periodiek - Perio - FMF

36 periodiek mei juni
waar de oplossing zich vertakt. Het volgende beginwaardeprobleem,
een differentiaalvergelijking met
een gegeven beginvoorwaarde, heeft bijvoorbeeld een
vertakkingspunt bij 0:
f (z) = 1
, f(1) = 0.
z
Immers, de oplossing in een omgeving van het punt
1 is een voortzetting van het reële logaritme. Van
complexe functietheorie (Wiskunde 5 / Complexe
Analyse) weten we dat deze niet naar een omgeving
van het punt 0 analytisch voort te zetten is. Als we de
oplossing om 0 heen analytisch voortzetten, verandert
de functiewaarde na één winding met 2πi.
Figuur 1: De schijf stelt een omgeving in het complexe vlak
voor en het spiralerende oppervlak het Riemannoppervlak
van het logaritme, waarop we het logaritme als een
éénwaardige complex differentieerbare functie kunnen
definiëren.
Een tweede voorbeeld van een probleempunt is een
pool. Dit is een punt waarin de oplossing naar oneindig
gaat, maar wat valt te ‘regulariseren’ door met
een monoom z k te vermenigvuldigen. Het volgende
beginwaardeprobleem heeft een pool bij 0:
f (z) = − 1
, f(1) = 1.
z2 Immers, de oplossing is de functie f(z) = 1/z. Zoals
bekend gaat deze naar oneindig in het punt 0, maar
dit geldt niet voor de functie z 1 · f(z) ≡ 1.
Een laatste voorbeeld van een probleempunt is een essentiële
singulariteit. Dit is een punt waarin de functie
naar oneindig kan gaan, maar dit niet op te heffen
is door met een monoom te vermenigvuldigen. Het
volgende beginwaardeprobleem heeft een essentiële
singulariteit bij 0:
f (z) = − 1
f(z), f(1) = e.
z2 Immers, de oplossing is de functie f(z) = e 1/z .
Door de machtreeksontwikkeling van de e-macht uit
te schrijven zie je dat vermenigvuldigen met een monoom
de singulariteit in het punt 0 niet kan opheffen.
Deze drie punten zullen we de probleempunten van
een differentiaalvergelijking noemen. Een probleempunt
is beweegbaar als zijn positie een beetje verandert
als we de functiewaarde in de beginvoorwaarde
(in het vorige voorbeeld was dat e) een beetje veranderen.
Een differentiaalvergelijking heeft de Painlevéeigenschap
als zijn enige beweegbare probleempunten
polen zijn.
Bij wijze van voorbeeld kunnen we ons afvragen voor
welke waarde van de parameter k de differentiaalvergelijking
f (z) = f(z) k , k = 0, ±1, ±2, . . .
de PE bezit. Na enig rekenwerk vinden we als oplossing
⎧
⎨
f(z) =
⎩
z − a voor k = 0,
ae z voor k = 1 en
1−k (1 − k)(z − a) anders,
waarbij de constante a afhangt van de beginvoorwaarde.
Hieruit volgt dat het beginwaardeprobleem geen
probleempunten heeft voor k = 0 en k = 1, slechts
een beweegbare pool voor k = 2 en een beweegbaar
vertakkingspunt bij z = a in de andere gevallen. Het
volgt dat de differentiaalvergelijking de PE heeft dan
en slechts dan als k = 0, 1 of 2.
De Kromme en zijn Genus
Zoals ik eerder beloofde, wil ik graag iets laten zien
van de connectie tussen differentiaalvergelijkingen
en algebraïsche meetkunde. In de eerste plaats zullen
we zien hoe een differentiaalvergelijking van de vorm
f(y , y) = 0, met f een polynoom in beide variabelen,
een algebraïsche kromme definieert. Het woord