Geheugensteuntje - Wiki

Veelterminterpolatie.
Algemeen:
f(x) = yn(x) + En(x)
met yn(x) de interpolerende veelterm
van graad n en En(x) de gemaakte
interpolatiefout.
En(x) = [f (n+1) (ξ)/(n+1)!](x-x0)(x-x1)...(x-xn)
|En(x)| ≤ [|(x-x0)(x-x1)...(x-xn)|/(n+1)!]
* maxx∈[a,b] |f (n+1) (x)|
waarbij [a,b] het interval is waarvoor
yn(x) interpoleert.
Lagrange-interpolatie:
yn(x) = l0(x)*f0 + l1(x)*f1 + ... + ln(x)*fn
yn(xi) = fi
li(x) = Π(x)/[ Π'(xi)(x- xi)]
= [ (x - x0) (x - x1) ... (x - xn) ] .
[(xi-x0)...(xi-xi-1)(xi-xi+1)... (xi - xn)(x- xi)]
Iteratieve methoden voor het oplossen van transcendente vergelijkingen.
• Vast punt:
o x* is een vast punt van een functie f
f(x*) = x*
• Consistentie:
o Een methode heet consistent als alle nulpunten van f ook vaste punten zijn van
F (met F de iteratieformule).
o Een methode heet reciprook consistent als alle vaste punten van F ook
nulpunten zijn van f.
o Een methode heet volledig consistent als ze zowel consistent als reciprook
consistent is.
o Een methode heet zwak consistent als x* een nulpunt is van f en ook een vast
punt van F (f(x*) = 0 => F(x*) = x*).
• Convergentie:
o Convergentiestelling: als x* een vast punt is van F, als F afleidbaar is in de
omgeving van x*, en als F zwak consistent is met f, dan zal de rij gedefinieerd
door x (k) = F(x (k-1) ) convergeren naar x* als x* een nulpunt is van f en x (0)
voldoende dicht bij x*.
o Voorwaarden voor convergentie:
|F'(x)| ≤ 1 (als F afleidbaar is).
x (0) voldoende dicht bij x*.
Minstens zwakke consistentie.
Soms treedt er convergentie op ondanks dat (sommige) voorwaarden
niet voldaan zijn.
• Convergentie-orde:
o p = sup{n ∈ |R: limk->∞ ε (k+1) /[ε (k) ] n = 0}
= inf{n ∈ |R: limk->∞ ε (k+1) /[ε (k) ] n ≠ 0}