināma no uzdevuma nosacījumiem,tad, izmantojot īpašību, ka figūras statiskais moments pret centrālo asi ir vienādsar nulli, varam secināt, ka figūras augšējās daļas (virs x c ass) un figūras apakšējās daļas(zem x c ass) statiskajiem momentiem pret šo asi pēc absolūtās vērtības jābūt vienā-t h th tdiem. Tātad b t th tun līdz ar to b .2 2tTātad T profila plauktiľa platumam jābūt2210b 2,5 22, 5cm .10 2 2,5 Uzdevums 8.3. Noskaidrot kāda būs / attiecība, ja tiks liekta U veida sija ar attēlādotajiem izmēriem.8.8. Stiprības aprēķini liecē1. Stiprības pārbaudes aprēķins pēc normālspriegumiemLai nodrošinātu sijas stiprību nepieciešams, lai lielākie stiepes un spiedes spriegumisijas bīstamajā šķēlumā, tas ir šķēlumā ar maksimālo lieces momenta vērtību, nepārsniegtuatbilstošās pieļaujamo spriegumu vērtības.Trausliem materiāliem, kuru īpašības stiepē un spiedē būtiski atšķiras ([ sp ]/[ st ]35)ir lietderīgi lietot sijas ar nesimetriskiem pret neitrālo asi šķēlumiem. Šajos gadījumosjālieto divi stiprības nosacījumi:a) pēc lielākajiem stiepes spriegumiemMmaxhstMmaxmax st [ st],stI Wb) pēc lielākajiem spiedes spriegumiemkur:max spxMmaxhspMmax [ sp],spI Wxxxh st , h sp – maksimālie attālumi šķēlumā no neitrālās ass stieptās un spiestās zonasvirzienā;st spWx, Wx- stieptās un spiestās daļas pretestības momenti.Plastiskiem materiāliem, kuru īpašības stiepē un spiedē būtiski neatšķiras, parasti lietosijas ar simetriskiem pret neitrālo asi šķēlumiem un šajā gadījumā ir jāpārbauda tikaiviens stiprības nosacījums:Mmaxmax [ ].W x151

8. LIECE2. Dimensionēšanas aprēķins.Lai noteiktu nepieciešamos sijas šķērsgriezuma izmērus izmanto sakarību (trausliemmateriāliem divas sakarības):MmaxW x .[ ]Pie zināmas materiāla izvēles ( ) stiprība būs nodrošināta sijām, kuru ģeometriskieizmēri atbilst vērtībai Wx. Ir iespējamas daţādas materiālu, šķērsgriezuma izmēru unto formu kombinācijas.3. Pieļaujamās slodzes noteikšanas aprēķins.Pieļaujamais lieces moments nosakāms no sakarības:[ M ] W [ ] .xŠis kritērijs, pie zināmām materiāla un šķērsgriezuma īpašībām, dod iespēju piemeklētto ārējo slodţu izvietojuma shēmu un vērtības, kuru izraisītā maksimālā lieces momentavērtība nepārsniedz pieļaujamo vērtību M .Piemērs 8.10. Noteikt nepieciešamo lieces pretestības momentu attēlā dotajai sijai, ja q= 60 kN/m, bet materiāla pieļaujamais spriegums [] = 110 MPa, neievērojot sijas pašsvaru.Piemeklēt no sortimentu tabulas dubult-T profila siju, ľemot vērā sijas pašsvaru.Atrisinājums. Balstu reakcijas ir V A = 169,5 kN, V B = 154,5 kN. Lai noteiktu šķēlumu,kurā ir max lieces moments, lietderīgi uzkonstruēt šķērsspēka epīru.nosaka sakarībaMW max, Koordināti z 0 šķēlumam, kurā šķērsspēks irnulle un lieces momentam ir ekstremāla vērtība,nosaka no sakarībasV A – qz = 0.Iegūstam vērtību z 0 = V A /q = 2,82 m. Šaiattālumā no balsta A lieces momentam irmax vērtība un tā irqz0Mmax VA z 239kN m 0.2Nepieciešamo pretestības momentu lieceikurā ievietojot uzdevuma noteikumiem atbilstošās skaitliskās vērtības , iegūstam3239kNm239 10N mW 6 2110MPa110 10N / m 2,17 103m323 2170cm.152

8. LIECEPēc sortimenta tabulām atrodam, kavieglākais dubult-T profils ar nepieciešamopretestības momentu ir Nr.60. Šī profila sijas pašsvars ir 1,08kN/m. Pievienojot to sijas slodzei,iegūstam attēlā redzamo sijas slogojumashēmu. Veicot analogus aprēķinus kā iepriekšējā slogojuma gadījumā, nonākampie rezultāta, ka max lieces moments palielinājies līdz 244,7 kNm. Līdz ar to nepieciešamaispretestības moments liecei palielināsies uz3244.7 10Nm3W 2225 cm .611010PaPar cik izvēlētā profila Nr. 60 pretestības moments liecē ir 2560 cm 3 (sk. tabulā), tadsija kopējo slodzi iztur un paaugstināt profila Nr. nevajag. Pretējā gadījumā vajadzētuizvēlēties jaunu profila numuru un aprēķinu atkārtot.Piemērs 8.11. Kvadrātveida sija tiek liektaplaknē, kurā atrodas kvadrāta diagonāle. Parādīt,kā samazinās max normālspriegumi, jatiek nozāģēti zīmējumā iesvītrotie stūri.Atrisinājums. Pilnā kvadrātveida šķēlumainerces moments un pretestības momentsmoments pret x asi ir4a2a3I1 ; W1 .1212Nozāģējot stūrus katras malas garums samazināspar ka (k patvaļīgs skaitlis no 0 līdz 1).Jaunā šķērsgriezuma laukums sastāv no kvadrātaar malu garumu a(1-k) un diviem paralelogramiem BB 1 CC 1 un CC 1 DD 1 . Šāda samazinātalaukuma inerces moments pret asi x ir:I2a443 4 31 k 2ka2 21 ka 1 k 1 3k12bet lieces pretestības momentsW2I22a 1k2a33221 k 1 3k12Maksimālā inerces momenta I 2 vērtība būs gadījumā, ja k = 1/9. Ievietojot šo vērtībuW 2 izteiksmē, iegūstam W max = 1,053W 1 . Esam ieguvuši, ka nozāģējot stūrus liecespretestības moments ir palielinājies par 5%. tātad par 5 % samazinās maksimālie normālspriegumi.Šādu rezultātu viegli izprast ľemot vērā, ka pretestības moments ir inercesmomenta dalījums ar šķērsgriezuma augstuma pusi. Nozāģējot stūrus inerces momentsrelatīvi mazāk samazinājās par šķēluma augstumu un līdz ar to tiešām pretestī-12153

8. LIECEbas moments pieaug.Piemērs 8.12. Atrast to trapeces formu, kura nodrošina sijas vienlaicīgu stiprības zu- 1 , 5 .dumu stiepē un spiedē, ja zinām, ka materiāla WW 1,5 .Atrisinājums. Tā kā WMtad jāizpildās nosacījumam W W .Tātad iegūstam sakarību W1, 5W, bet WM ,un līdz ar to vienādas lieces stiprības nosacījumustiepē un spiedēTā kā pretestības momenti W + un W - atšķiras ar to cik liels ir attālums no šķēluma neitrālāsass līdz sijas maksimāli stieptajai un spiestajai šķiedrai, tad uzdevums reducējasuz tādu trapeces šķēluma atrašanu, kura smaguma centrs atrastos no stieptās un spiestāsšķiedras attālumosy 1 , 5y Ja pieľemam, ka trapeces apakšējais pamats ir stiepts, tadTā kāh b 2/ b1y yc 1 .3 1b2/ b1y y h , tad h 2,5yun no sakarības2,5h b 2/ b1h 1 jānosaka trapeces pamatu attiecība3 1b2/ bb /b . 2 11 Šī attiecība b b 1/ 4 .2/ 1Tātad sija spiedē un stiepē sabruks vienlaicīgi, ja sijas šķērsgriezumu veidos trapece arpamatu attiecību viens pret četri, bet trapeces augstumu noteiks pieļaujamo spriegumuvērtības un ārējās slodzes izraisītais maksimālais lieces moments.Piemērs 8.13. Noteikt aksiālos pretestības momentussijai ar šķērsgriezumiem a un b un noteikt, kura novietojumagadījumā sija iztur lielāku lieces slodzi.154

8. LIECEAtrisinājums.a. variants. Koordinātu asis x, y ir figūras centrālāsasis. Šajās asīs kvadrāta ar malas garumiem 3g inercesmoments ir:I kvx43g 4 6,75g.12Analogi kvadrāta (tukšā) ar malu garumu g, inercesmoments attiecībā pret kvadrāta centrālo asi x 1 ir4g4I x 1 0, 08g.12Attiecībā pret x asi šīs figūras inerces momenta vērtību nosakām izmantojot asu pārbīdessakarību I22x Ix1 a A un ľemot vērā, ka a g, A g .Tātad kvadrāta ar smaguma centru punktā C 1 inerces moments attiecībā pret dotās figūrascentrālo asi ir4 2 24I1 x 0,08g g g 1,08g.Ľemot vērā, ka šādu „tukšo‖ kvadrātu skaits ir 4, un tie visi atrodas vienādā attālumāno centrālās ass x, nosakām dotās figūras inerces momentu, izmantojot sakarību( a)IxIkvx 4I1x .Rezultātā iegūstam a.variantā izvietotās figūras inerces momentu attiecībā pret tās centrāloasi( )444I ax 6,75g 41,08g 2,43g.Saskaľā ar definīciju, dotās figūras pretestības momentu nosaka sakarībaWI2,43g4( a)x3x 1,62g.ymax1,5 gb. variants. Koordinātu asis x α , y α ir figūras centrālās asis.Dotās figūras pretestības momentu pret šīm asīm varamnoteikt rīkojoties analogi kā iepriekšējā variantā, t.i., nosakotlielā kvadrāta ar malas garumu 2 2ginerces momentuun atsevišķo „tukšo‖ trīsstūru inerces momentus. Iesakāmlasītājam veikt šādu aprēķinu un iegūt pretestībasmomenta vērtību dotajai figūrai pret asi x α . Tomēr šādsaprēķins būs visai darbietilpīgs un neracionāls.Tā kā b variants ir a varianta speciāls gadījums, kad koordinātuasis ir pagrieztas par leľķi α = 45 0 , varam izmantotasu pagriešanas sakarības figūras inerces momenta noteikšanai pagrieztajās asīs. Saskaľāar sakarību (6.15) un ľemot vērā, ka I I , bet I 0 (asis x un y ir figūrassimetrijas asis), iegūstamxyxy155

8. LIECEI Icos45 Isin45 I2 02 0x xxx.Tātad figūras inerces momenti pret asīm x un x α ir vienādi, bet atšķirīgi ir šķēluma attālākāpunkta attālumi līdz atbilstošajām centrālajām asīm. Otrā varianta gadījumā2 2ymax g 1, 41g.2Līdz ar toWxIx2,43g 1,41g1,41g41,72g3Esam konstatējuši, ka otrā varianta gadījumā aksiālais pretestības moments ir 1,06 reizeslielāks par aksiālo pretestības momentu pirmajā variantā. Tātad varam izdarīt secinājumu,ka attiecībā uz normālspriegumiem izdevīgāks ir otrā veida liektas sijas novietojumavariants, jo šai gadījumā 1,06 reizes samazinās maksimālā normālspriegumavērtība, vai arī otrā veida sija nes slodzi, kura veido 1,06 reizes lielāku maksimālo liecesmomentu vērtību.4. Stiprības pārbaude uz bīdes spriegumiemTomēr šķērsās lieces gadījumā, kad sijā veidojas iekšējās piepūles M un Q, sijas stiprībasnovērtēšanai nepietiek ar stiprības pārbaudi pēc maksimāliem normālspriegumiemmax , bet nepieciešams veikt arī sijas materiāla stiprības pārbaudi uz bīdesspriegumiem:156maxQSIbmaxmax(8.21)Taisnstūra veida sijas gadījumā sijas platums b ir konstants. bet Smaxir augšējās (vaiapakšējās) sijas šķēluma daļas statiskais moments pret neitrālo asi x C . Cita veidašķērsgriezumu gadījumos atšķelto daļu formas var būtkur S atšķ ir virs (vai arī zem) līmes kārtas izvietotās figūras statiskais moments pret neiatt.8.17atšķirīgas un tādā gadījumāS noteikšanai vēlamsmaxizvēlēties ērtāko. Parametra b vērtība šais gadījumosatbilst neitrālās ass līmenim.Līdzīgu bīdes stiprības pārbaudes sakarību iegūstamjebkuram patvaļīgi fiksētam sijas slānim. Bieţi vien tasnepieciešams līmētas struktūras sijām, kurām jānovērtēlīmes kārtas izturība konkrēta slogojuma gadījumos.Tā, piemēram, taisnstūra šķērsgriezuma sijai, kura veidotano diviem salīmētiem slāľiem (att. 8.17) bīdesspriegumus līmes kārtā nosaka sakarībaQSmax atšķlim ,Iblim

8. LIECEtrālo asi x c . Konkrētajā gadījumāS atšķ h1 h2 bh2 2h22h2h1 b .2Jāľem vērā, ka gadījumā, ja līmes kārtas platums atšķiras no sijas platuma b, tad τ līmsakarībā jāizmanto līmes kārtas platums b līm . Līmētās šuves izturību raksturo normēts(uzdots) parametrs [τ līm ] ar kuru tad arī jāsalīdzina noteiktā bīdes sprieguma τ līm vērtība.Sakarības (8.10) un (8.18) dod iespēju noteikt normālspriegumus σ z sijas ass virzienāun tangenciālos (bīdes) spriegumus τ yz jebkurā sijas punktā, ja zināmas lieces momentuun šķērsspēku epīras. Kā jau iepriekš konstatējām, maksimālās normālspriegumu vērtībasveidojas uz sijas augšējās un apakšējās virsmas, bet tangenciālo spriegumu maksimālāsvērtības parasti uz neitrālās ass. Nosakot sijas izmērus, kuri nodrošina sijas izturību,parasti izmanto tieši šīs ekstremālās spriegumu vērtības.Tomēr eksistē gadījumi, kuros ir nepieciešama detalizētāka sijas spriegumstāvokļa analīze.Jebkurā punktā, kurš atrodas starp sijas neitrālo asi un ārējo virsmu, veidojas divuspriegumu σ z un τ yz vienlaicīga iedarbība. Kā jau tika parādīts, šo spriegumu vērtībaspa sijas augstumu mainās.Izmantojot asu pagriešanas formulas (skat. 11. nodaļu) varam noteikt to asu orientāciju,kurā uz elementārlaukumiľa skaldnēm darbojas tikai normālspriegumi. Šos spriegumussauc par galvenajiem spriegumiem.Stiprības pārbaudē uz normālspriegumiem svarīgi zināt maksimālo normālspriegumuvērtību. Viendabīgas taisnstūra škērsgriezuma sijas gadījumā, maksimālā normālspriegumavērtība būs tā, kura atbilstoši sakarībai (8.11) veidojas uz sijas ārējām virsmām,bet gadījumos, kad škērsgriezuma forma ir atšķirīga, var veidoties situācija, ka maksimālānormālsprieguma vērtība tiek sasniegta no virsmām attālinātā punktā. Tā, piemēram,dubult-T veida profilam plauktu savienojuma vietās ar sieniľu var veidoties galvenāsprieguma vērtība, kura ir lielāka par sprieguma vērtību uz sijas virsmas.Tādēļ dimensionējot šādu siju jārēķinās ar reālo σ max vērtību. kura nav uz ārējām virsmām.Piemērs 8.14. Noteikt bīdes spriegumu sadalījumu dubult-T tipa sijā.Atrisinājums. Attēlā 8.18 dota šādas sijas šķērsgriezuma ģeometrija. Nošķeltās daļasstatiskais moments sieniľā izsakāms sekojošā veidā h h1h1h 2 hS b 2 2 2 2 h1h t yy 2 112 2 222 y b h h 11 22 24 4 t h 2 y 4Tātad bīdes spriegumus sijas vertikālajā sieniľā nosaka sakarība2 22Q b h h 1 t h12 y,It 2 4 4 2 4 ja y mainās intervālā (-h 1 /2, h 1 /2). .157

8. LIECESvarīgi ľemt vērā, ka S ir atšķeltās daļas statiskais moments pret visas figūras neitrāatt.8.18Spriegumu ekstremālās vērtības sieniľānosaka izmantojot nosacījumus z 1 = 0 unz 1 = h 1 /2. Tā rezultātā iegūstam22Qbh h 1 t max 1 1 ;8It h b 22Qbh h 1 min 1 .8It h Parasti sieniľas biezums t ir ļoti mazs salīdzinot ar plauktiľa platumu b. Tādēļ nošķeltāsdaļas statiskais moments sieniľā mainās maz un starpība starp max un min ir visainiecīga un praktiski bīdes spriegumi sieniľā pa augstumu izkliedēti vienmērīgi. Praktiskivisu šķērsspēku Q uzľem sieniľa un tuvināti var pieľemt, ka max bīdes spriegumssijā ir vienāds Q / ht .Bīdes spriegumu sadalījums plauktiľos atbilstoši izteiksmei (8.18) parādīts att. 8.18b.Tomēr šeit nav ľemts vērā, ka bīdes spriegumi plauktiľos sadalās nevienmērīgi un tonoteikšana prasa papildus hipotēţu izmantošanu. Tiešām apakšējā plauktiľa virsējāmalā bīdes spriegumi ir nulle, izľemot posmu, kur plauktiľš saskaras ar sieniľu. Šaiposmā bīdes spriegumi ir vienādi ar min sieniľā.Piemērs 8.15. Noteikt, kurā no sijas novietojumiem a vai b veidā tā izturēs lielākumaksimālā lieces momenta vērtību un kāda šai gadījumā ir bīdes spriegumu epīra.Atrisinājums. Ľemot vērā, ka pieļaujamā lieces momentavērtību nosaka sakarība [M] =W [σ], varam konstatēt,ka lielāku ārējās slodzes izraisīto momenta vērtību pieļaujtāds šķērsgriezuma novietojums, kuram atbilst lielākapretestības momenta vērtība. Saskaľā ar piemērā 8.13 iegūtajiem rezultātiem varamsecināt, ka šāds novietojums ir variants b. Tātad otrā (b) veida sijas novietojuma gadījumāmaksimālo normālspriegumu vērtība pie nemainīgas lieces slodzes ir 1,06 reizesmazāka par normālspriegumiem pirmā veida sijas novietojumam attiecībā pret neitrāloplakni, t.i., izdevīgāks ir otrā veida sijas novietojums.Lai uzkonstruētu bīdes spriegumu epīru sijas šķēlumam, kurā darbojas Q max , izmantojamsakarību158Q / I S/ b ,maxkur pirmais reizinātājs ir konstants lielums abiem sijas novietojuma variantiem, betotrais mainās pa sijas augstumu visai atšķirīgā veidā.

8. LIECElo asi, bet b ir figūras platums attiecīgajā šķēlumā. Tā, piemēram, figūras a gadījumā,nosakot bīdes spriegumu šķēlumā I – I , jānosaka atšķeltās (iesvītrotās) daļas statiskaismoments pret centrālo asi x c . Šķēlums I – I atrodas attālumā y no ass x c , pie kam y varmainīties robeţās no g/2 līdz 3g/2. Šķēluma platums šajās robeţās nemainās. Tas irvienāds ar g.Ar šķēlumu I – I atšķeltās augšējās daļas statisko momentu nosaka sakarība:1,5 g y2g2 ,5g y 1,5g2 2S I x c g 1 y .Ar šķēlumam II –II atšķeltās daļas statisko momentu pret x c asi veido summu, kuraspirmais saskaitāmais ir daļas abcd statiskais moments pret šo asi (un tas ir23g g g ), bet otrais saskaitāmais ir taisnstūra, kuru veido šķēlums II – II un šķēlumsad statiskais moments. Otrais saskaitāmais tātad ir0,5g y2 20,5g y 3g0,25g 3g y .2Līdz ar to ar šķēlumu II – II nošķeltās daļas statiskais moments pret asi x c irS IIx c32 2 g 3g0,25g y .Izmantojot iegūtās sakarībasredzama attēlā:a)ISx cunIISx ctiek konstruēta bīdes sprieguma epīra, kura Qg 21I;2' g Q2 Q1 0. 333g;3 I I27g Q2 Q2 0, 583g.12 I IAnalogā veidā konstruēta bīdes sprieguma epīra otrā sijas šķērsgriezuma novietojumagadījumā (b). Attiecīgā epīra parādīta attēlā:159

8. LIECEb)2g Q2 Q1 0. 333g;3 I IQ2 1, 08g 2 .I(a) (b)Salīdzinot epīras un varam konstatēt, ka maksimālais bīdes spriegums tiek( b)2 Qsasniegts otrās shēmas gadījumā un max 1, 08gšķēluma vidusplaknē. Jāatzīmē,Ika pirmās shēmas gadījumā maksimālā bīdes sprieguma vērtība tikai par 8 % atšķiras( b)no , bet darbojas citā šķēluma plaknē.maxBīdes spriegumu analīzei ir liela nozīme līmētu siju nestspējas noteikšanā.Piemērs 8.16. Noteikt normāl un bīdes spriegumus ūdens aizsprostu veidojošās vertikālās6 m garās koka blankās (att. 8.19a). Blanku biezums h 12cm, bet to platums3b 20cm , ūdens īpatnējais svars - 10kN/m .ūdatt. 8.19Atrisinājums. Ūdens spiediens attālumā x1no ūdens virsmas p x ūd 1, maksimālaispie x1 l vienāds ar p ūdl. Tā kā visas blankas atrodas vienādos apstākļos, pietiks,ja aprēķinu veiksim vienai. Aprēķina shēma vienai blankai ar platumu b 20cmbrīvi balstītas sijas veidā dota att. 8.17b. Maksimālā lineāri mainīgās izkliedētās slodzesvērtība ir q bl . Kopspēks H no trīsstūrveida izkliedētās slodzes pieliktsmaxūd160

8. LIECEtās smaguma centrā attālumā2x1 l un skaitliski vienāds ar trīsstūrveida slodzes epī-3ras laukumuH122 būdl.Balstu reakcijas iegūstam sastādot momentu līdzsvara vienādojumus pret balstiem Aun B:MM2 H l HBl 03A;1 H l HAl 03B;HH132B būdl;162A būdl.Šķērsspēka lielumu šķēlumā 1-1 nosaka sakarība ( Q11epīra att. 8.17c):Q H2 21 2 b ūdl1 x1 b ūdx1 ; 0 x 1 l .2 2 3 l 11A2No nosacījuma Q11 0 iegūstam x1vērtību, pie kuras lieces momentam ir ekstremālavērtība2lx10 3, 46m. Lieces momenta vērtību šķēlumā 1-1 nosaka sakarība:3M122ūd 1 211 HAx1 būdx1 x1 l 22 bx2 x1; 0 x 1 l ,3 6lno kurās pie x10 iegūstam maksimālo lieces momenta vērtību M3max3būdl .18 3Ľemot vērā, ka taisnstūrveida šķērsgriezumam pretestības moments iegūstams atbilstošisakarībai W , maksimālais normālspriegums vienāds ar2bh6maxM 3max l ūd 3464kPa 3, MPaW 3 3h4642un maksimālais bīdes spriegums arQ 2maxbl 1,5 1,5ūd 1500kPa1, MPaA 3bh5max .Salīdzinot iegūtās spriegumu vērtības ,piemēram, ar pieļaujamajiem spriegumiem prie- 6,99,8MPa ; 7,8 MPa ), redzam, ka pieļaujamāsdes kokam (spiedē spriegumu vērtības nav pārsniegtas.161

8. LIECE2bhW 6Iegūstam maksimālās normālo un bīdes spriegumu vērtībasM 6Pa max ; 2 max W bh2A2 bhPiemērs 8.17. Noteikt zīmējumā dotajai taisnstūrveidašķēluma sijai ar izmēriem b=10 cm,h=15 cm pieļaujamās slodzes P lielumu, ja pieļaujamiespriegumi [] = 11 MPa, [] = 1,5MPa.Atrisinājums. Maksimālo lieces momentu unšķērsspēku nosaka sakarības M=Pa; Q=P.Ľemot vērā, ka3Q3P ., A bh .Pielietojot stiprības nosacījumus liektai sijai uz normāliem un bīdes spriegumiem, iegūstamdivas iespējamās pieļaujamās slodzes P vērtības2 bh2 bhP ; P .6a3Izmantojot uzdevuma nosacījumos dotās parametru vērtības, iegūstam[P ] = 8,25 kN [P ] = 15 kN.Uz iegūto rezultātu pamata varam secināt, ka dotajai sijai liecē pieļaujamās koncentrētāsslodzes P lielumu limitē normālspriegumi un šī slodze nedrīkst pārsniegt P = 8,25 kN.8.9. Sijas izlieces, sijas liektās ass diferenciālvienādojumsVeicot sijas aprēķinus inţenierus interesē ne tikai ārējās slodzes izraisītais spriegumstāvoklis,bet arī tās radītie pārvietojumi. Sijas normālai ekspluatācijai nepieciešams,lai tās maksimālā izliece nepārsniegtu limitētu (normās noteiktu) vērtību, kura ir mazasalīdzinot ar sijas laidumu. Parasti sijas maksimālās izlieces f attiecība pret sijas laidumul sastādafl1 20011000.Ārējās slodzes darbības rezultātā taisna sija izliecas un tās centrālā ass iegūst līklīnijasformu. Šo līkni sauc par sijas liekto asi (att. 8.20). Sakarība (8.9) dod iespēju noteiktsijas liekumu tīrās lieces gadījumā (sijā darbojas tikai lieces moments).162

8. LIECEIzliektās sijas elementa starppunktiem m un m 1 garums irds. Gadījumā, ja leľķis, koveido pieskare punktā m arstieľa asi x ir apzīmēts ar θ, tadnormāles pret sijas asi punktosm un m 1 krustojas punktā O unveido leľķi dθ. Nogriezni Omatt. 8.20sauc par liekuma rādiusu, betpunktu O par liekuma centru.Starp lieces parametriem ds, dθ un un liekuma rādiusu ρ pastāv sakarībasds d un1 d.dsPraktiskos pielietojumos tiek pieļautas tikai ļoti mazas izlieces, un līdz ar to nebūtiskizaudējot precizitāti, varam izmantot tuvinājumusdyds dz, tg . (8.22)dzLīdz ar to pieľemtā tuvinājuma ietvaros iegūstam sakarību21 d y . (8.23)2 dzIzmantojot sakarību (8.9), iegūstam2d yEI M . (8.24)2dzŠis ir sijas liektās ass diferenciālvienādojums, kura atrisinājums nosaka sijas izlieces y.Pietiekami lokanu stieľu gadījumos, kuru izliekumi var būt visai lieli, nedrīkst izmantotsakarības (8.22), bet jālieto precīzā sakarībaTādā gadījumā dy arctg . dz dy darctg 1 d dz dz ds dz ds2d y2dz2 dy 1 dz 3(8.25)Salīdzinot precīzo sakarību (8.25) un tuvināto (8.23), konstatējam, ka tās atšķiras arizteiksmidydz2formulā (8.25). Tātad veiktais tuvinājums reducējas uz pieľēmumu,163

8. LIECE dy ka ir mazs salīdzinājumā ar vieninieku un to var neľemt vērā. dz 1642Diferencējot sakarību (8.24) pēc z un izmantojot sakarībasdQ q , iegūs-dztam vienādojumusdMdz Q,34d yd yEI Q,EI q34dzdzsijas izlieču y noteikšanai. Vienādojumu atrisināšanai tiek lietotas lineāro diferenciālvienādojumurisināšanas metodes.Vienmērīgi izkliedētas slodzes radītās izliecesBrīvi balstītai sijai, kura slogota visā garumā ar vienmērīgi izkliedētu slodzi, liecesmomentu jebkurā šķēlumā attālumā z no kreisā balsta nosaka sakarība2qlz qzM .2 2Tādā gadījumā sijas liektās ass diferenciāvienādojums(8.24) iegūst formu22d y ql qzEI z .2dz 2 2Integrējot abas vienādojuma puses pēc z, iegūstamdyEIdzql z42qz63 C ,kur C ir pagaidām nezināma integrācijas konstante. Tās vērtība tiek noteikta no konkrētāuzdevuma nosacījumiem. Mūsu gadījumā varam konstatēt, ka pamatojoties uzslodzes simetriju, arī izlieces būs simetriskas un liektās ass pieskare sijas viduspunktāldybūs paralēla sijas asij. Tātad pie vērtības z ir spēkā nosacījums 0 . Līdz ar2dz3qlto, ievietojot šīs vērtības diferenciālvienādojumā, iegūstam, ka C , un vienādojumsiegūst24formu2 3 3dy qlz qz qlEI . (8.26)dz 4 6 24Integrējot šo vienādojumu, iegūstam funkcionālu sakarību3 4 3qlz qz qlEIy z C1,12 24 24kuras konstanti C 1 nosakām izmantojot nosacījumu, ka vertikālo pārvietojumu balstosnav un tātad, ja z = 0, tad y = 0 un līdz ar to arī C 1 = 0.

8. LIECETādā gadījumā esam nonākuši pie funkcionālas sakarības starp mainīgo koordināti z unsijas izlieci šai koordinātei atbilstošā šķēlumā:q 3 4 3y 2lz z l z .24EILielākais pārvietojums konkrētā slogojuma gadījumā (q=const visā sijas garumā) irsijas vidū. Ievietojot izteiksmē vērtību z l 2 , iegūstam, ka45 qlymax .384 EIMaksimālais liektās ass pieskares leľķis pret sākotnējo neslogoto stāvokli novērojamsbalstos. Ievietojot sakarībā (8.26) vērtību z = 0, iegūstam dy dz max3ql .24EIKoncentrēta spēka radītas izliecesVeiksim divbalstu sijas izlieču aprēķinu, jaslodze pielikta koncentrēta spēka veidā. Šaigadījumā ir divas atšķirīgas lieces momentuizteiksmes – izteiksme posmam pa kreisi nokoncentrētās slodzes pielikšanas vietas unposmam pa labi no P pielikšanas vietas.PbKreisajā sijas posmā lieces momentu nosaka sakarība M a z , bet labajā posmālPbM b z Pz a. Līdz ar to sijas liektās ass vienādojums jāsastāda katram nolšiem posmiem atsevišķi. Iegūstam divus diferewnciālvienādojumusdyEIdz22Pbz,lja 0 z a,(8.27)2dy PbEI z Pz a , ja a z l.2dz lIntegrējot šos divus vienādojumus, iegūstam četras integrācijas konstantes un to noteikšanaiizmantojam nosacījumus, ka šķēlumā, kurā z a , pārvietojumiem pēcabiem vienādojumiem ir jābūt vienādiem, pie kam arī izlieces līnijas pieskarēm šaipunktā jāsakrīt. Vēl divu konstanšu vērtības nosakām izmantojot nosacījumu, ka balstos,t.i. pie z 0,z l,izlieces ir vienādas ar nulli.Atrisinot vienādojumus (8.27), iegūstam divas izlieču noteikšanas izteiksmes:Posmā pa kreisi no spēka pielikšanas vietas izlieci nosaka sakarībayPbz6lEI2 2 2 l b z . (8.28)165

8. LIECEPosmam pa labi no spēka pielikšanas vietas -166Pbz 2 2 2 l3y l b z z a 6lEIbz . (8.29)Analoga rakstura sakarības iegūstam arī izliektās stieľa ass slīpuma leľķa noteikšanai:dydzdydzPb6lEI2 2 2 l b 3z, ja aPb l6lEI b 3zlb2 2 2 3z ; (8.30)2z a , ja z a . (8.31)Sijas maksimālā izliece būs punktā, kurā liektās ass pieskare ir vērsta horizontāli. Gadījumā,ja a > b, tad sijas maksimālā izliece būs kreisajā sijas daļā. Šī punkta stāvokli dy nosaka sakarība 0 : dz l 2 b2 3z2 0 .Tātad, gadījumā ja a b sijas maksimālā izliece būs šķēlumā ar koordināti2 23 l bz . (8.32)3Ievietojot šo koordinātes vērtību sakarībā (8.28), iegūstam maksimālo izlieces vērtību32 2Pb l b 3ymax . (8.33)27lEIGadījumā, ja a b , t.i. koncentrētā slodze pielikta sijas vidū, tad arī maksimālā izliecebūs sijas vidū un tās vērtība ir3Ply x l / 2 .48EIIzmantojot izteiksmi (8.30) varam konstatēt, ka neatkarīgi no spēka P novietojuma izliecesmaksimālā vērtība praktiski atrodas tuvu sijas vidum. Tiešām, gadījumā, jab 0, koordinātas z vērtība tiecas uz l . Tātad maksimālā izliece atrodas attālumā0,577 0,5 l 0, 077 l no sijas vidus. Līdz ar to izliece sijas vidū praktiski3vienāda ar maksimālo izlieci. Izliece sijas vidū ir2y x l / 2 3l 4Pb2b . (8.34)48EIStarpība starp izlieču vērtībām atbilstoši sakarībām (8.33) un (8.34) nelabvēlīgākajāgadījumā, t.i., kad b tiecas uz nulli, sastāda tikai 2,5 % no maksimālās izlieces vērtības.Tas nozīmē, ka visos slogojuma novietojuma gadījumos sijas maksimālo izlieci varidentificēt ar tās izlieci viduspunktā.Salīdzinot maksimālās izlieču vērtības ar izkliedētu slodzi un sijas vidū ar vienlīdz lielu

8. LIECEkoncentrētu spēku (P=gl) slogotām sijām, konstatējam, ka y max (q)=0.625y max (P). Tātadizkliedētas slodzes gadījumā sijas maksimālā izliece sastāda tikai 62,5% no maksimālāsizlieces, kas rodas slodzi savācot sijas vidū. Izkliedētas slodzes gadījumā arī spriegumiir divas reizes mazāki kā koncentrēta spēka gadījumā.Uzdevums 8.3. Noteikt ar koncentrētu spēku P = 8 kN slogotas sijas maksimālo izliecigadījumā, ja sija izgatavota no dubultT profila N 0 20 un spēka novietojuma parametri ira = 3,6 m, b = 2,4 m.Uzdevums 8.4. Kā izmainīsies maksimālā izliece, ja dubult-T profila metāla siju nomaināmar koka siju ar izmēriem 10 x 20 cm?Uzdevums 8.5. Noteikt konsoles gala pārvietojumu un pagrieziena leľķi, ja tā slogotabrīvajā galā ar spēkpāri m.8.10. Kompozītu siju lieceSija, kura izgatavota no vairākiem atšķirīgiem materiāliem, tiek saukta par kompozītusiju. Sijas šķērsgriezuma laukuma ģeometrija var būt patvaļīga, bet visparastākā tāforma ir taisnstūris, kuru sastāda atšķirīga (vai vienāda) biezuma slāľi ar atšķirīgāmdeformatīvajām (arī stiprības) īpašībām. Slāľi savā starpā sastiprināti tā, lai varētu uzskatītsiju par vienu veselu. Tādu siju piemēri ir bimetāliskas sijas, dzelzsbetona sijas,kā arī sijas pastiprinātas ar plānām ārējām kārtām.Kompozīto siju aprēķinosvar tikt izmantota liecesteorija, kuru pielietojāmviendabīgu siju gadījumā.Pieľemot tīrās lieces gadījumā(Q=0) plakano šķēlumuhipotēzi, lineārāsdeformācijas sijas ass virzienāsadalās pa šķērsgrie-att. 8.21zuma augstumu pēc lineāra likuma.Att. 8.21-a parādīts divu materiālu sijas šķērsgriezums, bet att. 8.21-b shematisks deformācijusadalījums.Gadījumos, kad sijas struktūra attiecībā pret vidusplakni nav simetriska (daţādi slāľubiezumi, atšķirīgas deformatīvās īpašības), sijas neitrālās plaknes stāvoklis nav zināms.Speciālā gadījumā, ja sijas šķērsgriezuma struktūra ir simetriska, neitrālā plakne sakrītar vidusplakni.Normālspriegumus katrā šķēluma punktā var iegūt pareizinot deformāciju šai punktā arattiecīgā slāľa elastības moduli. Ja pieľemam, ka att. 8.21 attēlotajai sijai E 2 > E 1 , tadspriegumu sadalījums pa augstumu redzams att. 8.21-c.Liekta elementa lineārās deformācijas lielums sijas ass virzienā ir atkarīgas no punktaattāluma y no neitrālās plaknes un nosakāms ar sakarību167

8. LIECEyz æy , (8.35)kur - elementa liekuma rādiuss, bet æ – liekums.Izmantojot sakarību (8.35), normālspriegumu sadalījums pa sijas augstumu nosakāmsatbilstoši sakarībām yz1 æE1 , z2 æE2y . (8.36)Neitrālās plaknes stāvokli var noteikt, izmantojot nosacījumu, ka lieces gadījumāsummārais ass spēks sijas asij perpendikulārā šķēlumā ir vienāds ar nulli.TātadA dA dA 0 . (8.37)1z1A2z2Izmantojot sakarības (8.36), iegūstamE ydA EydA 0 . (8.38)1A12A2Integrāļi ir attiecīgo laukumu statiskie momenti pret neitrālo plakni un sakarību (8.38)var izmantot neitrālās plaknes stāvokļa noteikšanai.Sijas lieces moments tīrajā liecē ir visu normālspriegumu izraisīto elementāro momentudM =σ x dA·z summa. Tātad ir spēkā sakarībasM æE ydA ydA ydA zz1z2AA1A2221 y dA æE2 y dA æE1I1 E2I2(8.39)AA12Šeit I 1 un I 2 – laukumu A 1 un A 2 inerces momenti pret neitrālo plakni. Ir spēkā sakarībaI = I 1 + I 2 , kur I - aksiālais inerces moments visam šķērsgriezuma laukumam A.Izmantojot sakarības (8.36) un (8.39), iegūstam sekojošas izteiksmes spriegumu aprēķināšanaisijā, kura liekta ar momentu M:yE1z1M , (8.40-a)E I E I1122yE2z2M . (8.40-b)E I E I1122Speciālā gadījumā, ja abu slāľu materiālu deformatīvās īpašības vienādas, ir spēkā sakarībasE 1 = E 2 = E un abu izteiksmju (8.40) vietā iegūstam jau zināmo sakarību yMxI.168

8. LIECEEE1A1ydA E1 S EPiemērs 8.18. Sija, kuras šķērsgriezuma izmēri dotizīmējumā, liekta ar momentu M = 3,5 kNm. Jānosakamax un min spriegumi abos materiālos, ja E 1 = 7 GPa,E 2 = 140 GPa.Atrisinājums. Vispirms jānosaka sijas šķērsšķēlumaneitrālās ass x C stāvoklis. Ievedam apzīmējumus h 1 unh 2 – attālumus no neitrālās ass līdz šķēluma ārējāmvirsmām. Tādā gadījumā sakarības (8.38) saskaitāmieizsakāmi sekojošā veidāh 6 672h 6812111X C 1,13h 0,5 112012, h 22 ydA E2 Sx C E218151.A2Ievietojot šīs izteiksmes sakarībā (8.38) un atrisinot iegūto vienādojumu6 h 112012,5 h 067211attiecībā pret nezināmo h 1 , iegūstam h 1 = 10,06 cm.Inerces momentus I 1 un I 2 pret neitrālo plakni var iegūt izmantojot teorēmu par asu paralēlopārbīdi:1 42 6 2732 ;3I1 812 812 10,06cm121 42 10,06 48 .I2 8118 12,5cm12Kopējais inerces moments sijaiI4 I1 I2 2780cm .Izmantojot sakarības (8.40-a) un (8.40-b) iegūstam sekojošus rezultātus:Materiālā 1 lielākie pēc absolūtās vērtības spiedes spriegumi iruz sijas ārējās virsmas (y=10,06 cm) un tie ir z1 = -9,5 MPa.Materiālu 1 un 2 saskares vietā (y=1,94 cm), atbilstoši sakarībai(8.40-a) pirmajā materiālā darbojas stiepes spriegumi z1 =1,85 MPa. Šai pašā saskares vietā (y vērtība tā pati) materiālā2 atbilstoši sakarībai (8.40–b) iegūstam stiepes spriegumu vērtību z2 = 37 MPa, bet uz materiāla 2 ārējās virsmas (y=-2,94cm) spriegums ir z2 = 56 MPa.Tātad kritiski var būt materiālā 1 spiedes spriegumi z1 = - 9,5MPa un stiepes spriegumi z1 = 1,85 MPa, bet materiālā 2 – stiepes spriegumi z2 = 56MPa. Sijas dimensionēšana jāveic atbilstoši šīm vērtībām. Normālspriegumu epīrakompozītajai sijai redzama attēlā.169

8. LIECE8.11. Reducētā šķēluma metodeŠī metode ir ērta no daţādiem materiāliem veidotu slāľainu siju šķēlumu reducēšanaiuz ekvivalentu viena materiāla siju. Iegūtais šķēlums tiek saukts par reducēto šķēlumuun tam var pielietot viendabīgas sijas lieces teoriju.Šķēlums būs ekvivalents dotās slāľainās sijas šķēlumam, ja tam būs tā pati neitrālā asskā dotajam un tāda pati pretestība lieces momentam.Noteiksim reducēto šķēlumu divslāľu sijas gadījumā. Izmantosim parametru, kurš raksturoabu materiālu elastības moduļu attiecību n = E 2 / E 1 . Tādā gadījumā sakarību(8.38 ) var pārrakstīt sekojošā formā: nydA AydA 0 . (8.41)A1 2No šīs sakarības izriet, ka neitrālās ass stāvoklis neizmainīsies, ja otrā materiāla katrselementārlaukums dA palielināsies n reizes tā, lai tā attālums no neitrālās ass nemainītos.Citiem vārdiem sakot, var uzskatīt, ka slānis 1 ir tāds kā iepriekš, bet slāľa 2 vietāir slānis ar n reizes lielāku platumu un pirmā slāľa deformatīvajām īpašībām. Tādā veidāir radīta sija, kuras šķērsgriezums ir ar slāľa 1 elastīgām īpašībām (elastības modulisE 1 ), bet izmainītu ģeometriju. Dotais šķērsšķēlums un reducētais attēloti att. 8.22.Reducētā šķēluma neitrālās ass stāvoklis sakrīt ar dotās šķēluma neitrālās ass stāvokli(tas izriet no sakarības (8.41)). Reducētā šķēluma spēja pretoties lieces momentam analogadotam šķēlumam.Spriegumus reducētā šķēlumā nosaka iepriekš iegūtā sakarība normālspriegumu atkarībaino lieces momenta, šķēluma inerces momenta un attāluma no neitrālās ass. Tātad irspēkā sakarībaM yz1 , (8.42)Ikur I red = I 1 + nI 2 - reducētā šķēlumainerces moments pret neitrāloasi.Sakarība (8.42) nosaka normālspriegumudotās sijas slānī 1.Normālspriegumus slānī 2 iegūstatt. 8.22ar sakarību (8.42) noteiktosspriegumus pareizinot ar n.Reducēto šķēlumu principu viegli vispārināt arī uz lielāku atšķirīgu materiālu slāľuskaitu. Tad reducētais šķēlums sastāvēs no vairākiem atšķirīga platuma slāľiem, kuruelastības moduļi būs n i reizes lielāki par kādu brīvi izvēlētu elastības moduļa vērtību E.redPiemērs 8.19. Noteikt spriegumus divslāľu sijā ar reducēto šķēluma metodi. Izejas datino iepriekšējā piemēra.Atrisinājums. Tātad šķēlumu, kurš attēlots att. 8.23a var aizstāt ar att. 8.234b attēlotošķēlumu.170

8. LIECEatt. 8.23Lai noteiktu šāda šķēluma neitrālās ass stāvokli, jānosaka attēlotās figūras (reducētāšķēluma) smaguma centra koordinātes. Izmantojot smaguma centra koordinātu izteiksmessaliktas struktūras figūrām (pret asi u) iegūstam812 6 160112,5h1 10,06cm 0, 1006m.8121601Reducētā šķēluma inerces moments pret galveno centrālo asi x irI red = 812 3 /12 + 812(4,06) 2 + 1601 3 /12 + 1160(2,44) 2 = 3698 cm 4 = 3,698 10 -5 m 4 .Spriegumu vērtības malējās šķiedrās un slāľu saskares vietā nosaka, izmantojot sakarību(8.40).Maksimālie spiedes spriegumi (uz augšējās virsmas) ir( )M y3500 0,1006 9,52MPa,6I 36,9810redbet maksimālie stiepes spriegumi (uz apakšējās virsmas) M y3500 0,0294 2,8MPa.6I 36,9810redSlāľu saskares vieta ir stiepta (tā atrodas zem neitrālās ass) un šis spriegums irM y12 3500 0,0194 12 1,85MPa.6I 36,9810redŠie iegūtie spriegumi būs spēkā dotai sijas daļai, kura izgatavota no materiāla 1. Sijasdaļai, kurā ir materiāls 2 (tā elastības modulis 20 reizes lielāks par pirmā materiālaelastības moduli) aprēķinātie spriegumi būs 20 reizes lielāki. Tātad dotajai sijai materiālusaskares vietā otrajā slānī būs spriegums II 1 2 20 1,8520 37MPa,bet uz stieptās šķiedras (sijas apakšējā virsma)( )( ) II 20 2,8 20 56MPa .Tātad izmantojot reducētā šķēluma metodi, iegūtie rezultāti sakrīt ar iepriekšējā piemērāiegūtajiem. Tie shematiski attēloti att. 8.23c.171

9. BĪDESlogojuma veidu, kad uz elementa virsmām darbojas tikai bīdes spriegumi, sauc partīro bīdi. Virsmas, kurās darbojas tikai bīdes spriegumi sauc par tīrās bīdes virsmām.Tīrās bīdes stāvoklī ir visi apaļa vērpta stieľa punkti. Praksē svarīgu vietu konstrukcijustiprības aprēķinos ieľem aprēķini ne tikai uz tīro bīdi, bet arī aprēķini pēc bīdes spriegumiemneatkarīgi no tā, vai tie darbojas tīrās bīdes plaknēs vai jebkurās citās plaknēs.Tādus aprēķinus sauc par bīdes vai cirpes aprēķiniem. Cirpes aprēķinu piemēri ir bultveida,metinājuma, kniedējuma un līmes savienojumu aprēķini. Prakse rāda, ka cirpesaprēķini, neskatoties uz virkni vienkāršojumu, ir pietiekami droši.9.1. Spriegumu stāvoklis tīrā bīdēSpeciālā plaknes spriegumu stāvokļa gadījumā, kad divi galvenie spriegumi ir pēc moduļavienādi, bet pēc virziena pretēji, t.i. viens no tiem ir spiedes, bet otrs stiepes spriegums,plaknēs, orientētās 45 0 leľķī pretgalveno asu virzieniem, izveidojastīrās bīdes stāvoklis. Attēlā 9.1. maksimālaisgalvenais spriegums (tas irstiepes spriegums) apzīmēts ar σ 1 ,bet otrs galvenais spriegums, kurš irnegatīvs, ar σ 3 , jo trešā galvenāsprieguma vērtība ir σ 2 = 0.att. 9.1Tā kā σ 1 = -σ 3 , tad saskaľā ar plakanāspriegumu stāvokļa sakarībāmiegūstam:σ α = σ 1 cos 2 α + σ 3 sin 2 α = σ 1 cos 2 α – σ 1 sin 2 α = σ 1 cos 2α α = 0,5(σ 1 - σ 3 ) sin 2α = 0,5(σ 1 - (-σ 1 )) sin 2α = σ 1 sin 2αŠais sakarībās ievietojot α = 45 0 (vai 135 0 ), iegūstam, kaσ 45 = σ 135 = 0, 45 = σ 1 , 135 = - σ 1 = σ 3 .Šāds spriegumu stāvoklis attēlots att. 9.1b.Tīrā bīde ir vienīgais plakanā spriegumstāvokļa gadījums, kad caur punktu var novilktdivas savstarpēji perpendikulāras plaknes, kurās nav normālspriegumu, bet bīdes spriegumiir maksimālie.Līdzās definīcijai:Tīrā bīde ir speciāls plakanā spriegumstāvokļa gadījums, kad galvenie spriegumi irvienādi pēc skaitliskās vērtības un pretēji pēc zīmes ,iespējama arī cita:par tīro bīdi sauc tādu plakano spriegumstāvokli, kad dota punkta apkārtnē iespējamsizveidot elementu, uz kura četrām malām būtu tikai savā starpā vienādi bīdes spriegumi.Pēdējo definīciju var uzskatīt par analizējamā spriegumstāvokļa – tīrās bīdes skaidrojumu.172

9. BĪDE9.2. Plānsieniľu caurules vērpe kā tīrās bīdes realizācijaIzmantojot šķēluma metodi, no atšķeltās daļas (att. 9.2) līdzsvara seko, ka jebkurā caurulesšķērsšķēlumā darbojas tikai viena iekšējā piepūle – vērpes moments M v skaitliskivienāds ar ārēji pielikto momentu. Caurulesšķērsšķēlumā rodas bīdes spriegumi, jotikai bīdes spriegumi rada momentu attiecībāpret caurules asi. Tā kā caurule ir plāna,tad visai pamatots ir pieľēmums, kabīdes spriegumi pa caurules sieniľas biezumuizkliedēti vienmērīgi. Visi punkti uzcaurules asij paralēlām taisnēm atrodasvienādos apstākļos. Līdz ar to visos caurulespunktos ir vienāds vienmērīgs spriegumustāvoklis.Pārliecināsimies, ka vērptas plānsieniľucaurules jebkura punkta spriegumstāvoklistiešām ir tīrā bīde.att. 9.2Ar diviem attālumā dz viens no otra savstarpējiparalēliem caurules asij perpendikulāriemšķēlumiem un diviem radiāliem šķēlumiem, starp kuriem ir leľķis dψ, izgrieţamno caurules sieniľas bezgala mazu elementu (att. 9.2b). Šāds elements atsevišķiattēlots att. 9.3a. Tā kā šis elements ir bezgala mazs, tad var pieľemt, ka tas ir taisnlenķaparalelepipeds ar malugarumiem dz, δ un (D/2)dψ.Šķērsšķēlumiem atbilstošajāsplaknēs darbojas bīdesspriegumi . Tiem atbilstiekšējo spēku pāris. Pieľemot,ka rodas tikai šie spriegumi,izgrieztais elementsatt. 9.3nebūs līdzsvarā. Tātad uzgarenšķēlumu plaknēm arījādarbojas bīdes spēkiem (spriegumi ’). Tie veido pāri, kuru moments līdzsvaro šķērsšķēlumumomentu (att. 9.3). Pārējās elementa plaknēs spriegumu nav, jo tās atbilstcaurules ārējai un iekšējai virsmām, kurām ārējā slodze nav pielikta. Tātad uz četrāmelementa virsmām darbojas tikai bīdes spriegumi tādā veidā atbilstot otrajai „tīrās bīdes’’definīcijai.Sastādām uz elementu darbojošos spēku līdzsvara vienādojumus, ľemot vērā, ka darbojasuz laukumu δ∙0,5D dψ, bet spriegumi ’ – uz laukumu δ dz, un attiecīgo spēkupleci ir dz un 0,5Ddψ:( δ0,5D dψ) dz = (’δdz0,5D) dψTātad = ’ un ir pierādīts bīdes spriegumu pāra likums.173

9. BĪDEAtt. 9.4. attēlots elements uz kura malām darbojastīrās bīdes spriegumi. Šo spriegumu ietekmē taisnstūraelements deformējas par paralelogramu.Tā kā mūs interesē elementa deformēšanās, nevis tāpārvietošanās, tad vienu no malām varam uzskatītpar nekustīgu. Bīdes deformācijas mērs ir sākotnējitaisnā leľķa izmaiľa. Šo leľķi apzīmē ar un saucpar bīdes leľķi. To mēra radiānos. Atkarībā no materiālaīpašībām zināmās robeţās starp bīdes defor-att. 9.4mācijām un bīdes spriegumiem pastāv lineāra sakarība– Huka likums bīdē: G .Bīdes modulis G ir materiāla konstante un raksturo materiāla stingrību bīdē. Tā dimensijasakrīt ar bīdes sprieguma dimensiju, t.i. Pa.Var pierādīt, ka izotropu materiālu gadījumā starp trim elastīgām konstantēm – elastībasmoduli E, Puasona koeficientu un bīdes moduli G – ir spēkā sakarība: EG 2 1 .Jau iepriekš konstatējām, ka Puasona koeficienta vērtības iespējamas robeţās0≤≤0,5. Tātad bīdes modulis G sastāda 0,33...0,5 no elastības moduļa E. Daudziemmetāliem un sakausējumiem G ≈ 0,4 E. Tēraudam G = 8∙104 MPa. Tā kā materiāluelastīgo konstanšu vērtības tiek noteiktas eksperimentāli, tad varam secināt, ka no neatkarīgiemeksperimentiem pietiek noteikt jebkuras divas no šīm konstantēm, bet trešovar izskaitļot ar augstāk uzrādītās sakarības palīdzību.9.3. Apaļa stieľa vērpes spriegumi un deformācijasMeklējot apaļa stieľa vērpes spriegumu un savērpes leľķa aprēķina formulas, izmantosimšādus pieľēmumus:1. stieľa šķērsgriezumi deformācijas laikā paliek plakani un perpendikulāri stieľaasij (Bernulli hipotēze);2. attālumi starp šķērsgriezumiem paliek nemainīgi;3. šķērsgriezumos novilktie rādiusi deformācijas laikā nesaliecas, t.i., pagrieţotiespaliek taisni.Teorija, kas balstās uz šiem pieľēmumiem, atbilst eksperimentiem, ko veic ar apaļiemstieľiem.Var saskatīt, ka vērpē atsevišķi stieľa elementi pakļaujas tīrās bīdes deformācijām. Patiešāmstieľa šķērsgriezuma punkts D (att. 9.5), kas pirms deformācijas atradās uz kādasveidules EF (tā novilkta attālumā no stieľa ass), pārvietojas stāvoklī D 1 .Stieľa elementiem, kas atrodas uz veidules EF, bīdi raksturo leľķis , kuru deformācijuniecīguma dēļ var uzskatīt par vienādu ar šī leľķa tangensu, t.i.174

9. BĪDEDD1 tgED .Visām daļiľām, kas atrodasattālumā no stieľaass, bīdes leľķis irviens un tas pats un tasvienāds ar leľķi starpveidules EF sākotnējostāvokli un nobīdīto stāvokliEF 1 . Elementiem,kuru attālums no stieľaass ir atšķirīgs, arī leľķa lielums ir cits. Vislielākovērtību bīdes leľķissasniedz uz ārējās virsmas,t.i., ja r . Šajāgadījumā bīdes leľķi, kas vienāds ar leľķi starp veidules AB sākotnējo stāvokli un nobīdītostāvokli AB 1 , apzīmē ar max .Saskaľā ar jau minētajiem pieľēmumiem šķērsgriezumu rādiusi deformācijas laikā nesaliecasun šķērsgriezumi paliek plakani, tāpēcFF BB1 1OF OBvaiOFFF BB1 BBOBTā ka atbilstoši zīmējumambettadr11.FF EF tg l tgBB1,1AB tgmax l tgmax ,l tg l tgmax,rvai (saīsinot ar l),tg tgmax.rLeľķi un max ir ļoti mazi, tāpēc leľķu tangensus var aizvietot ar leľķu lielumu (radiānos):175

9. BĪDE max.rKā redzams, bīdes leľķis ir tieši proporcionāls attālumam no stieľa ass. Ja = 0, arī=0; ja =r (uz ārējās virsmas), = max .Atsevišķu stieľa elementu bīdes deformāciju pavada bīdes spriegumu rašanās stieľašķērsgriezumos.Ja ir zināms relatīvās nobīdes lielums, izmantojot Huka likumu bīdē, var noteikt bīdesspriegumus jebkurā šķērsgriezuma punktā, kas atrodas attālumā no šķērsgriezumacentra: G G max.rTā kā G maxmax(maksimālais bīdes spriegums punktos, kuri visvairāk attālinātino centra), max. (9.1)rNo formulas izriet, ka spriegumi šķērsgriezumā mainās tieši proporcionāli aplūkojamāpunkta attālumam no šķērsgriezuma centra, citiem vārdiem, lineāri mainās pa rādiusagarumu. Tā kā vērpes laikā elementu bīde notiek pa aploču pieskarēm, tad bīdes spriegumavirziens kādā šķērsgriezuma punktā ir perpendikulārs attiecīgajam rādiusam.Spriegumu sadalījums pa rādiusa garumu šķērsgriezuma plaknē redzams att. 9.6.Spriegumi šķērsgriezumā sadalīti nepārtraukti, t.i., darbojas katra tā punktā.Tagad, kad esam noteikuši bīdes spriegumusadalījuma likumu stieľa šķērsgriezumā, varnosacīt arī šo spriegumu lielumu atkarībā novērpes momenta šķērsgriezumā. Jebkurā stieľašķērsgriezumā iekšējie spēki reducējas uzspēkpāri, kas darbojas šķērsgriezuma plaknē.Iekšējo bīdes spēku summāro momentu attiecībāpret stieľa asi sauc par vērpes momentu šajāšķērsgriezumā.Šķērsgriezuma laukuma A robeţās esošo elementārolaukumiľu apzīmēsim ar dA (att. 9.6).Elementārais iekšējais spēks, kas darbojas uzattālumā no stieľa ass novietoto laukumiľudA, ir dA. Šī spēka moments attiecībā pretstieľa asi vienāds ar dA.att. 9.6Pēc definīcijas visu elementāro iekšējo bīdesspēku momentu summa veido vērpes momentu Mv attiecīgajā šķērsgriezumā: dA M .AV176

9. BĪDEElementāro momentu dA summēšana attiecināma uz visiem elementārajiem laukumiľiem,kas veido šķērsgriezuma laukumu A.Saskaľā ar formulu (9.1) aizstājot arpirms integrāļa zīmes, iegūstamLielumuA max 2 dA rA2dAM V.rmaxun konstanto reizinātāju maxriznesot, ko iegūst, pa visu šķērsgriezuma laukumu summējot elementāru laukumiľureizinājumus ar šo laukumiľu attālumu no centra kvadrātiem, sauc par šķērsgriezumalaukuma polāro inerces momentu un apzīmē ar Ip:2I p dA.AŠo lielumu mēra vienībās, kas atbilst garuma mērvienību ceturtajai pakāpei (mm 4 , cm 4 , m 4 ).Izmantojot šo apzīmējumu, iegūstam maxrno kurienesI p M V,MrVmax . (9.2)IpIevērojot sakarību ratrodam, kaM I maxVp.Ar šo formulu apaļa stieľa vērpes gadījumā nosaka tangenciālā sprieguma lielumu jebkurāšķērsgriezuma punktā.Vislielāko vērtību spriegumi sasniedz punktos uz stieľa virsmas, t.i., no stieľa ass visvairākattālinātajos punktos.Formulu (9.2) var pārveidot šādi:MMV Vmax . (9.3) Ip Wpr177

9. BĪDEIpAttiecību Wpsauc par šķērsgriezuma laukuma polāro pretestības momentu. Tormēra vienībās, kas atbilst garuma mērvienību kubam (mm 3 , cm 3 , m 3 ).Meklēsim formulu savērpes leľķa noteikšanai. Atbilstoši att. 9.5 loks BB 1 aprēķināmsšādi:BB1 OB r .No taisnleľķa trīsstūra B 1 ABBB1 AB tg max lmax.Pielīdzinot abas izteiksmes vienu otrai, iegūstam sakarību starp stieľa savērpes leľķiun bīdes leľķi uz stieľa virsmas:r l max.No šīs sakarības izsakot un ievērojot, ka Giegūstaml l max max ,r r Gvai, izmantojot formulu (9.2),l MVr MVl . (9.4)r GI GILeľķis mērīts radiānos.ppPagrieziena leľķi pēc formulas (9.4) drīkst noteikt vienīgi stieľa posmam ar pastāvīgušķērsgriezumu, ja vērpes moments šī posma robeţās ir nemainīgs. Vispārīgā gadījumā,kad šķērsgriezuma izmēri un vērpes moments ir mainīgi lielumi, pie tam šo lielumuizmaiľas likums daţādos stieľa posmos ir daţāds, savērpes leľķi nosaka pēcformulasi1lipmaxnMVdz , (9.5)GIkuri — tā posma numurs, kura robeţās saglabājas vērpes momenta Mv un polārāinerces momenta I P izmaiľas likumi;n — šādu posmu skaits pa visu stieľa garumu;l i — katra posma garums.Ja stienim ir pakāpjveida šķērsgriezums un vērpes moments pa stieľa garumu maināsnevis nepārtraukti, bet lēcienveidā, no formulas (9.5) izrietnMVili . (9.6)GIi1piPosmus ierobeţo kā ārējo momentu pielikšanas vietas, tā arī vietas, kur mainās šķērsgriezumaizmēri.max178

10. SALIKTIE SLOGOJUMIIepriekš tika risināti uzdevumi, kuros stienis ieguva kādu no vienkāršākajiem deformācijuveidiem: vienasīgu stiepi vai spiedi, vērpi vai plakanu lieci. Prakse rāda, ka konstrukcijuelementi vienlaicīgi tiek pakļauti piepūļu kombinācijām, kuru rezultātā veidojassareţģīta kombinētu deformāciju aina. Kopľu stieľi reālās konstrukcijās (locīkla tosavienojumu vietās ir tikai pieľēmums) tiek ne tikai stiepti vai spiesti, bet arī liekti.Rāmju piepūļu aprēķinos parasti nonākam pie secinājuma, ka gan stati, gan rīģeļi tiekpakļauti vienlaicīgām ass spēka, lieces momenta un šķērsspēka iedarbībām.Izejas hipotēţu ietvaros (spēku darbības neatkarības princips lineāri deformējamu materiāluspriegumu diapazonā un mazi stieľu sistēmu pārvietojumi) ir spēkā apgalvojums,ka vienas iedarbes rezultāts ir neatkarīgs no otras iedarbes un līdz ar to rezultējošiespriegumi un deformācijas ir atsevišķo iedarbju rezultātu summa.10.1. Greizā lieceNormālspriegumu noteikšanai liecē tika izmantota sakarība (8.10). Tomēr jāľem vērā,ka šī sakarība attiecināma uz gadījumu, kad visas ārējās piepūles darbojas vienā nogalveno inerces momentu plaknēm, kura iet caur lieces centru (parasti šķēluma smagumacentru).Praksē nākas saskarties ar gadījumiem, kad spēku darbības plakne nesakrīt ne ar vienuno stieľa šķērsgriezuma simetrijas plaknēm. Eksperimenti rāda, ka stieľa izliektā assšai gadījumā neatradīsies spēku darbības plaknē un realizēsies tā saucamā greizā liece.Att. 10.1 parādīti daţi no greizās lieces iespējamiem gadījumiem.att. 10.1Iepazīsimies ar spriegumu un pārvietojumu noteikšanas metodiku, slogojot vienā galāiespīlētu taisnstūrveida šķērsgriezuma siju ar spēku P, kurš darbojas šķēluma plaknē unvērsts virzienā, kas veido leľķi α ar galveno asi Cy (att. 10.2).Sijas stiprības pārbaudei nepieciešams noteikt punktu, kurā veidojas maksimālais normālspriegums.Sadalām spēku P komponentēs P x un P y , kuras vērstas galveno inercesasu Cy un Cx virzienos.Spēka komponenšu vērtības nosaka sakarības:Px Psin;P Pcos.yAizvietojot ārēji pielikto spēku P ar tā komponentēm P x un P y , esam reducējuši greizāslieces slogojumu uz divām plakanām liecēm galvenajās inerces plaknēs. Summējotkatrā no šīm liecēm iegūtās spriegumu vai deformāciju vērtības, iegūstam attiecīgos179

10. SALIKTIE SLOGOJUMIrezultātus greizajā liecē.att. 10.2Noteiksim pilno normālspriegumu vērtību sijas plaknē, kura atrodas attālumā z no slodzespielikšanas plaknes, punktā E ar koordinātēm x E , y E . Spēku komponentes P x un P ypunktu E un D plaknē veido momentu komponentes180MMyx P z Pz sin ;x P z Pz cos .yLieces momenta M x (negatīvs atbilstoši pieľemtajam zīmju likumam sijas liecē) rezultātāpunktā E rodas spiedes spriegumi, kurus nosaka sakarībaMx yE.IxLīdzīgā veidā lieces moments M y punktā E arī izraisa spiedes spriegumu, un tā vērtībairMyIXyE.Tātad sijas punktā E veidojas spiedes spriegumsyE PzEcosxIxEsin .Iy Līdzīgā veidā varam noteikt arī normālspriegumu vērtību citos šķēluma punktos. Tā,piem., punktā D x y D, D normālspriegums veidojas kā summa no stiepes spriegumaMx yMDy xD(y D ir negatīvs) spiedes sprieguma (x D ir pozitīvs).IIxTātad summārais normālspriegums punktā D iryD PzDcosxIxDsin .Iy Spriegumu noteikšanas metodika sijas škērsgriezumā greizās lieces gadījumā tika ilustrētavienam konkrētam sijas nostiprinājuma un slogojuma gadījumam, bet tā ir vispā-y

10. SALIKTIE SLOGOJUMIrināma arī visiem citiem sijas balstīšanas gadījumiem pie patvaļīga slodzes izvietojuma.No sijas stiprības viedokļa svarīgi noteikt maksimālās spiedes un stiepes normālspriegumuvērtības. Konsolsijas gadījumā šīs vērtības būs sijas iespīlējuma plaknē (tātad,pie nosacīluma z = l) punktos K 1 un K 2 .Maksimālā stiepes spriegumu vērtība irK1hcosbsin6Pl cossin Pl , 2Ix2Iy bh h b bet maksimālā spiedes spriegumu vērtībaK26Pl cossin .bh h b Sijas stiprības nosacījumu, līdzīgi kā plakanajā liecē, nosaka sakarībakurāmax , (10.1) = | maxK 1|vai| |.K 2Piemērs 10.1. Noteikt, par cik atšķirasspēku P 1 vai P 2 graujošā vērtībasijai (sk. att.), ja šie spēki darbojasdaţādās plaknēs, kuras orientētas60° lenķi pret šķēluma vertikālo vaihorizontālo simetrijas plakni. Materiālapieļaujamais normālspriegums 12MPa.ir Atrisinājums. Maksimālās normālspriegumuvērtības veidosies sijas iespīlējuma plaknē punktos K 1 un K 2 .Pirmajā slogojuma gadījumā, kad spēka darbības plakne ar vertikālo plakni veido60° lenķi, izmantojot iepriekš iegūtās sakarības, iegūstam: 6P12 cos60 sin60 3max K 2,15 10 P1 K 210,4 0,1 0,1 0,4. Tā kā no stiprības viedokļa jāizpildās nosacījumam:332,15 10 P 1210KPa ,1tad sijas stiprība attiecībā uz normālspriegumiem tiks nodrošināta gadījumā, jaP 15, 58kN .Gadījumā, ja sija tiek slogota ar spēku P 2 , kura darbības plakne veido 60° lenķi arhorizontālo plakni, t.i., ar vertikālo plakni veido 30° lenķi, iegūstam, ka181

10. SALIKTIE SLOGOJUMI 2 P .3max ,973102Tātad, saskaľā ar stiprības nosacījumu pieliktais spēks P 2 nedrīkst pārsniegt vērtībuP 24, 04kN .Esam konstatējuši, ka otrā veida slogojums no stiprības viedokļa attiecībā uz normālspriegumiemir bīstamāks. Robeţslodţu vērtības konkrētajos slogojumu gadījumos atšķiraspar 1,54 kN.10.2. Ekscentriskā spiedeNoskaidrosim kā sadalās spriegumi kolonnā, kura ir slogota ar koncentrētu spēku punktāK, kurš nesakrīt ar šķēluma smaguma centru C (att. 10.3a). Slodzes pielikšanaspunkta K koordinātes ir x k un y k . Vienlaicīgi šīs koordinātes ir arī spēka P pielikšanaspunkta ekscentrisitātes pret y un x asīm e y un e x .att. 10.3Lai noteiktu spriegumus jebkurā patvaļīgi izvēlētā punktā B(x,y), papildinām doto slogojumashēmu ar šķēluma smagumcentrā C kolonnas ass virzienā pieliktiem diviempretēji vērstiem spēkiem P (att. 10.3b). Tādā gadījumā kolonnas šķēlums ir noslogotsdivos neatkarīgos veidos: ar spiedes spēku P šķērsgriezuma smagumcentrā un spēkpā-2 2ri M Pa ar plecu a x k y k.Spiedes spēka darbības rezultātā kolonnas šķērsgriezumā rodas konstanti spiedesspriegumiP . (10.2)ASpēkpāris rada lieces momentus. Tā kā spēkpāra darbības plakne nesakrīt ar šķēlumagalvenajām asīm, veidojas greizā liece, kuras lieces momentu komponentes pret x un yasīm nosaka sakarībasMx P e ; M P e . (10.3)xLīdz ar to patvaļīgā punktā B veidojas spriegumiyy182

10. SALIKTIE SLOGOJUMIM IxxMy y; x . (10.4)Iy'' '''Spriegumu un vērtības var būt kā negatīvas tā arī pozitīvas (atkarībā no koordinātux un y zīmes). Rezultējošais spriegums brīvi izvēlētā punktā veidojas kā spriegumusumma no centriskās spiedes un greizās liecesP M Mxy x,y y x . (10.5)A I IxyIevietojot momentu vērtības atbilstoši sakarībām (10.3), iegūstam pārveidotu izteiksmiP P e y P e x P A A .x yx,y 1e y e xA I I A xyxy IxIy I Ix 2 y 2Izmantojot apzīmējumus ixun iy, kur i x un i y ir šķēluma inerces rādiusi,A Aiegūstam sakarību spriegumu noteikšanai patvaļīgā ekscentriski spiesta stieľa punktā:P e x e y (10.6)y xx,y 1 2 2A iyixSvarīgi ľemt vērā, ka parametri e x un e y nosaka ekscentriskās slodzes pielikšanas vietuun to vētības jālieto ľemot vērā to zīmes izvēlētajā koordinātu sistēmā.Ekscentriskās spiedes gadījumā normālspriegumi var būt gan negatīvi (spiede), ganpozitīvi (stiepe), gan arī nulle. Pielīdzinot izteiksmi (10.6) nullei, iegūstam vienādojumutaisnei, kas atdala šķēluma spiesto unstiepto daļu:eey x1x y 2 2iyix0 . (10.7)Vienādojums (10.7) nosaka taisni, kura neietcaur koordinātu sākumpunktu un vispārīgā gadījumāvar atrasties ārpus stieľa šķērsgriezumarobeţām (šajā gadījumā šķēlumā būs tikai spiedesspriegumi).att. 10.4Gadījumā, ja stieľa šķērsgriezums ir taisnstūrisar malu garumiem b un h (att. 10.4), normālspriegumuvērtības šķēluma punktos GDEF nosakām ar sakarībām (10.6), ievietojotatbilstošās koordinātu vērtības. Svarīgi ľemt vērā, ka šo punktu koordinātes šķēlumagalvenajās asīs ir sekojošas: b h b h b h b h D ; ;E; ;F; ;G; 2 2 2 2 2 2 2 2 Spriegumu vērtības šajos robeţpunktos ir183

10. SALIKTIE SLOGOJUMIP 1 ;2 22 2 e ex b y h P D 1 ;A iyix2 22 2 e ex b y hE (10.8)A iyixP 1 ;2 22 2 e ex b y h P F 1 .A iyix2 22 2 e ex b y hG A iyixSakarības (10.8) dod iespēju secināt, ka punktā E ir vislielākais spiedes spriegums, betpunktā G varētu būt arī stiepes spriegums. Kā jau tika minēts, spriegumu zīme maināspa taisni, kuras stāvokli nosaka vienādojums (10.7). Ievietojot pēc kārtas šajā vienādojumāargumentu vērtības x = 0 un y = 0, nosakām nogrieţľus, kurus nulles taisne atšķeļuz koordinātu asīm x un y. Ievietojot vienādojumā (10.7) x = 0, iegūstam vērtību22iixyCLy yL , bet ja ievietojam y = 0, iegūstam vērtību CLex xL (att.ex10.5). Atliekot attiecīgos nogrieţľus uz koordinātu asīm un savienojot punktus L x un L yar taisni, iegūstam nulles līniju.Pa labi no šīs līnijas ir spiestā stieľa daļa, bet pakreisi – stieptā daļa.Pie mazām ekscentrisitāšu exvai eyvērtībām,nogrieţľu CL x un CL y garumi var būt lielākipar b / 2 vai h / 2 un nulles taisne atrastiesārpus stieľa šķērsgriezuma. Šādā gadījumā šķēlumāradīsies tikai spiedes spriegumi.Att. 10.5 parādīts ar spēku P ekscentriski spiestastieľa normālspriegumu epīras raksturs.att. 10.5Speciālā gadījumā, kad ekscentriski novietotāspēka pielikšanas punkts atrodas uz kādas nošķēluma galvenām asīm x vai y, neitrālā ass orientēta paralēli vienai no šīm asīm.yPiemērs 10.2. Uzkonstruēt normālspriegumu epīrušķēlumā abcd ekscentriski spiestai kolonnai. Noteikt,kāda ir attiecība starp maksimālajām spiedesun stiepes spriegumu vērtībām un par cik atšķirasmaksimālais spiedes spriegums ekscentriskā spiedēno spiedes spriegumiem vienlielā centriskā spiedē.Atrisinājums. Doto slogojuma shēmu reducējamuz ekvivalentu, kuru veido ass spēks P šķēlumasmaguma centrā C un spēkpāris M P e . Ar eapzīmēta novirze no simetrijas ass. Mūsu gadījumā tā ir 10 cm. Tātad spēkpārim atbilstošālieces momenta vērtība ir M Pe 2000,1 20kNmŠķēluma abcd laukumsir A= 0,4·0,4 = 0,16 m 2 , bet inerces moments pret y asi184

10. SALIKTIE SLOGOJUMI40,4 44I y 21,3310m .12Šķēluma inerces rādiuss pret y asi ir4i y 21,33100,16 0, 1154m ,bet pretestības momentsW4y33 10,6710m .xImax21,33100,2Izmantojot noteiktās šķēlumu abcd raksturojošo parametru vērtības, nosakām spriegumusno centriskās spiedessp PA320010N 20,16m 1,25MPa;spriegumus uz šķautnes ab, kurus izraisa spēkpāra moments M3 M 20 10Nmmax 1,87MPa;33W 10,67 10mspriegumus uz šķautnes cd, kurus izraisa moments M3 M 2010Nmmax 1,87MPa.33W 10,6710mTātad, ekscentriskās spiedes rezultātā uz šķautnes ab veidojas stiepes spriegumi 1,251,87 0, MPa , bet uz šķautnes cd veidojas spiedesab sp max62spriegumi 1,251,87 3, MPa .cd sp max12Aprēķinu rezultātā konstruējam divas epīras – no centriskās spiedes sp(att. 10.6a) unlieces momenta M(att. 10.6b). Summējot šīs epīras, iegūstam spriegumu epīru ,kura veidojas ekscentriski spiestas kolonnas šķēlumā abcd. Šī epīra parādīta att. 10.6c.att. 10.6No iegūtajiem aprēķinu rezultātiem varam konstatēt, ka ekscentriskās spiedes rezultātāšķēlumā abcd maksimālo spiedes un stiepes spriegumu attiecība ir ab/ cd=3,12/0,62185

10. SALIKTIE SLOGOJUMI= 5,03, bet ekscentrisitātes dēļ kolonnā rodas spiedes spriegumi, kuru maksimālā vērtībair 2,5 reizes lielāka par spriegumiem vienlielā centriskā spiedē.Attēlā 10.6c līnija fg ir nulles līnija. Uz šīs līnijas spriegumi ir nulle. Līnijas stāvoklinosaka sakarība2i2yCLx xL 0,1154 0, 133m.e0,1xInteresi izraisa jautājums - cik lielas ekscentrisitātes gadījumā nulles līnijas stāvoklis2sakrīt ar šķautni ab. Tā kā e ix , bet x L 0, 2m, tad e y 0, 067m. Tātad,yyLja spēks P pieliksts kolonai attālumā 6,7 cm no šķēluma smaguma centra, tad šķēlumaneitrālā ass sakritīs ar šķēluma malu un tātad stiepes spriegumu šķēlumā nebūs.10.3. Šķēluma kodolsAtkarībā no spiedes spēka pielikšanas punkta K atrašanās vietas, kolonnas šķēlumaveida un izmēriem, necentriski spiesta stieľa (kolonnas) šķēlumā var veidoties kā spiedes,tā arī stiepes spriegumi. Izgatavojot stieľus no materiāliem, kuriem ir zema stiepesstiprība (betons, mūris), svarīgi panākt, lai arī ekscentriski spiestā stieľa viss šķēlumsbūtu tikai spiests.Stiepes spriegumi neradīsies, ja ekscentrisitāte būs „pietiekami maza‖, t.i. tā nepārsniegsnoteiktas robeţas. Stiepes spriegumu esamību nosaka neitrālās ass stāvoklis. Janeitrālā ass krusto kolonnas šķēlumu, tad vienā tās pusē veidojas spiedes, bet otrā pusēstiepes spriegumi.Konstruktoram vēlams zināt, cik liela ekscentisitāte konkrētas formas šķēlumam pieļaujama,neriskējot spiestajā stienī izraisīt stiepes spriegumus.Tātad, lai šķēlumā neveidotos stiepes spriegumi ir nepieciešams, lai neitrālā ass atrastosārpus šķēluma kontūra vai uz tā robeţas.Spiedes spēka P pieļaujamās maksimālās ekscentricitātes noteikšanai izmanto robeţgadījumu,kad neitrālā ass šķēluma kontūrai tikai pieskaras.Aprēķinot maksimālās ekscentrisitātes daţādos virzienos, attēlojot tās grafiski uz izvēlētajiemvirzieniem un savienojot katras blakus esošās ekscentrisitātes galus, iegūstamap šķēluma smaguma centru noslēgtu kontūru, ko sauc par šķēluma kodolu. Kodolsraksturo to šķēluma apgabalu, kura robeţās, slogojot stieni ar spiedes spēku, stienī neradīsiesstiepes spriegumi.Ar līkni norobežota šķēluma kodolsNeitrālā ass ir šķēluma kontūras pieskare. Pieskaršanās punkti jāizvēlas tā, lai neitrālāass nešķērsotu šķēluma kontūru.Šķēluma kontūru (sk. att.) vispārīgā veidā aprakstavienādojums:xy f .Pieľemam, ka koordinātu asis x un y ir galvenāscentrālās inerces asis. Caur kontūra punktu K(y 0 , x 0 )186

10. SALIKTIE SLOGOJUMInovilktu pieskari apraksta vienādojums:y y x x f . 0 0x0Pārveidojam šo vienādojumu formāxb1y 10 , c1kur parametri b 1 un c 1 nosaka taisnes atšķelto nogrieţľu garumus uz koordinātu asīmun to vērtības ir:1b1 x0 yf 'x 0c1 y0 x0f x0.0Tā kā neitrālās ass vienādojumam ir analoga formay x 1 0 ,b ckur22iyixb un c .e eyPielīdzinot atbilstošos parametrsei1xb1 b un c1 c , iegūstamx ,y0 .2 2xy0 x0f x0iyy0 x0f x0ef xNo šīm sakarībām iespējams aprēķināt y 0 un x 0 atkarībā no spēka pielikšanas punktakoordinātēm e x un e y .K y , x 0 0atrodas uz šķēluma kontūras (līknes), tad ievietojot šo koordinātuvērtības, kas izteiktas caur e x un e y , līknes vienādojumā, iegūstam kodola kontūrasvienādojumu šķēluma galveno centrālo inerces asu sistēmā.Tā kā punkts Daudzstūra gadījumā neitrālā ass var grieztiesap daudzstūra virsotnēm līdz tā sakrītar daudzstūra malām. Ja neitrālā ass ietcaur daudzstūra virsotni K, tad šīs virsotneskoordinātes y k un x k apmierina neitrālāsass vienādojumu. Ievietojot šīs koordinātesvienādojumā (10.7), iegūstam:ykxke 102 xe2 y.i iŠajā vienādojumā tekošās koordinātes ir spēka pielikšanas punkta koordinātes e x un e y .Tas nozīmē, ka neitrālai asij grieţoties ap daudzstūra virsotni līdz tā sakrīt ar daudzstūramalām, spēka iedarbības punkts pārvietojas pa taisni. Šī taisne dod kodola kontūrasvienu malu. Katrai virsotnei ir atsevišķa taisne. Taisnēm krustojoties, izveidojas kodolakontūras. Kodola malu konstruēšanai nosakām taisnes nogrieţľus uz koordinātu asīm:xy187

10. SALIKTIE SLOGOJUMIbk2iy ;xkck2ix .ykJāievēro y k un x k zīmes pret šķēluma galvenajām centrālajām asīm.Ja neitrālā ass sakrīt ar malu 2 – 2, tad spēks ir pielikts punktā L. Ja sakrīt ar malu 3 - 3,tad P ir pielikts punktā M. Kad spēks pa taisni pārvietojas no L uz M, tad neitrālā assgrieţas ap punktu K.Taisnstūra šķērsgriezuma gadījumā neitrālā asssakrīt ar taisnstūra malām pie nosacījuma, ka ekscentriskāslodze atrodas uz centrālajām asīm attālumāh/6 vai b/6 no šķērsgriezuma smaguma centraC. Pie šāda secinājuma nonākam, neitrālās ass vienādojumā(10.7) ievietojot parametra vērtību e x = 0un nosakot ekscentricitātes e y vērtību pie nosacījumax = ± b/2. Rezultātā iegūstam divas e y vērtības:e y = - i y /(± b/2) = = ± b/6.Analogā veidā iegūstam e x = ± h/6.Tādā veidā esam ieguvuši četrus punktus L 1 , L 2 ,L 3 , L 4 uz šķēluma simetrijas asīm. Pārvietojotiesslodzei pa taisni L 1 L 3 , neitrālā ass pagrieţas appunktu A. Līdzīgā veidā, pārvietojoties slodzei pataisnēm L 1 L 4 , L 2 L 4 un L 2 L 3 , neitrālā ass pagrieţas ap punktiem B,C un D. Šķēluma iesvītrotādaļa veido taisnstūra ABCD šķēluma kodolu188

11. STIPRĪBAS KRITĒRIJI11.1. Sprieguma un deformāciju stāvoklis punktāJau iepriekš tika konstatēts, ka stiepta vai spiesta stieľa daţādos šķēlumos rodas atšķirīgsspriegumu stāvoklis. Vispārīgā gadījumā rodas divas sprieguma komponentes –normālspriegumi un tangenciālie (bīdes) spriegumi. Šo spriegumu vērtības ir atkarīgasno šķēluma orientācijas attiecībā pret stieľa asi un nosakāmas ar sakarībām: cos 2 , 0,5sin 2. Tātad normālspriegumu maksimālās vērtības iršķēlumos, kuri perpendikulāri stieľa ass virzienam, bet tangenciālo – šķēlumos, kuriorientēti zem 45 0 leľķa attiecībā pret stieľa asi. Sareţģītākos stieľu slogojuma gadījumosmaksimālo spriegumu vērtības un plaknes, kurās tie darbojas, nosakāmas ľemotvērā slodţu izraisīto spriegumu lielumus un to darbības virzienus. Veidojas problēmapar deformētu ķermeľa spriegumstāvokli konkrētā punktā.Par spriegumstāvoklī punktā sauc spriegumu kopu jebkurā iespējamā šķēlumā, kurš ietcaur doto punktu.Stieľa centriska stiepe vai spiede ir vienkāršākais stieľa deformēšanas veids, jo šajāgadījumā visu stieľa punktu spriegumstāvoklis ir vienāds (viendabīgs spriegumstāvoklis).Vispārīgā gadījumā stieľos spriegumu stāvoklis ir nevienmērīgs – no punkta uzpunktu tas mainās. Līdz ar to jebkurā stieľa šķēlumā spriegumi sadalās nevienmērīgi.Lai raksturotu spriegumstāvokli punktā, ap to izveido paralelepipedu ar malu garumiemdx, dy un dz.Tā kā šāds paralelepipeds ir bezgala mazs, tad var uzskatīt, ka spriegumi visos tā punktosir vienādi un sakrīt ar spriegumiem izvēlētajā punktā. Līdz ar to var uzskatīt, ka uzvisām paralelepipeda skaldnēm un arī jebkurā tā šķēlumā spriegumi sadalīti vienmērīgi.Spriegumi uz paralelepipeda skaldnēm tiek uzskatīti par zināmiem, bet spriegumi tāšķēlumos tiek noteikti no atšķeltās daļas līdzsvara nosacījumiem. Turpmākos izklāstostiks pierādīts, ka patvaļīgi orientētam paralelepipedam vienmēr ir iespējams izvēlētiestādu orientāciju, lai uz tā skaldnēm darbotos tikai normālspriegumi.Tādas plaknes, kurās nedarbojas bīdes spriegumi, sauc par galvenajām, bet tām perpendikulārosnormālspriegumus par galvenajiem spriegumiem.Spriegumstāvokļu klasifikāciju ērti veikt izmantojot galvenos spriegumus. Atkarībā notā vai stiepes (spiedes) galvenie spriegumi darbojas attiecīgi vienā, divās vai trīs savstarpējiperpendikulārās plaknēs (att. 11.1), izšķir vienasīgu, divasīgu vai trīsasīguspriegumstāvokli punktā.att. 11.1189

11. STPRĪBAS KRITĒRIJI11.1.1. Spriegumu zīmju likumsTiek pieľemts, ka stiepes spriegumi ir pozitīvi, betspiedes spriegumi – negatīvi. Attiecībā uz bīdes spriegumiempieľemsim, ka pirmais indekss norāda bīdessprieguma darbības plaknes normāles virzienu, bet otraisindekss norāda virzienu, kurā darbojas bīdes spriegumsšai plaknē. Bīdes spriegumu zīme ir saistīta arkoordinātu asu virzieniem. Izmantosim ārējās normāleslikumu. Saskaľā ar to gadījumos, kad sprieguma darbībasplaknes ārējā normāle sakrīt ar attiecīgās koordinātuass virzienu un sprieguma darbības virziens šaiplaknē sakrīt ar attiecīgās koordinātu ass virzienu, tadatt. 11.2spriegums ir pozitīvs. Ja normāles vai sprieguma darbībasvirziens nesakrīt ar asu pozitīvajiem virzieniem, bīdes spriegums ir negatīvs.Visi uz kuba skaldnēm attēlā 11.2 redzamie spriegumi ir pozitīvi.11.1.2. Spriegumi slīpos šķēlumos plakana spriegumstāvokļa gadījumāParalelepipedu (att. 11.3), kurš slogots y un z ass virzieniem perpendikulārās plaknēspāršķeļam ar slīpu plakni. Šī plakne ar asi y veido leľķi . Šķēluma plaknē vispārīgāgadījumā veidojas spriegumi un , kuri nav zināmi un ir jānosaka. Izveidojam koordinātuasis y’ un z’, kuru orientācija redzama att. 11.3b. Šīs asis iegūtas izdarot asuxy pagriezienu par leľķi pozitīvā virzienā. Par pozitīvu tiek pieľemts virziens, kurāpagrieziens no ass z uz asi ytiek veikts pa īsāko ceļu. Mūsugadījumā, tas ir virzienspretēji pulksteľrādītāja kustībasvirzienam. Atbilstoši att11.3 varam konstatēt, kadA z 1dy dAcos ,dA y 1dz dAsin .Spriegumu noteikšanai slīpajāšķēlumā izmantojam atšķeltāsatt. 11.3prizmas līdzsvara nosacījumus.Projicējot uz prizmasskaldnēm darbojošos spēkus uz z’ un y’ asīm, iegūstam vienādojumus dA dA cos dA sindA sindA cos 0 ,zzyydA dA sindA cos dA cos dA sin 0 .zzyyyz zyIevietojot dA z un dA y un izmantojot bīdes spriegumu pāra likumu, kura rezultātā iegūstam formulas normālo un tangenciālo spriegumu noteikšanai slīpos šķēlumos:zyzyzzyzyzyy190

11. STPRĪBAS KRITĒRIJI22 cos sin sin 2, (11.1)zyzyzy sin 2zycos 2. (11.2)2Piemērs 11.1. Attēlā doti divi plakani spriegumstāvokļi punktā. Jānosaka spriegumi un šķēlumā, kurš pagriezts par = 30 0 .Atrisinājums.a) Saskaľā ar ārējās normāles likumuz 100MPa ;y 40MPa; MPa .zy yz60Ievietojot šīs vērtības formulā (11.1) un (11.2),iegūstam30 100cos 60sin 6002300 40sin 13MPa;100 40 030 sin 60 20 60cos 60 82MPa.b) z 100MPa;y 40MPa ; MPa .zy yz602300Izmantojot spriegumu aprēķina formulas slīpos šķēlumos, iegūstam2 02 00 100cos30 40sin 30 60sin 60 137MPa ;30100 40 0030 sin 60 60cos 60 4MPa .2Salīdzinot iegūtos rezultātus, konstatējam, ka sākumstāvokļa spriegumu vērsums būtiskiizmaina spriegumu vērtības slīpajā šķēlumā.11.1.3. Galvenie spriegumiKā jau konstatējām iepriekš, spriegumi slīpos šķēlumos ir atkarīgi no šo šķēlumu orientācijaspret pamatasīm zy. Mainoties šķēluma slīpumam izmainās spriegumu vērtībasun rodas loģisks jautājumus, kādā gadījumā šie spriegumi iegūst maksimālās vērtības.191

11. STPRĪBAS KRITĒRIJILai to noteiktu, veicam sprieguma ekstrēma aprēķinu, t.i. pielīdzinām nullei atvasinājumud / dizmantojot sakarību (11.1). Tā rezultātā iegūstam vienādojumu192 d z y 2sin 2 cos 2 zy 0 2. (11.3)d Izmantojot formulu (11.2), konstatējam, ka nosacījums (11.3) ir līdzvērtīgs nosacījumam2 0(11.4)Tātad kādai pagrieziena leľķa vērtībai 0, kurai atbilst nosacījums 0 atbilstekstremāla normālsprieguma vērtība.0Līdz ar to varam izdarīt svarīgu secinājumu: plaknēs, uz kurām darbojas ekstremālasnormālspriegumu vērtības, bīdes spriegumi ir nulle. Šādas plaknes sauc par galvenajāmun tām atbilstošos spriegumus par galvenajiem spriegumiem punktā.No vienādojuma (11.3) varam noteikt galveno plakľu normāļu slīpuma leľķi 0 . Šovērtību aprēķinām ar formulu zytg 2 20 . (11.5) zyIzteiksme (11.5) nosaka divus savstarpēji perpendikulārus virzienus ar slīpuma leľķiem00un 0 0 90 , kuros darbojas galvenie spriegumi max un min . Izmantojot1 cos 2trigonometriskās sakarības cos 2 1 cos 2 un sin 2 , pārveidojamizteiksmi (11.1)22formā z y z y 2cos 22 2 zytg. (11.6)Ievietojot šai sakarībā leľķa vērtību 0 un ľemot vērā, ka1 z ycos 20 ,21tg 202 2 4iegūstam divas galveno spriegumu vērtības z y2 21,2 z y 4zy2, (11.7)no kurām pirmā (izmantojot zīmi ―+‖) ir maksimālā, bet otrā minimālā vērtība.Tātad varam secināt, ka jebkuras izejas spriegumu kombinācijas , , gadījumā,materiāla punktā eksistē paralelepipeds, uz kura skaldnēm darbojas tikai normālspriegumi.Tātad galveno spriegumu asīs spriegumu tenzors plakana spriegumstāvokļa gadī-zyzyzyzy

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIjumā ir1 00 . 2 Lai spriestu par max galvenā sprieguma orientāciju, var ľemt vērā, ka bīdes spriegumivienu no elementa diagonālēm izstiepj, bet otru saspieţ. Līdz ar to max virziens būspiesaistīts izstieptajai diagonālei.Lai noteiktu ekstremālās tangenciālo spriegumu vērtības, par izejas stāvokli pieľemsimkoordinātu asis xy, kuru virzienos darbojas galvenie spriegumi. Tādā gadījumā formulas(11.3) un (11.2) pārraksta sekojošā veidā1 2 12 cos 2, (11.8)2 21 2 sin 2, (11.9)2att. 11.4kur leľķis tiek atskaitītsno 1 virziena (att. 11.4).No formulas (11.9) varamsecināt, ka pie 45 0 sin2 -1 ,tangenciāliem spriegumiemir ekstremālas vērtības12 max . (11.11)2Tātad maksimālie tangenciālie spriegumi darbojās plaknēs, kuras orientētas 45 0 attiecībāpret galvenajiem un to vērtība ir puse no galveno spriegumu starpības.Ievietojot sakarību (11.7) izteiksmē (11.11), iegūstamz y zy1 2 max 4(11.11)2Vispārīgā gadījumā plaknēs ar normālie spriegumi nav nulle. Tiešām, ievietojotformulā (11.8) leľķa vērtībumax0 45 , iegūstam1 2 45 .2Speciālā gadījumā, kad abi galvenie spriegumi ir vienādi pēc vērtības, bet pretēji vērsti1 2 , ekstremālā tangenciālā sprieguma vērtība ir vienāda ar galvenāsprieguma vērtību , bet normālspriegumi šajā gadījumā ir nulle. Šo spriegumstāvokli193

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIsauc par tīro bīdi, bet plaknes, kurās darbojas tikai bīdes spriegumi, par tīrās bīdesplaknēm.Spriegumu un izmaiľas ģeometriskai interpretācijai vācu zinātnieks O. Morspiedāvāja izveidot riľķveida diagrammu, kura tika nosaukta par Mora riľķi vai spriegumuriľķi. Riľķa konstruēšana balstīta uz sakarību (11.8) un (11.9) grafisku interpretāciju.Šīs sakarības pārrakstot formākoordinātās a Rcos 2, Rsin(11.12) 2 , iegūstam riľķa līnijas vienādojumu parametriskā formā, kur/a / konstants parametrs.R 2 ir riľķa rādiuss, bet 21 21 2Atbilstoši šiem vienādojumiem konstruēts riľķisparādīts att. 11.5. Katrai parametra vērtībaiuz riľķa līnijas atbilst punkts K ar koordinātām, . Savstarpēji perpendikulārām plaknēmatbilst punkti K 1 un K 2 (sk. att. 11.5), piekam 90 .Ja ir zināmi galvenie spriegumi un galvenāsplaknes, tad spriegumu riľķi konstruē balstotiesuz punktiem A un B. velkot no punkta A, kuršdotā gadījumā uzskatāms par riľķa polu, staruparalēli slīpā šķēluma normālei, iegūstam šīatt. 11.5stara un riľķa līnijas krustpunktu, kuru koordinātesir meklētie spriegumi un .Piemērs 11.2. Uzkonstruētspriegumu riľķi gadījumos:a) 0, y zyz,b) 0, y zyz.Atrisinājums. Izejas dati tātad doti galvenajās plaknēs, jo tajās nedarbojas bīdes spriegumi.Darbojas viens galvenais spriegums z, bet otrs yvienāds ar nulli. Abos gadījumosriľķa pols k’, sakrīt ar koordinātu asu sākumpunktu. Iegūtie riľķi parādīti attēlā.zy yzPiemērs 11.3. Uz divām savstarpēji perpendikulārāmplaknītēm darbojas bīdes spriegumi . Uzkonstruētsprieguma riľķi.Atrisinājums. Dotais spriegumstāvoklis ir tīrās bīdes194

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIstāvoklis un tātad plaknītēs, kuras orientētas 45 0 leľķī pret dotajām, darbojas galveniespriegumi 1 un 2 . Atbilstošajam spriegumu riľķim koordinātu 1sākumpunkts atrodas riľķa centrā.Piemērs 11.4. Veikt spriegumstāvokļaanalīzi plānsienucaurules sieniľai, ja tāpakļauta vērpei (vērpesmoments M z ), ass spiedei(ass spēks N) un iekšējamspiedienam (p). Šāda slogojumagadījumā rodas spriegumi,kurus nosaka sakarības2Mz ;2DpDy .2(pēdējā sakarība iegūta izmantojot pusriľķa spēku līdzsvara nosacījumu1pD 2 1 0 ).yIzejas spriegumi z 60MPa;zy 40MPa,y 30MPa.zzyN ;AMWAtrisinājums. Galveno spriegumu vērtības un virzienus nosakām izmantojot sakarības(11.7) un (11.5):Tātadzvēērpe1 1 60 30 60 30 21,2 440 15 60, 2 ;222 40 8tg 20 . 60 30 91 45,2MPa , 2 75,2MPa, bet 1 69Maksimālie bīdes spriegumi /2 60,2MPamax1200un 2 21. darbojas plaknēs, kuraspagrieztas 45 0 leľķī pret galvenajām asīm.Galveno spriegumu orientācija uzdevuma noteikumos dotajam plānsieniľu caurulesslogojumam parādīta attēlā c.Piemērs 11.5. Veikt spriegumu stāvokļa analīzi liektā sijā.Atrisinājums. Saskaľā ar pieľēmuma par sijas deformēšanos bez šķērsā spiediena195

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIstarp tās horizontālajiem slāľiem iegūstam 0 . Pārējos spriegumus nosaka sakarības:yatt. 11.6z M xIQ Syy;yz .I bGalvenos spriegumusun to pagrieziena leľķinosakām ar sakarībāmx1962122 21,2 4,tg 1,2 . (11.13)Tā kā sijas spriegumstāvoklis (spriegumi stieľa asij perpendikulārā laukumā) pa sijasaugstumu nepārtrauktu mainās, tad mainās arī galveno spriegumu vērtības un orientācija.Attēlā parādīts, ka augšējā šķiedrā ir vienasīga spiede, apakšējā šķiedrā vienasīgastiepe, uz neitrālās ass tīrā bīde, bet visos pārējos starpstāvokļos kombinēts normālspriegumaun bīdes spriegumu stāvoklis. Galveno spriegumu epīra parādīta attēlā 11.6.Uzskatāmu priekšstatu par iekšējo piepūļu plūsmu slogotā ķermenī sniedz galvenospriegumu trajektorijas.Galveno spriegumu trajektorija ir līnija, kuras katrā punktā tās pieskare sakrīt ar galvenāspriegumā virzienu šai punktā.Stieľa stiepes gadījumā galveno spriegumu trajektorijas ir stieľa asij paralēlas un perpendikulārastaisnes.Apaļa stieľa vērpes gadījumā galvenie spriegumi orientēti 45 0 leľķī pret stieľa asi ungalveno spriegumu trajektorijas veido ortogonālu 45 0 leľķī pret stieľa asi orientētu tīkluuz stieľa virsmas. Ar šo arī izskaidrojami daţādu materiālu stieľu atšķirīgie sabrukumamehānismi. Tā, piemēram, čuguna stieľa vērpē, kuram stiepes stiprība ir mazākapar cirpi, sabrukums notiek pa skrūvveida virsmu no galvenajiem stiepes spriegumiem.Tērauda stieľiem bīstamākā ir bīdes deformācija un šāds stienis sabrūk no cirpes pastieľa šķērsgriezumu. Savukārt kokam mazākā stiprība ir cirpē šķiedru virzienā un vērptamstienim vispirms parādās tā asij paralēlas plaisas.Liektas sijas galveno spriegumu trajektorijas iegūstam, atrisinot vienādojumusdy1dzy,zy,z ,1dy2dzz1,2 y,z , (11.14) y,2kur y 1 un y 2 ir galveno spriegumu 1un 2trajektoriju ordinātas. Vienādojumi(11.14) iegūti sakarībām (11.13) piemērojot apzīmējumu tgi dyi/ dz . Vienādojumu(11.14) atrisinājumus ērti iegūt skaitliskās integrēšanas veidā, izmantojot kādu notuvinātām diferenciālvienādojumu atrisināšanas metodēm.Attēlā 11.7 parādīts galveno spriegumu trajektoriju raksturs ar koncentrētu spēku liektā

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIsijā.Veicot ar trauslu laku pārklātu sijas lieci, loks saplaisā, veidojot plaisas pa līnijām, kurasperpendikulārasmaxvirzienam,t.i. pa līnijām,kuras sakrītar spiedes spriegumamintrajektorijām.Zinotgalveno spriegumutrajektorijas,daudzos ga-att. 11.7dījumos iespējamsracionalizēt detaļas vai konstrukcijas daļas struktūru. Tā, piemēram, rīkojasdzelzsbetona sijās izvietojot slīpu armatūru, lai nodrošinātu stiepes spriegumu uzľemšanuparādoties betona plaisām.11.1.4. Telpiskais spriegumstāvoklisVispārīgā gadījumā telpisko spriegumstāvokli materiāla punktā raksturo sešas neatkarīgassprieguma tenzora komponentes (ľemot vērā, ka )xxyxzxyyyzxz 1 yz z 2 3 Arī telpiskā spriegumstāvokļa gadījumā var atrast tādu ap materiāla punktu izveidotaparalelepipeda stāvokli, ka uz tā skaldnēm nedarbojas bīdes spriegumi. Šīs skaldnes unuz tām darbojošos normālspriegumus sauc par galvenajām plaknēm un galvenajiemspriegumiem.Veicot paralēlskaldľa pagriezienu ap tā asīm, iespējams noteikt galveno plakľu stāvokļusun arī galveno spriegumu vērtības. Galvenie spriegumi punktā ir kubiska algebriskavienādojuma3 2 I I I 0(11.15)123atrisinājumi.Lielāko no tiem apzīmējam ar 1 , mazāko – ar 3 , bet trešo – ar 2 . Tātad starp galvenajiemspriegumiem pastāv sakarība 1 2 3.Vienādojuma (11.15) koeficienti I i ir spriegumstāvokļa invarianti un to vērtības nosakasakarībasII1 xyz (11.16)2 2 22 x y x z y xy xz yzzijji197

11. STPRĪBAS KRITĒRIJII 2 2 2 23 x y z x yz y xz z xy xy xz yzInvarianti I i nav atkarīgi no koordinātu asu orientācijas. Tātad vienādojuma (11.15)koeficienti nemainās mainoties koordinātu asu stāvoklim un līdz ar to, neatkarīgi nokoordinātu asu izvēles, vienādojumam vienmēr būs vienas un tās pašas saknes:1, 2,3- galvenie spriegumi. Parametrus I1 , I2,I3sauc par spriegumstāvokļa(spriegumu tenzora) pirmo, otro un trešo invariantu..att. 11.7Att. 11.7 redzami trīs spriegumu apļi, kuri katrs atbilst vienam galveno spriegumu pārim:1 2, 23un 1 3. Šo apļu punktu koordinātes nosaka spriegumu vērtībasplaknēs, kuras perpendikulāras plaknēm 1 2, 23vai 1 3. Spriegumuvērtības pret galvenajām asīm patvaļīgi orientētās plaknēs nosaka punktu koordinātesiesvītrotajā starpapļu daļā.Tā, piemēram, maksimālais bīdes spriegums dotajā punktā ir galveno spriegumu starpībaspuse un tas darbojas plaknē, kura orientēta 45 0 leľķī pret galveno spriegumu virzieniem(att. 11.8). Tātad 13max . Maksimālais bīdes spriegums ir svarīgs2materiāla stiprību raksturojošs parametrs. Bieţi vien slogota materiāla pāreju plastiskāstadijā saista ar maksimālo bīdes spriegumu vērtību.11.1.5. Deformētais stāvoklis punktāJau tika minēts, ka materiāla patvaļīgu punktu K aptveroša elementa dx dy dzdeformācijastrīs savstarpēji perpendikularās asīs raksturo deformāciju kopa, kuru sauc pardeformāciju tenzoru. Mainot savstarpēji perpendikulāro koordinātu asu x, y, z stāvokli tāspagrieţot attiecībā pret punktu K, mainās arī deformācijas attiecībā pret jaunajām asīm.198att. 11.8

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIRelatīvo pārvietojumu un nobīdes leľķu kopu visiem iespējamiem koordinātu asu stāvokļiemdotajā punktā, sauc par deformēto stāvokli punktā.Līdzīgi kā spriegumstāvokļa gadījumā, var noteikt trīs ortogonālu koordinātu asu stāvokli,kurās nobīdes leľķi neeksistē, bet relatīvās lineārās deformācijas iegūst vērtības1 2 3, no kurām 1 ir maksimālā, bet 3 minimālā. Šīs deformācijas sauc pargalvenajām deformācijām punktā.Deformāciju tenzoru komponentes pie asu pagrieziena mainās analogi spriegumu tenzorukomponentēm. Svarīgi atzīmēt, ka elastīga izotropa materiāla punktos galvenodeformāciju un galveno spriegumu virzieni sakrīt. Materiāliem ar komplicētākām fizikālajāmīpašībām, šāda sakritība var arī nebūt. Materiālu mehānikā būtiska loma ir deformācijunoteikšanai eksperimentālā ceļā. Izmantojot eksperimentāli noteiktās deformācijuvērtības, tiek noteikti materiālu elastīgie un stiprības parametri, kā arī pārbaudītidaţādi teorētiski rezultāti, kuri iegūti izmantojot modeļus vai arī reālajos objektos.Daţādu eksperimentālo metoţu apguve sastāda svarīgu materiālu pretestības daļu, kuratiek realizēta laboratorijas darbu veidā, veicot pārbaudes un mērījumus daţādu materiāluparaugiem pie daţādiem slogojuma veidiem.Par eksperimentālo metoţu pamatmetodi tiek uzskatīta tenzometriskā metode.Tās būtību sastāda mazu deformāciju mērīšana noteiktos konstrukciju elementu vaiparaugu punktos un tam sekojoša sprieguma noteikšana izmantojot Huka likumu.Ar speciālu mērinstrumentu (tenzometru) palīdzību uz detaļas virsmas tiek nomērītsabsolūtais bāzes (nogrieznis ar fiksētu garumu) pagarinājums un noteikta vidējā pabāzes garumu relatīvā deformācija. Uz detaļas virsmas vispārīgā gadījumā veidojasplakanais spriegumstāvoklis ar galvenajiem spriegumiem 1 un 2 un deformācijām 1un 2 . Tieši šīs deformācijas var nomērīt ar tenzometriskām metodēm.Izotropu materiālu gadījumā ir spēkā Huka likums11 2,E E(11.17)22 1.E EAtrisinot šo sistēmu attiecībā pret spriegumiem, iegūstamE121E221 1, .221(11.18)Izmantojot sakarības (11.18), tenzometrijas metodē tiek noteikti spriegumi, kuri atbilsteksperimentāli noteiktajām deformācijām 1 un 2 .Deformāciju mērīšanai ir iespējams izmantot daţāda veida tenzometrus: mehāniskos,optiskos, hidrauliskos, pneimatiskos u.c. Plašu pielietojumu guvuši elektriskie tenzometri,kuru darbības princips balstīts uz deformācijas izraisītās vadītāja stieples omiskāspretestības izmaiľu. Parasti šādi tenzometri ir izveidoti no vairākās cilpās izkārto-199

11. STPRĪBAS KRITĒRIJItas plānas stieples, kura uzlīmēta uz papīra (att. 11.9).Tīrās bīdes stāvokli plaknē iespējams realizēt divos veidos:slogojot elementārlaukumuľu (att. 11.11) pa malāmar bīdes spriegumu vai arī realizējot divus galvenosspriegumus 1 un 2 , kuri vērsti laukumiľadiagonāļu virzienos.Elementārlaukumiľa diagonāles d relatīvo pagarinājumuno sprieguma nosaka sakarība , bet noatt. 11.9dd 2Ggalvenajiem spriegumiem sakarība d 1 .d E E Eatt. 11.11Tātad iegūstam, ka1 1 .2GELīdz ar to ir noteikta sakarība starp izotropamateriāla trim elastīgajām konstantēm EG . (11.19)2 1 Sakarība (11.19) liecina par to, ka izotropam materiālam neatkarīgas ir tikai divas elastīgāskonstantes. Trešā nosakāma no šīs sakarības. Tā, piemēram, ja ir zināmi materiālaJunga modulis E un bīdes modulis G, Puassona koeficientu varam noteikt no sakarībasE 1.2 GTērauda gadījumā, kad E = 200 GPa, bet G = 80 GPa, nosakām, ka = 0,25. Šādu vērtībuiegūstam arī eksperimentāli, slogojot tērauda plāksnīti ar stiepes spēku un izmērotgarenās un šķērsās deformācijas.11.1.6. Potenciālā enerģija telpiskā spriegumstāvokļa gadījumāAr jēdzienu potenciālā enerģija tiek domāta tā relatīvā enerģija, ko uzkrāj materiālaelementārkubiľš lineāras deformēšanās gadījumā pie telpiska spriegumstāvokļa. Vienasīgasstiepes gadījumā elementārkubiľa (ar šķautnes garumu 1) relatīvā potenciālā1enerģija ir u . Vispārinot šo sakarību uz trīsasīgu galveno spriegumu gadījumu,2iegūstam1u 112233. (11.20)2Ievietojot sakarībā (11.20) vispārinātā Huka likuma izteiksmes200

11. STPRĪBAS KRITĒRIJI1 ,E112321 ,E21313 3 12Epotenciālās enerģijas noteikšanai galveno spriegumu gadījumā iegūstam sakarību1 2 2 2u 123 2121323. (11.21)2 EGadījumos, kad elementārkubiľa skaldnes nav galvenie laukumiľi (to normāles nesakrītar galveno spriegumu virzieniem) un tajos darbojas kā normālie tā bīdes spriegumi,sakarības (11.21) vietā iegūstam1u 211.2. Stiprības teorijasxx yyzzxyxyxzxzyzyz. (11.22)Novērtējot būvju konstrukciju nestspēju jāľem vērā, ka to robeţstāvoklis var iestātieskā plastisko deformāciju dēļ, tā arī konstrukcijas sabrukuma dēļ. Gadījumos, kad būvjuelementos veidojas vienasīgs spriegumstāvoklis, plastisko deformāciju vai sabrukumabrīdis novērtējams visai vienkārši. Atliek salīdzināt spriegumu ar tecēšanas vai stiprībasrobeţu. Situācija kļūst daudz sareţģītāka gadījumos, kad konstrukcijas elementāveidojas plakanisks vai telpisks spriegumstāvoklis.Zinot, ka vispamatotākais materiāla mehānisko īpašību noteikšanas veids ir eksperimentālipētījumi, varētu ieteikt tieši šādu materiāla stiprības novērtēšanas paľēmienu.Diemţēl jāsecina, ka eksperimentālā tehnika (pārbaudes iekārtas un mērījumu tehnoloģija)nedod iespēju radīt patvaļīgu spriegumstāvokli paraugā un nodrošināt ticamusrezultātus. Rodas nepieciešamība noteikt tādu spriegumstāvokli raksturojošu mēru,kura sasniegšana raksturotu pāreju no elastīgā uz robeţstāvokli. Šādu robeţstāvokļamēru nosaka plasticitātes (tecēšanas) un stiprības (sabrukuma) kritēriji. Jāatzīst, kauniversālu kritēriju nav, toties ir plašs kritēriju spektrs, kuru pamatā likti tie vai citifaktori (maksimālie spriegumi, maksimālie pagarinājumi, deformācijas enerģija u.t.t.).Katrs no daudzajiem kritērijiem savā visai netiešā veidā ievērtē vēl ne līdz galam izpētītorobeţstāvokļa iestāšanās procesu materiālā. Katrs no kritērijiem izrādās piemērotākskādiem konkrētiem apstākļiem. Svarīgi ľemt vērā, ka jēdzieni „stiprība‖ un „plasticitāte‖ir principiāli atšķirīgi, kaut arī tie var būt savstarpēji saistīti. Plasticitātes rašanāsvēl nebūt nav materiāla sabrukums, tādēļ stiprības un plasticitātes kritēriji navidentificējami.Ir jābūt iespējai izmantojot tecēšanas un stiprības kritērijus salīdzinot daţādu materiālaspriegumstāvokļa bīstamības pakāpi. Salīdzināšanu ērti veikt, ja par pamatstāvokli izvēlasto, kuru viegli realizēt eksperimentāli. Šādu spriegums sauc par ekvivalentu. Parastipar ekvivalento spriegumstāvokli izvēlas vienasīgo stiepi.201

11. STPRĪBAS KRITĒRIJITo spriegumu vērtību ekv , pie kuras materiāla paraugs vienasīgā spriegumstāvokļagadījumā izrādās vienlīdz bīstamā stāvoklī salīdzinājumā ar analizējamo salikto spriegumstāvoklipunktā, sauc par ekvivalento spriegumu.Jebkuru salikto spriegumstāvokli raksturo tā galvenie spriegumi 1 , 2 , 3 . Izmantojotkonkrēto kritēriju var tikt noteikta sakarība ekvf 1, 2,3. Līdz ar to robeţstāvokļaiestāšanās nosacījumu apraksta sakarība f1, 2,3 0ekv,kur 0 – tas bīstamais spriegums, pie kura vienasīga slogojuma gadījumā iestājas robeţstāvoklis,tātad tas ir vai nu T vai B . Robeţstāvokļa iestāšanās novērtējums grafiskiattēlojams sekojošā veidā11.2.1. Maksimālo normālspriegumu (pirmā) stiprības teorijaSaskaľā ar šo teoriju materiāla bīstamais stāvoklis iestājas tad, kad kāds no galvenajiemnormālspriegumiem sasniedz vērtību, kura ir materiāla stiprības robeţa, vai arītecēšanas robeţa stiepē vai spiedē.Šādas teorijas pamatlicējs ir G. Galilejs un tās piekritēji bija ievērojami zinātniekiLeibnics, Lamē, Klebss un Renniks. Maksimālo normālspriegumu teoriju literatūrābieţi sauc par Rennika teoriju.Maksimālo normālspriegumu teorijas stiprības nosacījumu nosaka sakarība 0 – normālais robeţspriegums (materiāla stiprības robeţa vai tecēšanas robe-kurţa)202ekv0 n.(11.23)n – stiprības rezerves (drošības) koeficients.Šeit ekv ir maksimālais stiepes vai spiedes galvenais spriegums.Diemţēl šī stiprības teorija pozitīvu praktisku apstiprinājumu guvusi tikai trausliemmateriāliem. Tā tiek lietota visai reti. Par teorijas trūkumu jāuzskata tas apstāklis, kanetiek ľemts vērā pārējo divu galveno spriegumu ( 2 , 3 ) iespaids uz materiāla stiprību.Praktiski normālais robeţspriegums 0 tiek noteikts eksperimentāli pie vienasīga slogojuma,bet tas attiecināts arī uz trīsasīgu slogojumu.11.2.2. Maksimālo relatīvo deformāciju (otrā stiprības) teorijaTeorija balstīta uz pieľēmumu, ka kritiskais stāvoklis materiālā iestājas brīdī, kad maksimālārelatīvā lineārā deformācija sasniedz savu robeţvērtību.No vispārinātā Huka likuma zinām, ka

11. STPRĪBAS KRITĒRIJI1 .E1123Deformācijas 1 maksimālā vērtība atbilst nosacījumam 1 2 3.Šajā gadījumā materiāla sabrukuma nosacījums irmax 1, (11.24)bet stiprības nosacījumsvaimax1 1 , (11.25)E1 max 1 23.E ETā kā vienasīgās stiepes gadījumā pieļaujamā relatīvā deformācija ir ,Etad iegūstam1 123EEvai ekv 2 12 3. (11.26)Šīs stiprības teorijas priekšrocība attiecībā pret 1. stiprības teoriju ir tas apstāklis, kanosakot materiāla stiprību, tiek ľemti vērā visi galvenie spriegumi.Maksimālo relatīvo deformāciju teorijas pamatlicējs bija Mariots (1662.g.), bet tās piekritējiNavjē un San-Venāns.Diemţēl arī šī stiprības teorija eksperimentāli apstiprinājusies tikai trausliem materiāliemun savu praktisko nozīmi mūsu dienās ir zaudējusi..11.2.3. Maksimālo bīdes spriegumu (trešā stiprības) teorijaTrešā stiprības teorija balstīta uz hipotēzi par to, ka materiāla stiprību nosaka maksimālabīdes spriegumu kritiskā vērtība. Šīs teorijas pamatlicējs ir Š. Kulons (1773.g.).Sakarā ar izvirzīto hipotēzi materiāla stiprība salikta spriegumstāvokļa gadījumā ir nodrošināta,ja maksimālais spriegums nepārsniedz pieļaujamo bīdes spriegumu vienasīgaslogojuma gadījumā. Pieļaujamā bīdes sprieguma vērtība vienasīgā slogojuma gadījumāir .2Tātad stiprības nosacījums irmax/2 . (11.27)203

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIMaksimālo bīdes spriegumu vērtības daţādās plaknēs nosaka sakarībasmax 1max 2max 313/212/2/2 , , .23Tā kā mēs izmantojam nosacījumu 1 2 3, tad max 1visos gadījumos būs lielākspar max 2un max 3.Līdz ar to maksimālo bīdes spriegumu stiprības teorijas kritērijs aprakstās ar sakarību:vaiekv 3 13(11.28)2 2 3x y4ekv.Par trūkumu var uzskatīt to apstākli, ka trešā stiprības teorija neľem vērā vienu galvenospriegumu komponenti, t.i. spriegumu 2.Maksimālo bīdes spriegumu teorijas tiek lietota konstrukciju elementu aprēķinos, kuriizgatavoti no plastiskiem materiāliem ar vienādām stiprības īpašībām stiepē un spiedē.11.2.4. Enerģētiskā (ceturtā) stiprības teorijaItāļu zinātnieks E. Beltrani 1885. gadā izteica hipotēzi, ka materiāla bīstamais stāvoklissalikta spriegumstāvokļa gadījumā iestājas tad, kad materiāla relatīvā potenciālā enerģijasasniegusi savu robeţvērtību. Saskaľā ar šo hipotēzi, materiāla stiprība saliktaspriegumstāvokļa gadījumā ir nodrošināta, ja deformācijas relatīvā potenciālā enerģijanepārsniedz pieļaujamo, no vienasīga eksperimenta noteiktu, relatīvo potenciālo enerģijun n.Elementa tilpuma un formas izmaiľai nepieciešamo pilno potenciālo enerģiju nosakasakarība1 2 2 2n p 123 2121323.2 EHipotēze par to, ka materiāla sabrukuma iemesls ir pilnā potenciālā enerģija, eksperimentālineapstiprinājās. Tādēļ 1904. gadā amerikāľu zinātnieks Hubers izvirzīja citu –reducētu hipotēzi: materiāla stiprību nosaka nevis pilnā patērētā enerģija, bet tikai tāsdaļa, kura tiek patērēta slogotā elementa formas maiľai. Formas maiľai patērēto enerģijunosaka sakarība12 2 2u f 123121323.3ELīdz ar to stiprības kritēriju nosaka sakarībau .fu f204

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIVienasīgās stiepes gadījumā pieļaujamo formas maiľas potenciālo enerģiju nosaka sakarība1u 2f .3ETātad atbilstoši Hubera hipotēzei iegūstam materiāla stiprības kritēriju2 2 2ekv 4 123121323 . (11.29)Enerģētiskā stiprības teorija (11.7) parasti labi sakrīt ar eksperimentāli iegūtiem rezultātiemun tiek plaši lietota plastisku materiālu stiprības aprēķinos.11.2.5. Mora stiprības teorijaJāatzīmē fakts, ka materiālu stiprības teorijas nepārtraukti tiek pilnveidotas un papildinātas,meklējot iespēju arvien precīzāk aprakstīt konkrēto materiālu eksperimentālopārbauţu rezultātus. Vērojama tendence vispārīgās stiprības teorijas (pilnam spriegumstāvoklim)aizvietot ar stiprības teorijām konkrētiem slogojumu veidiem un konkrētiemmateriāliem (piem., kompozītiem). Prakse pierādījusi, ka virknei materiālu stiprībasīpašības stiepē un spiedē atšķiras, pie kam šī atšķirība ir visai būtiska. Tā, piemēram,ķieģeļu mūrim stiepes un spiedes stiprības atšķiras 10 reizes. Līdzīgi ir arī betonam,kura stiprības robeţa stiepē ir 0,1 MPa, bet spiedē (5 ... 35) MPa.No daudzskaitlīgām stiprības teorijām plašu popularitāti guvusi vācu zinātnieka O.Mora piedāvātā. Tā guvusi plašu aprobāciju un apliecinājusi labu sakritību ar eksperimentālajiemrezultātiem. Mora teorija pamatojas uz pieľēmumu, ka vidējais galvenaisspriegums 2 nebūtiski iespaido materiāla robeţstāvokli un to aprēķinos var neľemtvērā.Mora teorijas pamatā ir pieskares konstruēšanaMora apļiem, kuri atbilst daţādiemmateriāla robeţstāvokļiem. Katrs no Moraapļiem, kurš sasniedz robeţpieskari, dodpriekšstatu par materiāla robeţstāvokli. Tā,piemēram, aplim ar centru O 3 (att. 11.11)robeţstāvokli raksturo spriegumi 1 (pozitīvs)un 3 (negatīvs).att. 11.11Jebkuram uzdotam spriegumstāvoklim iespējamsuzkonstruēt Mora apli, palielinot šoapli līdz tas pieskaras robeţpieskarei. Dotā un robeţstāvokļa apļu rādiusu attiecība irdotā spriegumstāvokļa rezerves koeficients. Mora stiprības teorijas analītisko sakarībuiegūstam izmantojot trīs robeţstāvokļu Mora apļus ar centriem O 1 , O 2 un O 3 (att.11.12).Aplis ar centru O 1 atbilst vienasīgai stiepei 1 B, 2 3 0, aplis ar centruO 2 – vienasīgai spiedei 1 2 0 , 3 B, aplis ar centru O 3 – robeţstāvoklimar galvenajiem spriegumiem 1 un 3 .205

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIstiepē un spiedē, jebB1 3 B.BIevedot parametru11.2.6. Stiprības teoriju attīstībaVisas iepriekš aplūkotās stiprības teorijas attiecināmas uz tradicionāliem konstruktīviemviendabīgiem, izotropiem materiāliem. Toties pēdējos gados daudzās tehnikasnozarēs, tostarp arī būvniecībā, pielietojumu gūst jauni, tā saucamie kompozītie mateatt.11.12k BBekv5 1 k3 B.Tā kā O 1 O 3 A 3 ~ O 1 O 2 A 2 , tad ir spēkāO3A3O1O3sakarība ,O A O OvaiLīdz ar to Mora stiprības nosacījumu nosaka sakarība2222O3B3 O1B1O B O B1112OO1 OOOO OOAizvietojot nogrieţľus ar atbilstošāmspriegumu vērtībām iegūstam BB BB1B1 3B, kur , - robeţstiprības vienasīgāB Bun apzīmējot vienādojuma kreiso pusi ar ekv5, iegūstamekv 5 1 k3 , (11.30)kur - materiāla pieļaujamā stiprība vienasīgā stiepē.Gadījumā, ja k = 1, Mora teorija sakrīt ar maksimālo bīdes spriegumu teoriju.Plakana spriegumstāvokļa gadījumā, kad materiāla punktā darbojas vienasīgs normālspriegums un tam perpendikulārā plaknē bīdes spriegums , izteiksme (11.30) reducējasuz1k 1k 2 2 ekv 5 4 . (11.31)2 2Plastiskiem materiāliem Mora teorija dod rezultātus, kuri labi sakrīt ar eksperimentāliiegūtajiem gadījumos, kad spriegumstāvokļa apļi atrodas starp apļiem, kuri atbilst vienasīgaistiepei un vienasīgai spiedei, t.i. , 0 .103Mora teorija principiāli atšķiras no iepriekš aplūkotajām ar to, ka tā pilnībā bāzējas uzeksperimentāliem rezultātiem un šiem rezultātiem uzkrājoties var tikt precizēta.1323.206

11. STPRĪBAS KRITĒRIJIriāli. Kompozītu pamatā ir polimēru vai metālu matrica, kura stiegrota ar augstas stiprībasšķiedrām (stikla, oglekļa, organiskām u.c.). Šie materiāli ir neviendabīgi un izteiktianizotropi. Kompozīto materiālu stiprību bieţi vien nosaka neviennozīmīgs tosabrukuma mehānisms. Kompozīto materiālu sabrukuma cēlonis var būt to stiegrojumapārtrūkšana, matricas sabrukums vai arī saistes starp stiegrām un matricu sabrukums.Sabrukuma procesa gaita atkarīga kā no materiāla slogojuma veida, tā arī no materiālastrukturālās uzbūves un atsevišķo komponenšu stiprības īpašībām.Kompozīto materiālu stiprības nosacījumu vispārīgā veidā varam uzrakstīt kā galvenospriegumu vienādojumu , 0f (11.32)1, 2 3Vienādojuma formu izvēlas pamatojoties uz papildus informāciju par konkrētā materiālastiprības īpašībām un sabrukuma īpatnībām. Viens no ortotropu materiālu stiprībaskritērijiem plakana spriegumstāvokļa gadījumā tiek aprakstīts sekojošā veidā 2 B B2 1, (11.33)kur B un B – materiālu robeţstiprības stiepē – spiedē un bīdē.Materiāliem ar atšķirīgām stiprības īpašībām stiepē un spiedē tiek rekomendēti stiprībasnosacījumi sekojošā veidāvai2 2a b c1(11.34)2 2a b c 1.Kritērijos (11.33) un(11.34) izmantojamās konstantes, tiek noteiktas eksperimentāli,veicot materiāla pārbaudes stiepē, spiedē un bīdē.Svarīgi ľemt vērā, ka kompozīto materiālu eksperimentālo pārbauţu rezultātiem ir raksturīgaliela izkliede. Tas apgrūtina veikt tā vai cita stiprības kritērija izvēles pamatotībukonkrētajiem kompozītajiem materiāliem.Par kompozīto materiālu stiprības īpašību īpatnībām jāuzskata tādi fakti kā šo materiālustiprības būtiska izmaiľa pat pie visai nelielas (20 – 30 0 C) temperatūras izmaiľasun stiprības izmaiľa laikā.207

12. ŠĻŪDE12.1. Būvmateriālu šļūdeDaudziem būvniecībā pielietojamiem materiāliem raksturīga īpašība ir to deformācijupieaugums laikā nemainīgas slodzes apstākļos. Šo parādību sauc par šļūdi.Lielākā vai mazākā mērā šļūde piemīt visiem konstruktīviem materiāliem. Arī metāliemnovērojama šļūde. Tēraudiem tā īpaši izteikta paaugstinātu temperatūru apstākļos,bet krāsainiem metāliem pat pie istabas temperatūrām.Šļūdes deformāciju realizēšanās dēļ kompozītos materiālos notiek spriegumu pārdalīšanāsstarp tos veidojošajām komponentēm, realizējoties principam – spriegumiempieaugot mazāk šļūdošos materiālos uz vairāk šļudošu materiālu atslogošanās rēķina.Tā, piem., dzelzsbetona konstrukciju stiegrās betona šļūdes dēļ, spriegumi pieaug 2 –2,5 reizes.att. 12.1Daţādiem materiāliem deformāciju pieaugums laikā ir atšķirīgs. Tas lielā mērā raksturojasar deformēšanās ātrumu.Līkni, kura attēlo deformācijas izmaiľu laikā konstantas slodzes rezultātā sauc par šļūdeslīkni. Šādu līkni iegūst ilglaicīga eksperimenta rezultātā. Svarīgi visā eksperimentagaitā nodrošināt nemainīgus ārējās iedarbības apstākļus: temperatūru, mitrumu, kā arījānodrošinās pret gadījuma veida grūdieniem, vibrācijām, u.c.Att. 12.1a-d parādītas daţādu materiālu šļūdes līknes. Visām šīm līknēm ir vienādsraksturs. Pie nelieliem spriegumiem šļūdes deformācijas ir proporcionālas slodzei, t.i.,konkrētā materiāla šļūdes līkľu ordinātas pie daţādām slodzēm ir proporcionālas šīmslodzēm. Šādos gadījumos sakām, ka šļūde ir lineāra.Šļūdes deformācijas lielā mērā ir atkarīgas kā no materiāla apkārtējās vides iespaida(temperatūras, mitruma), tā arī no citiem faktoriem. Piemēram, betona šļūde maināsatkarībā no ūdens – cementa attiecības, cementa un pildvielas veida, mēroga faktora,u.c. Ir materiāli, kuru mehāniskās īpašības mainās laikā neslogotā stāvoklī pie nemai-208

12. ŠĻŪDEnīgiem apkārtējās vides apstākļiem. Betona īpašību izmaiľas pamatā ir ilglaicīgi ķīmiskiprocesi cementa masā, bet plastmasās un citos materiālos – lēni notiekošie oksidēšanāsprocesi.Mehānisko īpašību izmaiľas procesu sauc par materiālanovecošanos. Novecojoša materiāla šļūde iratkarīga ne tikai no slogojuma ilguma, bet arī nonoslogojuma momenta, t.i. no materiāla vecuma noslogojumabrīdī.Att. 12.2 redzamas četras betona šļūdes līknes, kurasiegūtas noslogojot betona paraugus pēc 7, 14, 28 un90 dienām no to izgatavošanas brīţa. Līknes atbilstspriegumam = 0,1 MPa. No iegūtajiem datiem varkonstatēt, ka arī īslaicīgā deformācija mainās līdz armateriāla vecumu. Šai deformācijai ir tendenceasimptotiski samazināties sasniedzot galējo vērtību 0 . Atslogojot ilgstoši noslogotu paraugu, tā deformācijaskā momentāni, tā arī laikā samazinās (att.att. 12.212.3) līdz vērtībai . Šo procesu sauc par atgriezeniskošļūdi. Speciālā gadījumā (lineārā šļūde) iespējams, ka .= 0, t.i. pēc neierobeţotiilga laika paraugs atgūst savus sākotnējos izmērus. Šo materiāla īpašību sauc paratt. 12.3 att. 12.4elastīgo pēcdarbību.Pie lielākām slodzēm proporcionalitāte starp slodzi un deformāciju fiksētā laika momentānesaglabājas un šļūdes parādība kļūst nelineāra. Pie vēl lielākām slodzēm izmaināsarī šļūdes līkľu raksturs – tās slogojuma gaitā aizvien vairāk tiecas uz augšu. Att.12.4 redzamas simboliskas šļūdes līknes trijos atšķirīgos spriegumu līmeľos. Pirmāveida līkľu raksturīga īpatnība ir to horizontālā asimptote. Otrā veida līkľu īpatnība irslīpi orientēta asimptote, bet trešā veida līknēm nav asimptotes un tās attēlo šļūdes procesutai nozīmē, ka deformācijas sāk katastrofāli augt un noved materiāla pie sabrukuma.209

12. ŠĻŪDE12.2. Lineārā šļūdeLineāras šļūdes gadījumā, pārejot no slogojuma reţīma f t uz reţīmu af t, kur a konstants reizinātājs, iegūstam deformāciju līkni, kuras ordinātas katrālaika momentā ir a reizes lielākas.Deformācijas noteikšanai lineārās šļūdes gadījumā pie konstanta sprieguma constpielietojama sakarībat F , (12.1)kur F(t) - šļūdes līkne pie sprieguma 1, kurš pielikts laika momentā t = 0.Tūlīt pēc slodzes pielikšanas deformācija pieaug momentāni līdz noteiktai vērtībai, betpēc tam turpina pieaugt laikā.Nosacīti tiek pieľemts, ka momentāno deformāciju nosaka sakarībam / E ,kur E – materiāla momentānais elastības modulis.Pieaugot deformēšanās laikam konstantas slodzes apstākļos deformācija pakāpeniskituvojas savai galējai ilglaicīgās deformēšanās vērtībaii / H,kur H – materiāla ilglaicīgais elastības modulis.Ilglaicīgās deformācijas i vērtība raksturo materiāla šļūdētspēju. Daţādiem materiāliemšī vērtība ir atšķirīga. Tātad daţādu materiālu ilglaicīgās elastības moduļi līdzīgikā īslaicīgās elastības moduļi ir atšķirīgi. Ilglaicīgo elastības moduļu vērtības H konkrētiemmateriāliem vienmēr ir mazākas par attiecīgo materiālu momentāno elastībasmoduļu vērtībām. To mērvienības ir vienādas (Pa). Ierobeţotā šļūde dabīgos ekspluatācijasapstākļos (temperatūras, mitrums) raksturīga betonam, kokam, plastmasām un arīcitiem konstruktīviem materiāliem. Visiem šiem materiāliem H > 0. Gadījumos, ja slodze const netiek pielikta sākuma momentā t = 0, bet vēlāk, pie vērtības t , tadšļūdes līknes vispārīgais raksturs izmainās. Šai gadījumā funkcija F jāuzskata par funkcijuar diviem argumentiem: t – deformāciju novērošanas moments un - konstantāsslodzes pielikšanas moments. Līdz ar to sakarības (12.1) vietā iegūstam Ft,(12.2) Dabīgs ir pieľēmums, ka pie nosacījuma t

12. ŠĻŪDEments ir (t - ) – intervāls starp deformācijas novērošanas momentu t un slodzes pielikšanasmomentu . Šādu materiālu sauc par invariantu vai laikā nemainīgu. Laikā invariantamateriāla gadījumā ir spēkā sakarība F t (12.3)Neinvarianata materiāla ar laikā mainīgām mehāniskām īpašībām piemērs ir mazcietējisbetons. Šādam materiālam sakarība (12.3) nav pielietojama un tās vietā jālieto vispārīgākasakarība (12.2). Līkni (12.3) nosaka eksperimentāli daţādos laika momentosfiksējot ar konstantu slodzi slogotu paraugu deformācijas. Momentānās deformācijasrodas slodzes pielikšanas brīdī. Tātad šai brīdī t = un saskaľā ar sakarību (12.2) iegūstam,ka F,i un līdz ar to1 1F, E E(12.4)Tātad šai gadījumā momentānais elastības modulis E ir mainīgs lielums un ir atkarīgsno slodzes pielikšanas momenta .12.3. Šļūde mainīgu slodžu gadījumāVirknē gadījumu konstrukciju elementu slogojumi ir laikā mainīgi lielumi. Tātad rodasnepieciešamība noteikt deformācijas konstrukcijai, kura kopumā vai arī atsevišķi tāselementi slogoti ar pēc patvaļīga iepriekš uzdota likuma laikā mainīgu slodzi. Lineārāsšļūdes gadījumā var tikt izmantots superpozīcijasprincips, saskaľā ar kuru summārā deformācija novairākām slodzēm ir vienāda ar atsevišķo deformācijusummu, kuras rodas no katras slodzes atsevišķi.Vispārīgā gadījumā jebkuru patvaļīgu slodzes izmaiľaslikumu var aizstāt ar neierobeţotaskaita elementārām konstantām slodzēm, kuraspieliktas daţādos laika momentos. Katru elementāroslodzi var noteikt ar sakarību 1 att. 12.6.kur 1 pārrāvuma funkcija, kuras vērtības ir nulle,ja t < un viens, ja t > .Ar apzīmēts konstantās elementārslodzes lielums.Patvaļīgās slodzes aizstāšanas principsar elementārslodzēm parādīts att. 12.6.Slodzes izmaiľas likumu aizvietojot ar pakāpjveidalīniju, iegūstam sakarību211

12. ŠĻŪDEn i 1 ,i1ikuras precizitāte pieaug neierobeţoti samazinot slodzes izmaiľas pakāpju ilielumu.Šāds process saistīts ar slodzes pakāpju skaita pieaugumu, kurš robeţgadījumā aprakstasākotnēji uzdoto slodzes izmaiľas likumu.Tātad atbilstošās deformācijas no katras elementārslodzes tiek noteiktas ar sakarībāmiii F t, , (12.5)bet summārā deformācija tādā gadījumā būst Ft , .iiElementārās slodzes pakāpes vērtība robeţgadījumā (att. 12.6) tiecas uzd d.dIevietojot šo izteiksmi sakarībā (12.5) un summēšanas vietā pārejot uz integrēšanu,iegūstamtd t Ft, d.0dVeicot integrēšanu pa daļām, varam atbrīvoties no sprieguma atvasinājuma zemintegrāļaizteiksmē. Tā rezultātā iegūstamFt,, dt tFt 0Ft,0 Pieľemot, ka sākuma momentā t = 0 slodze ir 0 0momentam nebija noslogots, un ľemot vērā, kaiegūstamtt 1 EtF , / ,ttt Ft, t d.EŠo izteiksmi var pārrakstīt sekojošā veidā0t0, t.i. paraugs līdz šim laikat1 t t K t, d(12.6)E t 0Ft,Funkciju Kt, Et sauc par integrālās izteiksmes (12.6) kodolu. Sakarību(12.6) saīsināti var pierakstīt operatoruformā212

12. ŠĻŪDEkur 1 K E11tK Kt, d.E0(12.7)Lineārā sakarība starp spriegumiem un deformācijām formā (12.7) no analogas sakarībaselastīgam materiālam atšķiras tikai ar to, ka Huka likumā vērtība 1/E aizvietota arintegrāloperatoru 1K /E . Tas dod iespēju vienkāršā veidā risināt lineārās šļūdesteorijas uzdevumus realizējot atbilstošu elastīgās konstantes 1/E aizvietošanu ar attiecīgooperatoru. Šādu pieeju sauc par Volterra principu, saskaľā ar kuru viskozi elastīgustieľu vai stieľu sistēmu aprēķinu risinājumi iegūstami analogi elastīgiem risinājumiem,risinājuma gaitā ar integrāloperatoriem rīkojoties kā ar elastīgām konstantēm.Rezultātā iegūstam atrisinājumu funkciju reizinājuma veidā, no kurām pirmā saturelastīgas konstantes un telpiskās koordinātes, bet otrā – zināmu ārējās iedarbības raksturojumulaikā. Aizvietojot elastīgās konstantes ar attiecīgajām integrāloperatoriem unveicot nepieciešamās operācijas iegūstam nepieciešamo rezultātu.Laikā invariantiem materiāliemE K1 const,Ft t F0t, EFt Ktun deformācijas laikā nosaka sakarība1t1 t tKtd .E 0Laika sākuma momentu 0 vispārīgā gadījumā var reducēt uz - un tādā gadījumā iegūstam1 t t KtdE t(12.8)Attiecinot sākuma momentu uz - iegūstam virkni matemātiska rakstura priekšrocībuun varam ievērtēt sākuma spriegumus paraugā, kurus nosacīti var uzskatīt par slogojumasekām parauga izgatavošanas procesā.Šlūdes teorija, kura raksturojas ar sakarību (12.8), sauc par pārmantojamības šļūdesteoriju.Kā jau tika minēts, laikā invariantiem materiāliem, kodols K ir argumenta (t-) funkcija.Funkcija K t raksturo materiāla atmiľu deformācijas veidād Ktdpar laika momentā pielikto spriegumu (), kurš darbojaslaika sprīdī d.213

12. ŠĻŪDEKonstantas slodzes gadījumā const , kura pielikta laika momentā t = 0, deformācijunoteikšanai iegūstam sakarību t 1Ktdt . (12.9)E 0Izmantojot šo sakarību ilglaicīgā elastības moduļa noteikšanai, iegūstam izteiksmiH 0Ed 1K (šai sakarībā ir izmantota mainīgo substitūcija t ).Laikā neinvariantiem materiāliem ilglaicīgais elastības modulis ir konstantās slodzespielikšanas brīţa funkcija.EH . 1K t, d 12.4. Spriegumu relaksācija0Šļūdējošu materiālu konstantai deformācijai atbilst laikā dilstošs spriegums. Tas varmainīties sasniedzot vērtību nulle vai līdz noteiktai vērtībai, kuru nosaka ilglaicīgaiselastības modulis: H.Spriegumu izmaiľas līkni pie konstantas deformācijas sauc par relaksācijas līkni (att.12.7).att. 12.7t Et t Rt, dtMateriāla lineārajā deformēšanās diapazonā ir spēkāsakarība Gt t , .Ar apzīmēts moments, kurā momentāni tika realizētaturpmākajā laikā nemainīga deformācija .Gadījumā, ja deformācija nav konstanta, bet maināspēc uzdota likuma, tad līdzīgi kā šļūdes gadījumā,izmantojot superpozīcijas (uzklāšanās) principu,var iegūt formulu , (12.10) 0kurā ir izmantoti apzīmējumi Gtt Et1 G t,, ; Rt, ).E t214

12. ŠĻŪDEVar pārliecināties, ka izteiksme (12.10) ir vienādojuma (12.6) atrisinājums attiecībā uz t pie uzdotās t funkcijas. Funkciju t,(12.7) ar kodolu K t, rezolventi.R sauc par integrālvienādojumaLaikā invariantiem materiāliem relaksācijas funkcija G ir atkarīga tikai no argumentat . Līdz ar toG t Gun izteiksmes (12.10) vietā iegūstamt ERtt E t Rtdt . 0Rezolventi R t, un kodolu t,K saista sakarība, kuru var iegūt ievietojot izteiksmi(12.10) formulā (12.7):Kt Rt, R, Kt,t, d.No šī integrālvienādojuma var noteikt rezolventi uzdotā kodola gadījumā vai arī kodolu,ja zināma rezolvente. Tas veicams izmantojot skaitliskās metodes.12.5. Integrālvienādojumu kodoliK uzdevums ir pietiekami precīzi atspoguļotkonkrētā materiāla atmiľu par tā noslogotības procesu un ievērtēt sekas deformācijuveidā no patvaļīgā laika momentā pieliktā sprieguma. Daţādiem materiāliem funkcijasK t var būt daţādas. Šai funkcijai jānodrošina pietiekami precīza materiālaeksperimentālās šļūdes līknes aproksimācija. Vieni no vienkāršākajiem kodoliem ireksponentfunkcijas. Virknei materiālu varam aprobeţoties ar divparametru funkciju:Integrālvienādojuma (12.8) funkcijas t tt AeK . (12.12)Šai gadījumā aproksimācijas parametri ir divas konstantes (A un α ). Lai precīzāk ievērotušļūdējoša materiāla īpašības, tiek izmantoti kodoli eksponentfunkciju summasveidāKkur 0.nt A iexp ti ,i1iŠai gadījumā aproksimācijas parametru skaitu var neierobeţoti palielināt un tādā veidāmaksimāli nodrošināt eksperimentālo līkľu aproksimācijas precizitāti visā slogojumalaika diapazonā.Bieţi sastopamas arī cita veida kodola funkcijas:215

12. ŠĻŪDE216K t At vai t At t1kur 0 1.K exp ,Ievietojot eksponentkodolu vienādojumā (12.8) un pēc tam to diferencējot pēc t, iegūstamsekojošu vienādojumu sistēmuE AettE Ae0tt0etNo šiem vienādojumiem izslēdzoted,tt0d Aed, iegūstamE E A. (12.12)Šo vienādojumu atrisinot kā pirmās kārtas diferenciālvienādojumu, iegūstamtA t A ( t) E E e d Ce . (12.13)0Patvaļīgā konstante C ir nosakāma no sākuma nosacījuma 0 0. No šī nosacīju-C . Gadījumā, ja sākuma momentā nav pielikti spriegumi ,ma seko, ka0sakarību (12.13) iegūstam sekojošā formāt A tE E e d. 0Veicot integrēšanu pa daļām, iegūstam sakarību:Att E tA et0d .Tātad rezolvente eksponentkodola gadījumā arī ir eksponentfunkcija:RAtt Ae0 0Diferenciālvienādojumu (12.12) var pārveidot formāEn H n , (12.14)kur H – ilglaicīgās elastības modulis, kas atbilst ļoti lēnam deformēšanās procesam,kurā deformācijas un sprieguma izmaiľas ātrumu var neľemt vērā salīdzinot ar pārējiemvienādojuma (12.14) locekļiem. Ļoti ātru procesu gadījumā gluţi otrādi var atmestsaskaitāmos, kuri satur un . Tā rezultātā iegūstam sakarību starp deformācijasun sprieguma izmaiľas ātrumiem Huka likuma formā.Konstante n raksturo sprieguma dzišanas ātrumu pie nosacījuma 0 un tiek saukta

12. ŠĻŪDEpar relaksācijas laiku. Salīdzinot vienādojumus (12.12) un (12.14) varam konstatēt, kaH E; n 1 A A; HnE; A E 1.nEIzmantojot difeneciālvienādojumu (12.14) ērti risināt virkni ar materiāla šļūdi saistītuuzdevumu. Šādi risinājumi ir daudz vienkāršāki par tiem, kuros tiek izmantoti integrālvienādojumiar eksponentkodoliem.12.6. Materiāla struktūras modeļiUzskatāmu priekšstatu par šļūdes un relaksācijas mehānismiem daudzkomponentu materiālossniedz vienkāršoti šo materiālu modeļi, kuri veidoti no daţādos veidos savstarpējisavienotiem elementāriem elastīgiem un viskoziem elementiem. Uz elastīgo elementu(att. 12.8a) tiek attiecināts Huka likums, t.i. lineārs sakars starp deformācijām un spriegumiem :ekur E ,e e/eE –elementa elastības koeficients.Viskozajam elementam (att.12.8b) tiek piekārtota spēja deformētiesar zināmu ātrumu v,kurš ir proporcionāls spriegumamšai elementā: K ,v v/kur K – viskozā elementa viskozitāteskoeficients.att. 12.8Vienkāršākās kombinācijas noviena elastīgā un viskozā elementa veido tā saucamo Maksvela modeli (abi elementisavienoti virknē, sk. att. 12.8c) vai Foigta modeli (abi elementi savienoti paralēli, sk.att. 12.8d).Maksvela modeļa gadījumā varam sastādīt šādu vienādojumu sistēmu: Kv; E e; e v.Izslēdzot no šiem vienādojumiem deformācijas vun e, iegūstam pirmās kārtas diferenciālvienādojumu,kurš saista uz modeli darbojošos spriegumu un tā radīto modeļadeformāciju : n K (12.15)Koeficienta n K / E mērvienība ir laika mērvienība un Maksvels šo koeficientu nosaucapar relaksācijas laiku.Foigta modeļa gadījumā vienādojuma sistēma ir217

12. ŠĻŪDE eE; K ; v e v.Izslēdzot mainīgos un , iegūstam diferenciālvienādojumuev E K . (12.16)Veicot abu vienkāršāko modeļu deformēšanās nosacījumu analīzi, varam secināt, ka šomodeļu īpašības visai nepilnīgi atbilst reālu šļūdējošu materiālu īpašībām. Tā, piemēram,vienādojums (12.15) nosaka konstantu deformēšanās ātrumu konstanta spriegumagadījumā. Tas ir iespējams tikai ļoti speciālā gadījumā. Savukārt vienādojums(12.16) neapraksta sprieguma relaksāciju konstantas deformācijas gadījumā.Vispārinot Maksvela un Foigta modeļus, iespējams izveidot sareţģītākus struktūrasmodeļus. Pievērsīsimies att. 12.8 e,f parādītajiem modeļiem.Shēmu kustības vienādojumu sistēmas ir sekojošas:Shēma 12.8e Shēma 12.8fv e2ve2 e1 e 1 e2 K ; E ; 1vvE 1 e1e 2 e2e2v e2 v e1 e1 v e2K ; E ; 1vvE 1 e1e 2 e2e2Izslēdzot no šīm sistēmām lielumus ar indeksiem, abos gadījumos iegūstam diferenciālvienādojumus,kuri reducējami uz vienādojumuEn H n (12.17)Atšķirīgas vienīgi ir vienādojuma koeficienta vērtības. Shēmas (att. 12.8e) gadījumāE E ;n K E E E ; E ,1H E1E2/1 2/bet shēmas (att. 12.8f) gadījumāE E ; E .1 E2H E1;n K /Vienādojums (12.17) daudzos gadījumos pietiekami precīzi apraksta šļūdes un relaksācijasprocesus.Vēloties paaugstināt materiāla īpašību apraksta precizitāti, varam izveidot aizvienkomplicētākas struktūras modeļus ieslēdzot tajos papildus elastīgos un viskozos elementus.Visiem šādiem modeļiem atbilst diferenciālvienādojumu vispārīgā formanmi j ,a ibi0 i0jkurā vienādojuma kārtu nosaka viskozo elementu skaits modelī. Atrisinot šos vienādojumusattiecībā pret deformācijām vai spriegumiem, iegūsim materiāla šlūdes vai relaksācijasintegrālvienādojumu, kuru kodols un rezolvente ir eksponentfunkcija ar argumentut summa.212218

12. ŠĻŪDE12.7. Nelineāra šļūdeEksistē vairāki paľēmieni nelineāro šļūdes teorijuizveidošanai. Šļūdes nelinearitāte raksturīga relatīvilielu spriegumu gadījumos. Viena no vienkāršākajāmmetodikām ir gabaliem lineāras aproksimācijasmetode. Kaut arī šī metode ir visai tuvināta,tā tomēr dod iespēju spriest par materiālašļūdi daţādos deformēšanās diapazonos.Daţādām deformēšanās stadijām tiek piekārtotiatšķirīgi diferenciālie vienādojumi. Laikā invariantiemmateriāliem var tikt izmantoti vienādojumi:pirmā deformēšanās stadijanE H n (12.18)otrā deformēšanās stadijanE n (12.19)Parametrs tnosaka sprieguma vērtību, kuru varatt. 12.9nosaukt par tecēšanas robeţu.Pirmā deformēšanās stadija ir lineāra un atbilst vienādojumam (12.8). Konstanta spriegumagadījumā const iegūstam šļūdes līkni eksponetfunkcijas veidā (12.9a):t 1 / E 1/H 1/EexpHt / nE (12.20)Otrajā deformēšanās stadijā slodzes, kuru rezultātākonstantu ātrumu / nE(att. 12.9.b).Pārejas robeţa starp pirmo un otro deformēšanās stadiju ir nosacījumstt , izraisa deformēšanos ar 1 / H const(12.21)tDivām iepriekšējām var pievienot arī trešo deformēšanās stadiju, kuru apraksta vienādojums:nE B n (12.22)Robeţu starp otro un trešo deformēšanās stadiju nosaka izteiksme B const / .2stTstParametrs B raksturo negatīvu elastības moduli trešajā nestabilajā deformēšanās stadijā,bet ir sprieguma vērtība, kura nosaka priekšsabrukuma nestabilā procesa sākumu.stJāatzīmē, ka pieminētā pārmantojamības šļūdes teorija visai precīzi atspoguļo sakarības219

12. ŠĻŪDEstarp spriegumiem un deformācijām daudziem viskozi elastīgiem materiāliem ierobeţotāspriegumu diapazonā. Ārpus šāda spriegumu diapazona vispārīgu sakarību, kuraspietiekami precīzi varētu aprakstīt daţādu materiālu deformēšanās procesus pie daţādāmtemperatūrām un daţādiem spriegumu izmaiľas nosacījumiem nav. Šādu situācijuvar izskaidrot ar to, ka nelineārās šļūdes (un tieši ar tādu šai gadījumā mums ir darīšana)parādība ir ārkārtīgi sareţģīta un ir atkarīga no daudziem faktoriem. Inţenieru aprēķinostiek lietotas vienkāršotas uz papildus hipotēzēm balstītas teorijas. Pie tādāmpieskaitāmas: vecošanās teorija, tecēšanas teorija, pastiprināšanās teorija.Pievērsīsimies īsam to raksturojumam.Vecošanās teorija. Saskaľā ar šo teoriju kopējās materiāla deformācijas jebkurā laikamomentā sastāv no īslaicīgām, kas atbilst spriegumiem, kuri nepārsniedz proporcionalitātesrobeţu, un laikā mainīgām deformācijām, kuras nosaka sprieguma un laika divargumentufunkcija. Parasti šo funkciju sadala divās, no kurām viena ir tikai spriegumafunkcija, bet otra – tikai laika funkcija. Sprieguma funkciju bieţi vien pieľem pakāpjufunkcijas veidā: f m.Tātad saskaľā ar vecošanās teoriju, deformācijas tiek noteiktas ar sakarību: m t, (12.23)Etiek uzskatīts, ka šāda sakarība ir spēkā arī mainīgu spriegumu gadījumos.Svarīgi ľemt vērā, ka jēdziens „vecošanās teorija‖ nekādi nav saistīts ar materiāla novecošanāsprocesu.Tecēšanas teorija. Šī teorija balstīta uz sakarībām starp deformēšanās ātrumu unsprieguma izmaiľas ātrumu, pašu spriegumu un slogojuma laiku. Tātad tiek pieľemtasakarība , t. (12.24)EŠī sakarība ir spēkā pie ne pārāk maziem šļūdes ātrumiem un lēniem monotoni mainīgiemspriegumiem.Gadījumos, kad šļūdes deformācija būtiski pārsniedz elastīgās deformācijas, sakarība ,t .(12.24) reducējas uz Tādā gadījumā, kad funkcija ,t nav atkarīga no laika, pēdējā sakarība nosakastabilizējošās šļūdes procesu un šļūdējošo ķermeni var uzskatīt par nelineāri viskozušķidrumu.Savas vienkāršības dēļ vecošanās un tecēšanas teorijas plaši tiek izmantotas inţenieraprēķinos.Pastiprināšanās teorija. Ar pastiprināšanos tiek saprastas tādas šļūdes deformācijuuzkrāšanās rezultātā notiekošas materiāla izmaiľas, kuras izraisa šļūdes ātruma samazināšanospie dotiem spriegumiem un temperatūras. Vienkāršākajā gadījumā par pastiprināšanāsmēru tiek izmantota šļūdes deformācija šļ . Tiek izmantota sakarība220

12. ŠĻŪDE š, E . (12.25)Funkciju , šļbieţi izmanto sekojošā formā p f š, .šPastiprināšanās teorija ne pārāk sareţģītu ārējās slodzes izmaiľas likumsakarību gadījumosvisai apmierinoši apraksta materiāla šļūdi.12.8. Materiāla ilglaicīgā stiprībaIlglaicīgas ekspluatācijas apstākļos būvmateriāliem bīstams faktors ir ne tikai deformācijupieaugums laikā, bet arī iespēja sabrukt pēc noteikta laika pie spriegumiem, kurinav bīstami īslaicīga slogojuma apstākļos. Šāda situācija liek pētīt un ievērtēt šlūdējošamateriāla stiprību laikā. Ilglaicīgās stiprības raksturlielums ir ilglaicīgas stiprības robeža il – minimālais nepārtraukti darbojošais konstantais spriegums, pie kura materiālssabrūk noteiktā laika brīdī.Materiāla sabrukumam laikā var būt divējāds raksturs – trausls vai viskozs. Trauslasabrukuma pamatā ir defektu uzkrāšanās un plaisu attīstība starp polikristālisku materiālugraudainās struktūras elementiem. Viskoza rakstura sabrukums veidojas šo struktūruelementu iekšienē. Iespējami arī jaukta veida sabrukuma gadījumi, kad sabrukumiveidojas kā pie struktūras elementu virsmām, tā arī pašos elementos. Vienam un tampašam materiālam sabrukuma raksturs var mainīties atkarībā no slogojuma veida.Zemākiem sprieguma līmeľiem, tātad ilgākam materiāla noslogotības laikam, raksturīgasmazākas robeţdeformācijas un trausls sabrukums.Laiku no materiāla noslogošanas līdz tā sabrukumam sauc par ilglaicību. Katrai laikānemainīgai sprieguma vērtībai atbilst sava ilglaicības vērtība. Augstākām spriegumavērtībām atbilst īsāka ilglaicība.Materiāla ilglaicīgās stiprības robeţas un ilglaicības funkcionālo sakarību attēlo divitaisni nogrieţľi logaritmiskās vai puslogaritmiskās koordinātu asīs. Kreisajam taisnesnogrieznim (augstākiem sprieguma līmeľiem) atbilst viskozs sabrukums, bet labajamtaisnes nogrieznim – trausls sabrukums. Att. 12.10 redzami tērauda pie T = 525 0 C ilglaicīgāsstiprības eksperimentāliedati un tosaproksimējošie divikrustiski taisnes nogrieţľi.Pārejas punktsdaţādiem materiāliemvar būt vairāk vai mazākizteikts un tā rajonāvērojama līklīnijas veidapārejas zona. Atsevišķosgadījumos pār-att. 12.10ejas posma vispār nav.Prakse rāda, ka ilglaicīgās stiprības līkni varam uzskatīt par rimstošu. Tas nozīmē, ka221

12. ŠĻŪDEeksistē spriegumi, pie kuriem materiāls nesabrūk nekad (precīzāk būtu teikt – reālāsekspluatācijas laikā). Betonu izstrādājumiem tiek pieľemts, ka pietiekami ilgam noslodzeslaikam (50 .. 70 gadi) ilglaicīgās stiprības robeţa sastāda 80 % no īslaicīgās betona(prizmatiskās) stiprības B .Polimēru bāzes kompozītie un kokmateriāli bieţi tiek ekspluatēti istabas temperatūrāmatbilstošos apstākļos un tiem raksturīgs visai plašs ilglaicīgās stiprības diapazons. Tā,piemēram, priedes ilglaicīgās stiprības robeţa attiecībā pret īslaicīgo stiprību spiedē(44 MPa / 76 MPa) un stiepē (56 / 114,5) šķiedru virzienā attiecīgi sastāda 58 % un 50%. Līdzīgi arī no plānām lobīta bērza kārtām veidotām slāľainām plātnēm DSP – Vilglaicīgās stiprības robeţa ir 75 MPa, bet īslaicīgā stiprība – 148 MPa.Par vienvirziena epoksīda stiklaplastu ilglaicīgās stiprības īpašībām liecina pie istabastemperatūras eksperimentāli iegūtie dati:, MPa t (h) pie T = 20 0 C t (h) pie T = 80 0 C780 0 -624 1 -546 27 0,3468 4872 85Prognozējot materiāla ilgizturību bieţi tiek izmantotas pakāpes vai eksponentveida sakarības a t a exp b .t vai Svarīgi ľemt vērā, ka materiālu ilgizturība strauji samazinās paaugstinoties ekspluatācijastemperatūrai. Sevišķi tas attiecas uz zemākajiem spriegumiem. Tā, piem., vienvirzienastiklaplastam izmainoties temperatūrai par 60 0 ilgizturība pie sprieguma 0, 7 Bsamazinājusies 30 reizes, bet pie sprieguma 0, 6Bpat 57 reizes.222

13. MATERIĀLA NOGURUMSDaļa no būvju elementiem ekspluatācijas gaitā tiek pakļauti laikā mainīgas slodzes iedarbībai.Gadījumos, kas šādu slodţu izraisītie spriegumi pārsniedz noteiktu robeţu,materiālā realizējas neatgriezeniski procesi, kuru rezultātā veidojas plaisas. Savukārtspriegumu koncentrācija uz plaisu malām veicina to atvēršanos. Parasti plaisas sāk veidotiesuz darinājuma ārējām virsām un izplatās tā dziļumā. Šāds process novājina konkrētošķēlumu un laika gaitā plaisām sasniedzot kritisko garumu, detaļa vai būvelementssabrūk, pie kam sabrukums notiek bez izteiktām paliekošām deformācijām patplastiska materiāla gadījumā. Jau 19. gs. tika novērots, ka mašīnu detaļas, kuras bijapakļautas mainīgas zīmes slodzēm, pēkšľi sabruka pie spriegumiem, kuri stipri mazākipar attiecīgā materiāla stiprības robeţu. Šādu situāciju laikā daudzkārt mainīgu spriegumuiedarbības rezultātā var uzskatīt par tādu materiāla īpašību izmaiľu kura raksturojasar jēdzienu „nogurums‖.Par materiāla nogurumu sauc pakāpenisku bojājumu uzkrāšanos procesu laikā mainīgasprieguma iedarbībā, kura rezultātā materiālā attīstās plaisas un iestājas sabrukums.Materiāla spēju pretoties šim procesam (nogurumam) sauc par izturību. Pētot nogurumaizraisītā materiāla sabrukuma fiziku tiek pieľemts, ka tā cēlonis ir materiālastrukturālā neviendabība. Šīs neviendabības raksturs daţādiem materiāliem vērojamskā mikro– tā arī makroskopiskā līmenī. Mikroskopiskās neviendabības pamatā ir materiālukristāliskā struktūra. Tā tas ir metāliem, bet nemetāliskiem materiāliem neviendabībavērojama molekulārajā līmenī. Šķiedrveida un kompozītiem materiāliem ir raksturīgamakroskopiskā neviendabība.Noguruma veida sabrukuma mehānisms metāliem saistīts ar to atsevišķo graudu izmēruun formas gadījuma raksturu, to kristalogrāfisko orientāciju, kā arī gadījuma veidadefektu un piejaukumu klātbūtni. Šādos apstākļos metālā pie mainīgiem spriegumiem,kuri makroskopiski pat nepārsniedz elastības robeţu, atsevišķos nelabvēlīgi orientētosgraudos rodas plastiskās deformācijas, kuras saistītas ar atsevišķu graudu nobīdi pakristalogrāfiskajām plaknēm. Pie noteikta sprieguma līmeľa daţos no kristāliskajiemgraudiem notiek sabrukums, kā rezultātā veidojas mikro plaisa pa kādu no grauda slīdamībasplaknēm. Plaisu veidošanās saistīta ar bīdes spriegumiem, bet to attīstība arnormālspriegumiem. Radušos mikro plaisu saplūšana veido makro plaisu attīstībai labvēlīgusapstākļus. Šādu procesu paātrina sākotnējo defektu klātbūtne.Kaut arī ir veikti visai daudzveidīgi pētījumi par daţādu materiālu izturību, tomēr jāsecina,ka cietu deformējamu ķermeľu stiprības fizikālā teorija pagaidām vēl nav attīstījusiestik tālu, lai uz tās pamata radītu izturības aprēķinu metodes. Līdz ar to pagaidāmnoguruma stiprības teorija attīstās uzkrājot eksperimentālus datus, uz kuru pamata iespējamsformulēt izturības aprēķina likumsakarības.13.1. Cikliska sprieguma raksturlielumiMateriāla noguruma stiprība mainīgu spriegumu gadījumā ir atkarīga no spriegumstāvokļaveida un no sprieguma izmaiľas laikā rakstura. Pievērsīsimies vienasīgam spriegumstāvoklim.Par sprieguma ciklu uzskatīsim vienreizēju to nomaiľu viena perioda223

13. MATERIĀLA NOGURUMSgarumā. Regulāru un monotonu sprieguma izmaiľu laikā varam aprakstīt ar sakarību sin wt(13.1) 0Sakarībai (13.1) atbilst att. 13.1a attēlotais grafiks.Tātad spriegumi laikā periodiskimainās, pēc laika sprīţa T sasniedzotto pašu vērtību (T periods).Daţādiem spriegumu izmaiľas likumiematbilst daţāda veida cikli.Iepriekšminētais cikls ir simetrisks.To raksturo pēc absolūtās vērtībasvienādi ekstremālie (maksimālie unminimālie) spriegumi. Gadījumā,kad cikliskā slodze summējas arkonstantu ass spēku izraisītu spriegumu,maiľas likumu apraksta sakarībakur N 0sin wt , NNA.Atkarībā no ass spēka N lielumanormālsprieguma izmaiľas grafikilaikā var būt att. 13.1b,c,d parādītāstrīs atšķirīga rakstura periodiskasatt. 13.1līknes. Šāda veida spriegumu izmaiľulikumsakarības sauc par asimetriskiemcikliem. Šādiem cikliem ir tipisks nosacījums – maksimālo un minimālospriegumu absolūtās vērtības nav vienādas. Gadījumā, ja maxun minzīmes ir atšķirīgas,cikli ir maiľzīmju, bet ja to zīmes ir vienādas, lietojam apzīmējumu vienzīmjuasimetrisks cikls. Gadījumos, kad vienā no ekstremālām sprieguma vērtībām ( vaimin) ir nulle, ciklu sauc par pulsējošu (piem., att. 13.1c).Jebkuru spriegumu ciklu var raksturot ar diviem parametriem V max min/2vai 0 maxmin/2, t.i. ar konstantu cikla vidējo spriegumu Vun cikla amplitūdu0.Maksimālā un minimālā sprieguma starpību sauc par sprieguma atvēzienu, bet to attiecību / min max r par cikla asimetrijas koeficientu. Pulsējošiem cikliem r 0 , betsimetriskiem r 1. Ciklus ar vienādām koeficienta r vērtībām sauc par līdzīgiem.max224

13. MATERIĀLA NOGURUMS13.2. Materiālu noguruma un izturības robežas eksperimentāla pārbaude.Materiāla izturības robeţas noteikšanai tika pielietotas daţādas konstrukcijas pārbaudesmašīnas, kuras pieļauj daţāda veida deformāciju pārbaudes: lieci, vērpi, stiepi – spiedi.Pārbaudes mašīnu konstrukcijas atšķiras ar slodzes padeves principu uz paraugu. Šīsmašīnas var būt inerces, hidrauliskās vai ar mehānisko padevi.Parasti izturības pārbaudēs izmanto rūpīgiapstrādātus, pilnīgi vienādus paraugus,kuru skaits nav mazāks par 30. Parauguforma atkarīga no deformācijas veida.Plakana parauga forma, kurus izmantopārbaudei uz lieci parādīta att. 13.2a , betparauga forma, kuri tiek pārbaudīti stiepē– spiedē, att. 13.2b.Svarīgi ľemt vērā, ka palielinot paraugudiametru no d = 6 – 7 mm līdz d = 160 –200 mm konstruktīvo tēraudu izturībasrobeţa pazeminās par 30 – 40 %.Materiāla izturības galvenais raksturlielumsir eksperimentāli noteikta nogurumalīkne. Tā ir līkne, kura saista ciklumaksimālo sprieguma vērtību maxarciklu skaitu N, kuru izturējis materiālsatt. 13.2pirms sabrukšanas. Tādas līknes piemērsparādīts att. 13.3. Noguruma pētījumitiek veikti ar speciālām pārbaudes mašīnām, kuras piemērotas lieces, vērpes, stiepes –spiedes vai arī saliktajam spriegumstāvoklim.att. 13.3Pirmo noguruma pārbauţu mašīnu XIX gs. vidū konstruēja vācu zinātnieks A. Vēlers.Par godu šim zinātniekam materiāla noguruma līknes (att. 13.3) tiek sauktas par Vēleralīknēm. Šo līkľu iegūšana ir ļoti darbietilpīgs process. Tiek pārbaudīti ne mazāk kādesmit materiāla paraugi pie vienas konstantas spriegumu amplitūdas 0. Katrs paraugstiek pārbaudīts pie vienassprieguma amplitūdas līdz sabrukumamvai ciklu bāzes skaitlim(iepriekš uzdots cikluskaits). Pirmā paraugu grupatiek pārbaudīta pie sprieguma 00, 7 . PakāpeniskaB sama-sprieguma amplitūdas0zināšana noved pie materiālailgizturības (ciklu skaita līdzsabrukumam) pieauguma. Tā kāciklu skaits samazinot 0aug225

13. MATERIĀLA NOGURUMSstrauji, tad konstruējot Vēlera līkni tiek lietota puslogaritmiskā koordinātu sistēma.Spriegumu r, pie kura Vēlera līknē iegūst horizontālu raksturu sauc par izturības robeţu.Simetriskos ciklos šo robeţu apzīmē ar 1.Daţiem materiāliem (piem. oglekli saturošiem tēraudiem) noguruma līknē parādās horizontālādaļa, bet leģētiem tēraudiem un krāsainiem metāliem šāda posma nav. Tasnozīmē, ka otrajā gadījumā nav iespējams noteikt to ciklu skaitu, pēc kura materiālsvairs nesabrūk. Tādos gadījumos par cikla bāzes skaitli tiek pieľemts N = 10 8 un parmateriāla izturības robeţu tiek pieľemts tas mazākais cikla maksimālais spriegums piekura notiek sabrukums. To apzīmē ar .2261NSvarīgi ľemt vērā, ka noguruma pārbauţu rezultātiem ir liela izkliede un rezultātu ticamībasnodrošināšanai ir nepieciešams pārbaudīt daudz paraugu. Eksperimentāli konstatēts,ka metāliem ir spēkā sakarība 10,4...0,5B, bet krāsaino metālu izturībasrobeţa mainās diapazonā 0,25 0,5 , kur B- materiāla stiprības robeţa. BDaţādiem slogojuma veidiem izturības robeţas ir atšķirīgas.13.3. Robežspriegumu diagramma.Lai raksturotu materiāla pretestību mainīgu spriegumu iedarbībai daţādos cikla asimetrijasgadījumos, tiek konstruēta robeţsprieguma diagramma (Smita diagramma). Konstruējotšo diagrammu uz vertikālās ass tiek atlikti cikla maksimālais un minimālaisminspriegumi, bet uz horizontālās ass – cikla vidējais spriegums V. Robeţlielumir, r minun rVfiksētu ciklu parametru gadījumā tiek noteikti eksperimentālikonstruējot noguruma līknes.unatt. 13.4maxParasti robeţspriegumu diagrammas konstruēšanuuzsāk veicot materiāla pārbaudessimetriskā ciklā ( 1). Šai gadījumārobeţspriegums būs izturības robeţa 1un , 0 .1max 1,1min11vŠādam ciklam diagrammā (att. 13.4) atbilstpunkti A 1 un B 2 uz ordinātu ass.Pārbaudot dotā materiāla partiju pie uzdotamaxsimetrijas koeficienta , nosakāmminlielāko un mazāko sprieguma vērtības, piekurām materiāls strādā uz izturības robeţas , t.i., rr max r,r min r r

13. MATERIĀLA NOGURUMSrv 2 .r max r minDiagrammā iegūstam punktus A 2 un B 2 , kuru abscisa ir rv, bet ordinātas atbilstošir maxun r min. Rīkojoties analogi citu r vērtību gadījumā iegūstam punktus A 3 B 3 ,A 4 B 4 , u.t.t. Savienojam iegūtos punktus ar gludu līkni. Diagrammas galējais punkts Datbilst ciklam, kad max minvun r = 1. Tas ir konstantas slodzes gadījums. Robeţspriegumavērtība šai gadījumā ir materiāla robeţstiprība st. Līdz ar to punkta Dabscisa un ordināta ir vienāda ar materiāla robeţstiprību.Tātad līnijas A 1 D ordinātas atbilst materiāla izturības robeţai daţādām asimetrijas koeficientar vērtībām.Stari, kuri savieno diagrammas koordinātu sākumpunktu ar kādu no līknes punktiem irto punktu ģeometriskā vieta, kuri raksturo ciklus ar vienādu asimetrijas koeficientu r, jomax2max2tg . 1rvmaxminLai aprēķinātu materiāla izturības robeţu, fiksēta asimetrijas koeficienta gadījumā, ariepriekš minēto sakarību nosakām leľķi un novelkam attiecīgu staru līdz tā krustpunktamar līniju A 1 D. Krustpunkta ordināta ir izturības robeţa rkonkrētā slogojumagadījumā.13.4. Materiāla izturību iespaidojošie faktoriMateriālu izturība atkarīga no tādiem faktoriem kā: spriegumu koncentrācija, detaļasizmēri, virsmas stāvoklis, temperatūra, materiāla ķīmiskais sastāvs, apkārtējā vide,kristālu orientācija u.c.Ľemot vērā, ka visvairāk izpētītie ir simetriska slogojuma tipa cikli (r = -1), par izturībasrobeţas etalonu pieľemts uzskatīt gludi pulētu paraugu ar diametru 7 – 10 mm stiprībasrobeţu 1.Daţādu faktoru iedarbības radīto novirzi no šīs vērtības uzskata par šī faktora iedarbībasmēru uz materiāla izturības robeţu.Spriegumu koncentrācijas vietās parādās noguruma plaisas. Spriegumu koncentrācijascēlonis var būt caurums, vītnes, noapaļojums, gropes, u.c.Tiek lietoti teorētiskie un efektīvie kkoncentrācijas koeficienti stiep – spiedē, vaiatbilstoši un kbīdē.Izotropu un elastīgu materiālu gadījumā teorētisko koncentrācijas koeficientu nosakasakarība ,max nNkur n- nominālais spriegums, kurš noteikts izmantojot šķēluma bruto laukumuA227

13. MATERIĀLA NOGURUMSA (t.i. laukumu, kurš nav samazināts cauruma vai cita veidojuma dēļ).Sprieguma efektīvo koncentrācijas koeficientu nosaka parauga bez sprieguma koncentrācijasizturības robeţas un analoga parauga vai detaļas ar koncentratoru izturības robeţasattiecība.Tātad normālspriegumu gadījumā228k / 11k, bet bīdes spriegumu gadījumāk / 11k( 1un 1- gludu paraugu izturības robeţas, bet 1kun 1k- izturībasrobeţas paraugiem ar spriegumu koncentratoriem).Efektīvie koncentrācijas koeficienti ir mazāki par teorētiskajiem un šī atšķirība tiekraksturota ar jutības koeficientu:k1q . 1Jo augstākas materiāla mehāniskās īpašības, jo jutības koeficienta vērtība tuvāka vienam.Tā augstas stiprības tēraudiem q 1.Zinot materiāla jutības koeficientu, varam noteikt sakarību starp teorētisko un efektīvospriegumu koncentrācijas koeficientu:k 1q 1 .Eksperimentālie pētījumi pierāda, ka palielinot paraugu izmērus, samazinās to izturībasrobeţa. Pieľemot paraugu ar diametru 10 mm par etalonu un šī parauga mēroga koeficientupar vienu, sakarību starp parauga diametru un mēroga koeficientu raksturo tabulāapkopotie dati.Paraugu diametrs, mm 10 20 30 40 50 100 150 200Mēroga koeficients 1 0,93 0,87 0,82 0,78 0,65 0,58 0,55Atkarībā no paraugu virsmas apstrādes mainās parauga izturības robeţa, pie kam joizteiktāk, jo augstāka ir materiāla stiprības robeţa. Caurmērā pulētu (augstas kvalitātesapstrādātu) parauga izturības robeţa ir par 20 – 30 % augstāka kā neapstrādātiem paraugiem.Visai būtiski materiāla izturības robeţu iespaido slogojuma reţīms. Reālos ekspluatācijasapstākļos atsevišķi elementi tiek pakļauti nepārtrauktām slogojuma izmaiľām. Slodzesfrekvenču diapazons var mainīties no daţām svārstībām mēnesī līdz vairākiemtūkstošiem ciklu sekundē. Augstas frekvences slodţu gadījumos (virs 10 3 cikli sekundē)izstrādājumu izturība paaugstinās. Zemas frekvences slodţu gadījumā paspēj attīstītiescikla paliekošās deformācijas un sagatavot nākamā cikla plaisu attīstību. Šādsslogojuma veids ir vairāk bīstams. Vēl bīstamāki ir gadījumi, kad zemas frekvencescikliem (n = 10 cikli/min) tiek uzklāti augstfrekvences cikli (n > 2000 cikli/min). Šādosgadījumos materiāla ilglaicība samazinās vairāk kā 2 reizes.Ir konstatēts, ka paaugstinoties ekspluatācijas temperatūrai, izturības robeţa samazināsun otrādi. Paaugstinātu temperatūras apstākļos, izturības līknēs nav novērojami horizontālieposmi.Eksperimentālo pētījumu rezultātā konstatēts, ka katrs no tērauda piemaisījumiem (ogleklis,niķelis, hroms, varš, vanādijs, bors, fosfors) paaugstina tā noguruma stiprību, pie

13. MATERIĀLA NOGURUMSkam tas notiek proporcionāli tam, kā pieaug materiāla stiprības robeţa.13.5. Noguruma stiprības diagrammaAr mērķi noteikt noguruma reţīmā strādājoša materiāla stiprības rezerves koeficientun r , tiek konstruēta noguruma stiprības diagramma.att. 13.5To veic sekojošā veidā. Tiek eksperimentāli pārbaudīta vienādas kvalitātes paraugugrupa daţādu cikla simetrijas gadījumiem. Uz abscisu ass ( ) atliekam materiāla stiprībasrobeţu B, uz ordinātu ass ( a) atliekam izturības robeţu 1, kura atbilst visbīstamākajamciklu veidam – simetriskam. Pārbauţu rezultātā iegūstam punktus, kurusaproksimējošā līkne AB veido noguruma stiprības diagrammu.Iegūtā diagramma ļauj spriest par konstrukcijas, kura atrodas cikliskas slodzes iedarbībasapstākļos, stiprību. Gadījumos, kad punkts atrodas zemāk par līkni AB, varam secināt,ka attiecīgā detaļa dotajā reţīmā saglabās izturību pie neierobeţota ciklu skaita.Ērtības labā līkni AB aizstāj ar taisni, tādā veidā radot zināmu stiprības rezervi. Līdz arto noguruma stiprības diagrammu iespējams uzkonstruēt neveicot plašus eksperimentāluspētījumus, bet aprobeţojoties tikai ar materiāla stiprības robeţu Bun izturībasrobeţu simetriska cikla gadījumā 1.Noguruma stiprības rezerves noteikšanai izmanto attiecību, kura veido nogrieţľu garumi(att. 13.5) OC un OD.ODRezerves koeficientu n r nosaka vai nu grafiski vai arī analizējot aprēķinu sakarības,kuras iegūtas analizējot noguruma stiprības diagrammu.OCNovelkot taisnei AB paralēlo caur punktu C, un izmantojot trīsstūru OAB un FCL līdzību,varam konstatēt, ka FL FC OB/OA.Tā kā OD OB , tad rezerves koeficientu nOC OLr normālsprieguma gadījumā nosakasakarība1n r .v1aBv229

13. MATERIĀLA NOGURUMSAnaloga sakarība iegūstama arī bīdes sprieguma gadījumā1n r .v1aBStiprības rezerves noteikšana materiālam, kurš vienlaicīgi pakļauts cikliskai normāloun bīdes spriegumu iedarbībai, vēl nav pietiekami izpētīta un tādēļ praktiskos aprēķinosizmanto sekojošu sakarību:1 1 1 .n n n2r2 2r rLīdz ar to varam pieľemt, ka plakana spriegumstāvokļa gadījumos rezerves koeficientsnosakāms ar vienasīgā un bīdes slogojuma rezerves koeficientiem atbilstoši sakarībainnnrrr .2 2nr nrTomēr ticamākus rezultātus varam iegūt veicot atbilstošas eksperimentālas pārbaudes.230

PIELIKUMINVS valstu tērauda profilu ģeometriskie raksturotājiVienādmalu leľķiTikai mācību nolūkiem!Apzīmējumi:b – plauktiľa platums;d – plauktiľa biezums;R 1 , R 2 – noapaļojuma rādiusi;I – inerces momenti pret daţādām asīm;r – inerces rādiusi pret daţādām asīm;z 0 – attālums no smaguma centra līdz plauktiľa ārējai malai.ProfilaNr.Izmērib d R 1 R 2Laukums1 msvarsŠķērsgriezuma ģeometriskie raksturotājix - x x 0 – x 0 y 0 - y 0 x 1 – x 1I x r x I x0 r x0 I y0 r y0 I x1mm cm 2 kG cm 4 cm cm 4 cm cm 4 cm cm 4 cm1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 152 20343,5 1,21,131,460,891,150,400,500,590,580,630,780,750,730,170,220,390,380,811,09z 00,600,64231

PIELIKUMI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 152,5 2531,43 1,12 0,81 0,75 1,29 0,95 0,34 0,49 1,57 0.733,5 1,241,86 1,46 1,03 0,74 1,62 0,93 0,44 0,48 2,11 0,762,8 28 3 4 1,3 1,62 1,27 1,16 0,85 1,84 1,07 0,48 0,55 2,2 0,803,2 3231,86 1,46 1,77 0,97 2,8 1,23 0,74 0,63 3,26 0,894,5 1,542,43 1,91 2,26 0,96 3,58 1,21 0,94 0,62 4,39 0,943,6 3632,10 1,65 2,56 1,10 4,06 1,39 1,06 0,71 4,64 0,994,5 1,542,75 2,16 3,29 1,09 5,21 1,38 1,36 0,70 6,24 1,043 2,35 1,85 3,55 1,23 5,63 1,55 1,47 0,79 6,35 1,094 40 4 5 1,7 3,08 2,42 4,58 1,22 7,26 1,53 1,90 0,78 8,53 1,135 3,79 2,97 5,53 1,20 8,75 1,54 2,30 0,79 10,73 1,173 2,65 2,08 5,13 1,39 8,13 1,75 2,12 0,89 9,04 1,214,5 45 4 5 1,7 3,48 2,73 6,63 1,38 10,5 1,74 2,74 0,89 12,1 1,265 4,29 3,37 8,03 1,37 12,7 1,72 3,33 0,88 15,3 1,303 2,96 2,32 7,11 1,55 11,3 1,95 2,95 1 12,4 1,335 50 4 5,5 1,8 3,89 3,05 9,21 1,54 14,6 1,94 3,80 0,99 16,6 1,385 4,80 3,77 11,2 1,53 17,8 1,92 4,63 0,98 20,9 1,425,6 5644,38 3,44 13,1 1,73 20,8 2,18 5,41 1,11 23,3 1,526 255,41 4,25 16,0 1,72 25,4 2,16 6,59 1,10 29,2 1,574 4,96 3,90 18,9 1,95 29,9 2,45 7,81 1,25 33,1 1,696,3 63 5 7 2,3 6,13 4,81 23,1 1,94 36,6 2,44 9,52 1,25 41,5 1,746 7,28 5,72 27,1 1,93 42,9 2,43 11,2 1,24 50,0 1,78232

PIELIKUMI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 154,5 6,2 4,87 29,0 2,16 46,0 2,72 12,0 1,39 51,0 1,885 6,86 5,38 31,9 2,16 50,7 2,72 13,2 1,39 56,7 1,907 70 6 8 2,7 8,15 6,39 37,6 2,15 59,6 2,71 15,5 1,38 68,4 1,947 9,42 7,39 43,0 2,14 68,2 2,69 17,8 1,37 80,1 1,998 10,7 8,37 48,2 2,13 76,4 2,68 20,0 1,37 91,9 2,025 7,39 5,8 39,5 2,31 62,6 2,91 16,4 1,49 69,6 2,026 8,78 6,89 46,6 2,30 73,9 2,90 19,3 1,48 83,9 2,067,5 75 7 9 3 10,1 7,96 53,3 2,29 84,6 2,89 22,1 1,48 98,3 2,108 11,5 9,02 59,8 2,28 94,6 2,87 24,8 1,47 113 2,159 12,8 10,1 66,1 2,27 105 2,86 27,5 1,46 127 2,185,5 8,63 6,78 52,7 2,47 83,6 3,11 21,8 1,59 93,2 2,178 8069,38 7,36 57,0 2,47 90,4 3,11 23,5 1,58 102 2,199 37 10,8 8,51 65,3 2,45 104 3,09 27,0 1,58 119 2,238 12,3 9,65 73,4 2,44 116 3,08 30,3 1,57 137 2,276 10,6 8,33 82,1 2,78 130 3,50 34,0 1,79 145 2,439 90712,3 9,64 94,3 2,77 150 3,49 38,9 1,78 169 2,4710 3,38 13,9 10,9 106 2,76 168 3,48 43,8 1,77 194 2,519 15,6 12,2 118 2,75 186 3,46 48,6 1,77 219 2,55233

PIELIKUMI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156,5 12,8 10,1 122 3,09 193 3,88 50,7 1,99 214 2,687 13,8 10,8 131 3,08 207 3,88 54,2 1,98 231 2,718 15,6 12,2 147 3,07 233 3,87 60,9 1,98 265 2,7510 100 10 12 4 19,2 15,1 179 3,05 284 3,84 74,1 1,96 333 2,8312 22,8 17,9 209 3,03 331 3,81 86,9 1,95 402 2,9114 26,3 20,6 237 3,00 375 3,78 99,3 1,94 472 2,9916 29,7 23,3 264 2,98 416 3,74 112 1,94 542 3,0611 110715,2 11,9 176 3,40 279 4,29 72,7 2,19 308 2,9612 48 17,2 13,5 198 3,39 315 4,28 81,8 2,18 353 3,008 19,7 15,5 294 3,87 467 4,87 122 2,49 516 3,369 22,0 17,3 327 3,86 520 4,86 135 2,48 582 3,4012,5 1251024,3 19,1 360 3,85 571 4,84 149 2,47 649 3,4514 4,612 28,9 22,7 422 3,82 670 4,82 174 2,46 782 3,5314 33,4 26,2 482 3,80 764 4,78 200 2,45 916 3,6116 37,8 29,6 539 3,78 853 4,75 224 2,44 1051 3,689 24,7 19,4 466 4,34 739 5,47 192 2,79 818 3,7814 140 10 14 4,6 27,3 21,5 512 4,33 814 5,46 211 2,78 911 3,8212 32,5 25,5 602 4,31 957 5,43 248 2,76 1097 3,90234

PIELIKUMI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510 31,4 24,7 774 4,96 1229 6,25 319 3,19 1356 4,3011 34,4 27,0 844 4,95 1341 6,24 348 3,18 1494 4,3512 37,4 29,4 913 4,94 1450 6,23 376 3,17 1633 4,3916 160 14 16 5,3 43,3 34,0 1046 4,92 1662 6,20 431 3,16 1911 4,4716 49,1 38,5 1175 4,89 1866 6,17 485 3,14 2191 4,5518 54,8 43,0 1299 4,87 2061 6,13 537 3,13 2472 4,6320 60,4 47,4 1419 4,85 2248 6,10 589 3,12 2756 4,7018 1801133,8 30,5 1216 5,60 1933 7,00 500 3,59 2128 4,8510 5,31242,2 33,1 1317 5,59 2093 7,04 540 3,58 2324 4,8912 47,1 37,0 1823 6,22 2896 7,84 749 3,99 3182 5,3713 50,9 39,9 1961 6,21 3116 7,83 805 3,98 3452 5,4214 54,6 42,8 2097 6,20 3333 7,81 861 3,97 3722 5,4620 200 16 18 6 62,0 48,7 2363 6,17 3755 7,78 970 3,96 4264 5,5420 76,5 60,1 2871 6,12 4560 7,72 1182 3,93 5355 5,7025 94,3 74,0 3466 6,06 5494 7,63 1438 3,91 6733 5,8930 111,5 87,6 4020 6,00 6351 7,55 1688 3,89 8130 6,0722 2201460,4 47,4 2814 6,83 4470 8,60 1159 4,38 4941 5,9321 71668,6 53,8 3175 6,81 5045 8,58 1306 4,36 5661 6,0216 78,4 61,5 4717 7,76 7492 9.78 1942 4,98 8286 6,7518 87,7 68,9 5247 7,73 8337 9,75 2158 4,96 9342 6,8320 97,0 76,1 5765 7,71 9160 9,72 2370 4,94 10401 6,9125 250 22 24 8 106,1 83,3 6270 7,69 9961 9,69 2579 4,93 11464 7,0025 119,7 94,0 7006 7,65 11125 9,64 2887 4,91 13064 7,1128 133,0 104,5 7717 7,61 12244 9,59 3190 4,89 14674 7,2330 142,0 111,4 8177 7,59 12965 9,56 3389 4,89 15753 7,31235

PIELIKUMIDubult-T profilsApzīmējumi:h – sijas augstums; b – plauktiľa platums;s – sieniľas biezums; t – vidējais plauktiľa biezums;R 1 , R 2 – noapaļojuma rādiusi;I x , I y – inerces momenti pret x un y asīm;W x , W y – pretestības momenti pret x un y asīm;S x – pusšķēluma statiskais moments;r x , r y – inerces rādiusi pret x un y asīm.1 mIzmēriLaukumsŠķērsgriezuma ģeometriskie raksturotājiProfila1 R 2 I x W x r x S x I y W y r ysvars h b s t RNr.kG mm cm 2 cm 4 cm 3 cm cm 3 cm 4 cm 3 cm1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1610 9,46 100 55 4,5 7,2 7,0 2,5 12,0 198 39,6 4,06 23,0 17,9 6,49 1,2212 11,50 120 64 4,8 7,3 7,5 3,0 14,7 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,3814 13,70 140 73 4,9 7,5 8,0 3,0 17,4 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,50 1,5516 15,90 160 81 5,0 7,8 8,5 3,5 20,2 873 109,0 6,57 62,3 58,6 14,50 1,7018 18,40 180 90 5,1 8,1 9,0 3,5 23,4 1290 143,0 7,42 81,4 82,6 18,40 1,8818a 19,90 180 100 5,1 8,3 9,0 3,5 25,4 1430 159,0 7,51 89,8 114,0 22,80 2,12236

PIELIKUMI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1620 21,00 200 100 5,2 8,4 9,5 4,0 26,8 1840 184,0 8,28 104,0 115,0 23,10 2,0720a 22,70 200 110 5,2 8,6 9,5 4,0 28,9 2030 203,0 8,37 114.0 155,0 28,20 2,3222 24,00 220 110 5,4 8,7 10,0 4,0 30,6 2550 232,0 9,13 131,0 157,0 28,60 2,2722a 25,80 220 120 5,4 8,9 10,0 4,0 32,8 2790 254,0 9,22 143,0 206,0 34,30 2,5024 27,30 240 115 5,6 9,5 10,5 4,0 34,8 3460 289.0 9,97 163,0 198,0 34,50 2,3724a 29,40 240 125 5,6 9,8 10,5 4,0 37,5 3800 317,0 10,10 178.0 260,0 41,60 2,6327 31,50 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 5010 371,0 11,20 210.0 260,0 41,50 2,5427a 33,90 270 135 6,0 10,2 11,0 4,5 43,2 5500 407,0 11,30 229,0 337,0 50,00 2,8030 36,50 300 135 6,5 10,2 12,0 5,0 46,5 7080 472,0 12,30 268,0 337,0 49,90 2,6930a 39,20 300 145 6,5 10,7 12,0 5,0 49,9 7780 518,0 12,50 292,0 436,0 60,10 2,9533 42,20 330 140 7,0 11,2 13,0 5.0 53,8 9840 597,0 13,50 339,0 419,0 59,90 2.7936 48,60 360 145 7,5 12,3 14,0 6,0 61,9 13380 743,0| 14.70 423,0 516,0 71,10 2,8940 57,00 400 155 8,3 13,0 15,0 6,0 72,6 19062 953,0 16,20 545,0 667,0 86.10 3,0345 66,50 450 160 9,0 14,2 16,0 7,0 84,7 27695 1231,0 18,10 708,0 808,0 101,00 3,0950 78,50 500 170 10,0 15,2 17,0 7,0 100,0 39727 1589,0 19,90 919,0 1043,0 123,00 3.2355 92,60 550 180 11,0 16,5 18,0 7,0 118,0 55992 2035,0 21,80 1181,0 1356,0 151,00 3 3960 108 600 190 12,0 17,8 20,0 8,0 138.0 76806 2560,0 23,60 1491,0 1725,0 182,00 3,54237

PIELIKUMIU profilsApzīmējumi:h – sijas augstums; b – plauktiľa platums;s – sieniľas biezums; t – vidējais plauktiľa biezums;R 1 , R 2 – noapaļojuma rādiusi;I x , I y – inerces momenti pret x un y asīm;W x , W y – pretestības momenti pret x un y asīm;S x – pusšķēluma statiskais moments;r x , r y – inerces rādiusi pret x un y asīm;z 0 – attālums no ass y-y līdz sieniľas ārējai malai.ProfilaNr.1 msvarsIzmēriLaukumsI x W x r x S x I y W y rŠķērsgriezuma ģeometriskie raksturotājih b s t R 1 R 2 ykG mm cm 2 cm 4 cm 3 cm cm 3 cm 4 cm 3 cm cm1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 175 4,84 50 32 4,4 7,0 6,0 2,5 6,16 22,8 9,1 1,92 5,59 5,61 2,75 0,954 1,166,5 5,90 65 36 4,4 7,2 6,0 2,5 7,51 48,6 15,0 2,54 9,00 8,70 3,68 1,08 1,248 7,05 80 40 4,5 7,4 6,5 2,5 8,98 89,4 22,4 3,16 13,30 12,80 4,75 1,19 1,3110 8,59 100 46 4,5 7,6 7,0 3,0 10,90 174 34,8 3,99 20,40 20,40 6,46 1,37 1,4412 10,40 120 52 4,8 7,8 7,5 3,0 13,30 304 50,6 4,78 29,60 31,20 8,52 1,53 1,5414 12,30 140 58 4,9 8,1 8,0 3,0 15,60 491 70,2 5,60 40,80 45,40 11,00 1,70 1,67z 0238

PIELIKUMI1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1714a 13,30 140 62 4,9 8,7 8,0 3,0 17,00 545 77,8 5,66 45,10 57,50 13,30 1,84 1,8716 14,20 160 64 5,0 8,4 8,5 3,5 18,10 747 93,4 6,42 54,10 63,30 13,80 1,87 1,8016a 15,30 160 68 5,0 9,0 8,5 3,5 19,50 823 103,0 6,49 59,40 78,80 16,40 2,01 2,0018 16,30 180 70 5,1 8,7 9,0 3,5 20,70 1090 121,0 7,24 69,80 86,00 17,00 2,04 1,9418a 17,40 180 74 5,1 9,3 9,0 3,5 22,20 1190 132,0 7,32 76,10 105,0 20,00 2,18 2,1320 18,40 200 76 5,2 9,0 9,5 4,0 23,40 1520 152,0 8,07 87,80 113,0 20,50 2,20 2,0720a 19,80 200 80 5,2 9,7 9,5 4,0 25,20 1670 167,0 8,15 95,90 139,0 24,20 2,35 2,2822 21,00 220 82 5,4 9,5 10,0 4,0 26,70 2110 192,0 8,89 110,0 151,0 25,10 2,37 2,2122a 22,60 220 87 5,4 10,2 10,0 4,0 28,80 2330 212,0 8,99 121,0 187,0 30,00 2,55 2,4624 24,00 240 90 5,6 10,0 10,5 4,0 30,60 2900 242,0 9,73 139,0 208,0 31,60 2,60 2,4224a 25,80 240 95 5,6 10,7 10,5 4,0 32,90 3180 265,0 9,84 151,0 254,0 37,20 2,78 2,6727 27,70 270 95 6,0 10,5 11,0 4,5 35,20 4160 308,0 10,90 178,0 262,0 37,30 2,73 2,4730 31,80 300 100 6,5 11,0 12,0 5,0 40,50 5810 387,0 12,00 224,0 327,0 43,60 2,84 2,5233 36,50 330 105 7,0 11,7 13,0 5,0 46,50 7980 484,0 13,10 281,0 410,0 51,80 2,97 2,5936 41,90 360 110 7,5 12,6 14,0 6,0 53,40 10820 601,0 14,20 350,0 513,0 61,70 3,10 2,6840 48,30 400 115 8,0 13,5 15,0 6,0 61,50 15220 761,0 15,70 444,0 642,0 73,40 3,23 2,75239

PIELIKUMIŠķērsgriezuma laukumu ģeometriskie raksturotājiŠķērsgriezumalaukuma formaAksiālais inerces momentsPretestības momentsInerces rādiussI, cm 4 W, cm 3 i, cmIx Iy4b12Wx3bb Wyix iy289b6 12 0,Ix IIxy I4b b12y4b123bhI x123hbI y1241Wx Wyb4 4 b16b3b3Wx Wy 0,118b6 2Nogrieţot augšējo un apakšējo trīsstūripar c b 2 12pretestības moments palielinās līdz3W x 0,124b2bhW x62hbW y6ix iy 0,289b2b b122 b2121ix iy 0, 289bi xh289h12 0,i yb289b12 0,240

PIELIKUMIv0 h3I xI y3 3bh b1h1123 3hb h1b1123bhI x363bhI u 143bhI u12bh3 b1hW x6hhb3 h1bW y6b3131Aprēķinot spriegumu augšējā malā2bhW x24apakšējā malā2bhW x12i xi y3bh b h12 bh b h31 11113hb h b12 hb h b31 1hi x 0, 236h3 213hbI x482hbb 3W x i x 0, 204b246 2I x3 2h b 4ba a36b ah b 2av0 3 b a2Aprēķinot spriegumu augšējā malā2 22h b 4ba a W x,122b aapakšējā malā2 22h b 4ba a W x12 b 2ai xx62 bhb2 ax 4ba a2241

PIELIKUMI4 4drIx Iy 64 44I I 0,05dxy3drWx Wy 32 43W W 0,1dxy3ix iyd4r2Ix Iyr441c43d4Wx Wy 1c2 2d d321i3 x iy4W W 0,1d 1c4xyIIxx Iy IyD 3 s8 r3sWxW Wxy WD 2 s ;4y r2sDix iy 0, 353D2 2443I x 0,00686d 0,11rW x 0,0239d4d44rI y 3d 0,025dW y 0,05dv0 0, 424r128643 3i xi 0, min132ddi y4242

PIELIKUMIUzdevumu atrisinājumi un atbildesUzdevums 2.1Pārbaude:Uzdevums 2.2pakreisiM q 2 V 4 0 ; V A 8kN;E4ATā kā sistēma ir simetriskaV V kN ; V V V;D A8Y q 4 P q 4 2V 0 ;BVB VC13kN;M q 46 V2V8 q 46 V 2 V80.kCDBpakreisiM q 3V 4 0 ;DA6ApakreisiM q 9V10V 4 0 ;EC6A BY q P VVV 0 ;6A B CpalabiM V M 0 .EC6CPārbaude (pret izkliedētās slodzes kopspēka darbības punktu k):Uzdevums 2.3M P 9 M V3V5V150.kCABC?pakreisiM P V6 0 ;D3ApalabiM q 3V6 0 ;D?6BY P q VVV 0 ;6A B CuzaugšuM q 84 V6 H 8 0 ;DX q H C H 0 .8AM q 66 V3 H 4 V9V9 H 40.kAABPārbaude (pret spēka P un izkliedētās slodzeskopspēka darbības līniju krustpunktu):CC?CC243

PIELIKUMIUzdevums 2.4Uzdevums 2.5Pārbaude:uzaugšuM q 2 H 4 0 ;D4CuzlejuM q 2 H 4 0 ;D4BX q 4 q 4 q 4 H H H 0 ;kreisiM pa P q42V6 H 4 0 ;D3A APārbaude (pret slodzes P pielikšanas punktu k –varam atmest slodzi P un izkliedēto slodzi posmāBC):Mk H H 4 q 42 V3V 3 H 40.BVBC4AA?uzlejuM H 4 0;DAuzaugšuM q 3V6 0 ;DC6CX P 0 ;MBpalabiD12 0;M M H 4 V9V3 q 66 V30.kBACH B M q 6 9 HY q 12 VCVBVA 0 .B?BBA 4 Uzdevums 2.6uzlejuM q 4 H 8 0 ;E8BX q 8 P H BH 0 ;palabiM M q 84 H 8V6 0 ;DY P V CV A 0 ;pakreisiM P P 4 H 8 M 0 .DA6A ABC244

PIELIKUMIPārbaude:M M M V12V 6 P 18 H 4 H 40.kAUzdevums 6.1ACAB?4I x 1 1840cm4I y 1 115cmA 26 cm1, 823W x 1 184cmW y 23 cm1, 134I x 2 174cmI y 20 cm2, 4A 10 cm2, 92, 442W x 22 cmW y 2 4,75cm33I ybh121221233I x 3 8cm33hb 2 123 288cm12 122A3 24cmbh612 2622W x 3 8W y4cm22hb 2123 48 cm6 6344Lai atrastu kopējās figūras smaguma centranovietojumu ievedam asis xy. Šajās asīs atsevišķofigūru smaguma centri ir ar koordinātēmCCC123 (6; 12); (6; 23,44); (6; 1).Tā kā kopējai figūrai ir simetrijas ass, tadsmaguma centram jāatrodas uz šīs ass unX C 6cm .YCkoordināti atrodam atbilstoši sakarībaiYCSx1 SxA A122 S AA1 y1 A2y2 A3y326,8 1210,923,44 241 9,742cm.A26,8 10,9 24Figūras smaguma centrā ievedam galvenās centrālās asis X C Y C , pret kurām jārēķinakopējās figūras ģeometriskie raksturotāji. Aprēķinām atsevišķo figūru inerces momen-x33245

PIELIKUMItus pret X C asi:IIIX CX CX C224 a1 Ix1 2,257 18401976,61 ;1cm224 a2 Iy213,697 20,4 2065, 55 ;2cm224 a3 Ix3 8,742 8 1842,24 .3cmSaliktās figūras inerces moments pret X C asi:IXpret Y C asi:IY CC4 IX IX IX 5884,41 ,cmC1 C 2 C 34 Iy Ix Iy115174 288 577 .cm1 2 3Aprēķinām pretestības momentus pret galvenajām asīm:WWXXCCI 5884,41cm1h 9,74X C3 604,14 ;1I 5884,41cm2h 16,86X C3 349,02 ;2IY577C3WY 82,42cm.C6 7Salīdzinām pretestības momentus pastiprinātam un nepastiprinātam dubult-T profilam:WXC349,022 1,89.W 184x1Uzdevums 6.2 Izvēlamies vienādmalu leľķi N5 ar sieniľas biezumu d=4 mm.246

PIELIKUMIUzdevums 8.1Uzdevums 8.2Uzdevums 8.5Atbilde:yxl2ml ;2EIdydxxlml.EI247

PIELIKUMILiteratūraO. Kepe, J. Vība. Teorētiskā mehānika. Zvaigzne, Rīga, 1982, 577 lpp.E. Lavendelis. Materiālu pretestība. Zvaigzne, Rīga, 1986, 343 lpp.M. Movľins, A. Izraelits. Tehniskā mehānika. Pirmā daļa „Teorētiskā mehānika‖.Zvaigzne, Rīga, 1971, 365 lpp.A. Mitinskis, M. Movľins, A. Izraelits. Tehniskā mehānika. Otrā daļa „Materiālu pretestība‖.Zvaigzne, Rīga, 1971, 330 lpp.E. Lavendelis. Mehānika. Rīga, 2001, 232 lpp.248